（洛陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，河南 洛陽(yáng) 471022）

《線性代數(shù)》是高校理工科專業(yè)的重要基礎(chǔ)課程，不僅是學(xué)習(xí)后繼課程的基礎(chǔ)，還是解決許多實(shí)際問(wèn)題的工具。但由于線性代數(shù)概念性強(qiáng)、內(nèi)容高度抽象以及邏輯推理繁多的特點(diǎn)，一直以來(lái)，沿用傳統(tǒng)的教材和教法，缺少人文主義精神和趣味性，也缺少理論與實(shí)際的聯(lián)系。學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)沒(méi)有興趣，不是主動(dòng)學(xué)習(xí)的探索者，學(xué)生普遍只會(huì)套用解題、不能真正理解、不知用在何處。而到后繼課程或者實(shí)際中用到的時(shí)候，又不能靈活運(yùn)用，學(xué)生的學(xué)習(xí)效果并不理想，更談不上創(chuàng)新能力和實(shí)踐能力的培養(yǎng)。

教育學(xué)研究表明，為了有效地學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)對(duì)所學(xué)的內(nèi)容感興趣，并且在學(xué)習(xí)活動(dòng)中找到樂(lè)趣。否則，學(xué)習(xí)將是枯燥的、被動(dòng)的、低效的。而通過(guò)實(shí)踐引入知識(shí)，再把知識(shí)用于實(shí)踐，能夠很好地激發(fā)學(xué)生的興趣和動(dòng)力，從而改變理論知識(shí)枯燥無(wú)味、學(xué)生被動(dòng)學(xué)習(xí)的局面，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果以及實(shí)踐能力。因此，為了使學(xué)生能夠主動(dòng)、有效地學(xué)習(xí)《線性代數(shù)》這門(mén)課程，并能夠熟練掌握并靈活運(yùn)用，我們嘗試探索“實(shí)踐—理論—實(shí)踐”的教學(xué)模式：先舉實(shí)例歸納特點(diǎn)，然后抽象為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拇鷶?shù)概念并探索性質(zhì)，最后介紹推廣領(lǐng)域及實(shí)踐應(yīng)用實(shí)例。

一、線性代數(shù)“實(shí)踐-理論-實(shí)踐”教學(xué)模式

本課題的研究通過(guò)以下四個(gè)方面來(lái)進(jìn)行。

（一）與幾何相結(jié)合，通過(guò)幾何直觀背景引入抽象的代數(shù)概念

代數(shù)和幾何，前者抽象嚴(yán)謹(jǐn)，后者形象直觀；在內(nèi)容上，它們有著密切的聯(lián)系，代數(shù)為幾何提供解決方法，幾何為代數(shù)提供背景。幾何的很多問(wèn)題用代數(shù)的知識(shí)來(lái)解決，而代數(shù)的很多概念用可以從幾何中抽象而來(lái)。在講解抽象的代數(shù)概念時(shí)，如果能用幾何解釋或者給出幾何模型，將對(duì)理解抽象的概念非常有幫助，然后再反過(guò)來(lái)把代數(shù)概念運(yùn)用到解決幾何問(wèn)題上，并通過(guò)數(shù)學(xué)軟件作圖進(jìn)行直觀展示，這樣在很大程度上消除線性代數(shù)課程的抽象感，同時(shí)提高學(xué)生用代數(shù)知識(shí)解決幾何問(wèn)題的能力。

行列式、線性方程組、向量的線性相關(guān)性、線性空間、線性變換以及二次型等很多概念都可以從幾何引入并應(yīng)用于幾何。針對(duì)這些問(wèn)題，我們制作了ppt 課件《線性代數(shù)概念的幾何引入及直觀展示》《二次型與二次曲線和二次曲面》、設(shè)計(jì)討論課《三個(gè)平面的相對(duì)位置》，我們及時(shí)將這些設(shè)計(jì)應(yīng)用于課堂教學(xué)，取得了良好的效果。

（二）滲透建模思想，結(jié)合其他學(xué)科，合理運(yùn)用教學(xué)軟件

《線性代數(shù)》的內(nèi)容雖然比較抽象，但都是來(lái)源于實(shí)際問(wèn)題、為解決實(shí)際問(wèn)題而引入，其中涉及的多數(shù)概念和方法都有很強(qiáng)的實(shí)際背景。另外，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)、社會(huì)的信息化、定量化的不斷發(fā)展，使得過(guò)去一向被認(rèn)為抽象的代數(shù)學(xué)，今天的應(yīng)用范圍之廣出乎人們的意料。例如，計(jì)算機(jī)代數(shù)，代數(shù)方法在生物、物理、化學(xué)、語(yǔ)言學(xué)上的應(yīng)用，代數(shù)編碼理論，代數(shù)圖論、矩陣方法在決策、網(wǎng)絡(luò)上的應(yīng)用等，因此《高等代數(shù)》課程具備極其豐富的數(shù)學(xué)模型題材。線性代數(shù)的很多概念如多項(xiàng)式、行列式、線性方程組、矩陣、線性空間等還可以找到相應(yīng)的實(shí)際問(wèn)題，作為概念的實(shí)例引入，反過(guò)來(lái)又可以用代數(shù)概念和方法來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。這樣，不但能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使他們更好的理解代數(shù)概念，而且能體驗(yàn)到探索、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過(guò)程。在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，無(wú)論是在數(shù)學(xué)概念的講解中，還是在對(duì)問(wèn)題的分析以及思維的拓展上，不斷的，反復(fù)的強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)建模的思想，并適當(dāng)?shù)倪\(yùn)用matlab 和mathematics 等數(shù)學(xué)軟件，將數(shù)學(xué)建模思想融合到每一個(gè)教學(xué)細(xì)節(jié)上，對(duì)我們學(xué)生掌握好數(shù)學(xué)知識(shí)，在實(shí)踐中熟練運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力，都具有很大的幫助。

針對(duì)這一思想，我們?cè)谡n堂上講授矩陣概念的時(shí)候，通過(guò)城市之間的航班情況、石頭剪刀布的零和問(wèn)題等來(lái)引入；講授行列式時(shí)，通過(guò)貨物交換的經(jīng)濟(jì)模型和費(fèi)用分?jǐn)倖?wèn)題來(lái)引入；講授特征值和特征向量的時(shí)候，通過(guò)昆蟲(chóng)繁殖產(chǎn)卵的問(wèn)題來(lái)引入；講授線性方程組時(shí)，結(jié)合我們熟悉的交通問(wèn)題，設(shè)計(jì)了一節(jié)討論課《線性方程組和交通流量問(wèn)題》；設(shè)計(jì)行星軌道計(jì)算問(wèn)題，這個(gè)可以用線性方程組理論和最小二乘法來(lái)解決；在講授矩陣對(duì)角化時(shí)，設(shè)計(jì)動(dòng)物數(shù)量的按年齡段預(yù)測(cè)問(wèn)題，提示學(xué)生用該知識(shí)點(diǎn)解決。

（三）結(jié)合歷史背景和人物介紹以及前景介紹

線性代數(shù)不僅是中學(xué)數(shù)學(xué)的延拓，而且也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，其理論方法可被廣泛應(yīng)用于處理和解決各種實(shí)際問(wèn)題。但幾乎所有的線性代數(shù)教材都是系統(tǒng)、抽象的理論的介紹，很少提到其發(fā)展歷程，使得學(xué)生很難感到高等代數(shù)作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)基石的地位、作用與影響。因此，我們?cè)诮虒W(xué)中，根據(jù)課程內(nèi)容適當(dāng)增加了一些代數(shù)發(fā)展相關(guān)背景知識(shí)以及歷史人物的介紹，專門(mén)制作了課件《線性代數(shù)發(fā)展簡(jiǎn)介》，以備使用。比如：介紹集合相關(guān)理論時(shí)，穿插介紹集合論奠基人康托爾的生平事跡，集合論的發(fā)展歷程，使學(xué)生了解集合論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)；數(shù)學(xué)歸納法是線性代數(shù)中非常重要而常用的一種理論證明方法，為了讓學(xué)生熟練掌握，我們?yōu)榇藢ｉT(mén)設(shè)計(jì)一次討論課《數(shù)學(xué)歸納法》，介紹第一第二歸納法的背景、原理、證明和使用；學(xué)習(xí)行列式時(shí)，介紹行列式的最早提出者行列式的發(fā)展過(guò)程，與中國(guó)數(shù)學(xué)的關(guān)系；在講授代數(shù)基本定理時(shí)，可給學(xué)生介紹數(shù)學(xué)史上關(guān)于代數(shù)方程求根的探索，費(fèi)馬大定理的故事等以及由此對(duì)代數(shù)學(xué)產(chǎn)生的深遠(yuǎn)影響等。這樣可以在枯燥的數(shù)學(xué)推導(dǎo)中增添一些情趣調(diào)節(jié)課堂節(jié)奏、活躍課堂氣氛、提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。

（四）注重教學(xué)延伸，引導(dǎo)學(xué)生深入思考

在一些理論的學(xué)習(xí)中，如果僅僅停留在教材表面，不做深入探索與思考，那么對(duì)知識(shí)的理解也不夠深刻，知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系也不清楚，解決綜合問(wèn)題就會(huì)很困難。因此，我們應(yīng)注重教學(xué)延伸，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題深入思考，多挖掘各理論之間的聯(lián)系。比如在學(xué)習(xí)初等變換求矩陣的逆時(shí)，啟發(fā)學(xué)生探索一個(gè)矩陣做初等變換之后，相應(yīng)矩陣的逆矩陣發(fā)生什么變化，為此我們?cè)O(shè)計(jì)討論課《初等變換對(duì)逆矩陣的影響》；后面學(xué)習(xí)特征值，矩陣對(duì)角化時(shí)，啟發(fā)學(xué)生探索相應(yīng)的反問(wèn)題，比如已知一個(gè)矩陣的特征值和特征向量，如何反過(guò)來(lái)求該矩陣，該矩陣是否唯一，這個(gè)問(wèn)題的討論還要用到“初等變換對(duì)逆矩陣的影響”的相關(guān)結(jié)論。

二、實(shí)施效果總結(jié)

通過(guò)不斷的探索、嘗試以及課堂實(shí)施，這種“實(shí)踐—理論—實(shí)踐”的教學(xué)模式初步形成，我們的研究取得了很好的效果：

通過(guò)幾何直觀和數(shù)學(xué)模型引入概念，注重知識(shí)的來(lái)源與應(yīng)用，很大程度上消除了線性代數(shù)課程的抽象感；引入發(fā)展背景和人物介紹、與其他學(xué)科的關(guān)聯(lián)及前景展望，提高了學(xué)生的興趣和積極性；注重知識(shí)的延伸和應(yīng)用，通過(guò)實(shí)際案例，設(shè)計(jì)討論課，建立模型并用軟件解決，加深了學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到這門(mén)課程的價(jià)值，并有助于掌握嚴(yán)格的代數(shù)思想與方法，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力，鍛煉學(xué)生嚴(yán)密的邏輯推理能力。

關(guān)于線性代數(shù)的實(shí)踐教學(xué)改革，今后還有待進(jìn)一步研究。包括建立比較完善的課件資料庫(kù)，形成一整套實(shí)踐教學(xué)方案，針對(duì)各種典型的知識(shí)點(diǎn)提供比較好的支持，從引入、理論學(xué)習(xí)到實(shí)踐都有系統(tǒng)的有效的課程設(shè)計(jì)，都需要持續(xù)地進(jìn)行。