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        相對余撓自由模和對偶Auslander轉(zhuǎn)置的若干注記

        2020-12-05 06:53:42何東林
        關(guān)鍵詞:同態(tài)隴南對偶

        何東林

        (隴南師范高等??茖W校 數(shù)信學院,甘肅 隴南 742500)

        Auslander-Reiten理論在Artin代數(shù)和同調(diào)代數(shù)中扮演著重要的角色,Auslander轉(zhuǎn)置是該理論的重要工具之一.利用Auslander轉(zhuǎn)置,Auslander和Bridger[1]引入了n-撓自由模,并得到特定條件下有限生成模的一個逼近理論.Tang X和Huang Z[2]給出了Auslander轉(zhuǎn)置的對偶概念,稱之為對偶Auslander轉(zhuǎn)置.半對偶模是相對同調(diào)代數(shù)中的重要模類之一,許多學者先后對其進行了研究,并得到了很好的結(jié)論[3-8].特別地,Holm和White[4]將半對偶模的概念推廣到任意一對結(jié)合環(huán)R和S上,并利用這一工具研究了關(guān)于半對偶雙模的Auslander類ΑC(S)和Bass類BC(R).Tang X和Huang Z[2]借助對偶Auslander轉(zhuǎn)置,介紹了關(guān)于半對偶雙模RCS的n-C-余撓自由模,并得到Bass類BC(R)的一個等價刻畫.自然而然地,可考慮關(guān)于n-C-余撓自由模和對偶Auslander轉(zhuǎn)置的更多問題,比如性質(zhì)、刻畫等等.基于以上研究背景,本文主要給出n-C-余撓自由模和對偶Auslander轉(zhuǎn)置的若干性質(zhì)和刻畫,并研究短正合列0→L→M→N→0中各項的n-C-余撓自由性之間的關(guān)系.

        1 定義與引理

        注1:① 對任意整數(shù)m≥n≥1,有m-C-余撓自由模一定是n-C-余撓自由模;②n-C-余撓自由模關(guān)于有限直和及直和因子封閉.

        引理1[2]以下結(jié)論成立:

        引理2[9]設(shè)圖1為左R-模行正合交換圖,

        則 1) 有正合列Kerα→Kerβ→Kerγ→Cokerα→Cokerβ→Cokerγ.

        2) 圖1中當A→B為單同態(tài)時,1)中Kerα→Kerβ也為單同態(tài);當B′→C′為滿同態(tài)時,1)中Cokerβ→Cokerγ也為滿同態(tài).

        引理3[2]設(shè)M是左R-模,則以下結(jié)論成立:

        1)M是1-C-余撓自由的當且僅當M是C-余無撓的.

        2)M是2-C-余撓自由的當且僅當M是C-余自反的.

        引理4[2]設(shè)M是左R-模,則存在正合列:

        2 主要結(jié)論

        0→An*→…→A1*→A0*→W*→0,

        考慮行正合交換圖,如圖2:

        定理2 設(shè)M是左R-模且n≥1,則以下條件等價:

        1)M是n-C-余撓自由模; 2) 存在HomR(C,-)下正合的正合列:

        An-1→…→A1→A0→M→0,其中Ai∈Add(RC)(0≤i≤n-1);

        證明1)?2) 由文獻[2]中命題3.6易證.

        HomR(C,N)⊕HomR(C,N′)?HomR(C,N⊕N′)=HomR(C,C(I))?S(I),

        所以HomR(C,N)是投射左S-模.從而有Add(RC)?PC成立.

        綜上所述,PC=Add(RC).

        命題1 設(shè)I是內(nèi)射左R-模,則對任意整數(shù)n≥1,都有I是n-C-余撓自由模.

        證明由引理1中結(jié)論2)及引理3易證.

        命題2 設(shè)F是FP-內(nèi)射左R-模,則對任意整數(shù)n≥1,都有F是n-C-余撓自由模.

        證明由F是FP-內(nèi)射左R-模及文獻[10]中定理2.1中(2)知,F(xiàn)∈BC(R).根據(jù)文獻[2]中定理3.8可得,對任意整數(shù)n≥1有F是n-C-余撓自由模.

        1) 如果L和M是n-C-余撓自由模,那么N是n-C-余撓自由模.

        2) 如果L和N是n-C-余撓自由模,那么M是n-C-余撓自由模.

        3) 如果M是n-C-余撓自由模且N是(n+1)-C-余撓自由模,那么L是n-C-余撓自由模.

        由引理2可得正合列:

        由引理3及定理3易得如下推論.

        1) 如果L和M是C-余無撓模,那么N是C-余無撓模;2) 如果L和N是C-余無撓模,那么M是C-余無撓模;3) 如果M是是C-余無撓模且N是是C-余自反模,那么L是C-余無撓模.

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