洪曉春，張 偉，楊春妮

(1.云南財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院,昆明 650221;2.新東方學(xué)校 西安市雁塔區(qū)培訓(xùn)中心,西安 710000)

對(duì)于希爾伯特第16問(wèn)題,平面多項(xiàng)式向量場(chǎng)極限環(huán)的個(gè)數(shù)及分布問(wèn)題得到了廣泛研究,獲得了大量?jī)?yōu)秀成果.為了解決這個(gè)難題,V.I.Aronld提出了弱化的希爾伯特第16問(wèn)題[1],即擾動(dòng)系統(tǒng)的Abel積分零點(diǎn)個(gè)數(shù)上界與極限環(huán)個(gè)數(shù)的關(guān)系問(wèn)題.

(1)

其中a,b,c∈R且c≠0.

系統(tǒng)(1)是一個(gè)超橢圓哈密頓系統(tǒng),文獻(xiàn)[2]證明了系統(tǒng)(1)在(a0+a1x+a2x2)y,ai∈R(i=0,1,2)擾動(dòng)下的極限環(huán)個(gè)數(shù)不超過(guò)3個(gè).文獻(xiàn)[3]證明了系統(tǒng)(1)在任意n次多項(xiàng)式擾動(dòng)下的極限環(huán)個(gè)數(shù)不超過(guò)5n-3.

(2)

文獻(xiàn)[4]應(yīng)用判定函數(shù)方法和數(shù)值模擬方法[5]給出了系統(tǒng)(2)有3個(gè)極限環(huán).

(3)

文獻(xiàn)[6]應(yīng)用判定函數(shù)方法和數(shù)值模擬方法給出了系統(tǒng)(3)有3個(gè)極限環(huán).

(4)

文獻(xiàn)[7]應(yīng)用判定函數(shù)方法和數(shù)值模擬方法給出了系統(tǒng)(4)有3個(gè)極限環(huán).

(5)

其中R(x,y,λ)=mx2+ny2+ky4-λ.文獻(xiàn)[8]應(yīng)用判定函數(shù)方法和數(shù)值模擬方法給出了系統(tǒng)(5)有15個(gè)極限環(huán).

(6)

(7)

其中R(x,y,λ)=mx2+ny2+kx2y2-λ.文獻(xiàn)[9]應(yīng)用判定函數(shù)方法和數(shù)值模擬方法給出了系統(tǒng)(6)及系統(tǒng)(7)均有8個(gè)極限環(huán).

(8)

文獻(xiàn)[10]對(duì)系統(tǒng)(8)的相圖情況進(jìn)行了分類(lèi)，分為a,b,c,d,e,f,g7種情況，并且證明了系統(tǒng)(8)在任意n次多項(xiàng)式擾動(dòng)下的極限環(huán)個(gè)數(shù)不超過(guò)54n-13.

(9)

其中q(x,y)=a0+a1x2+a2y2,ai∈R(i=0,1,2),0<ε?1.

應(yīng)用判定函數(shù)和數(shù)值計(jì)算方法,得出系統(tǒng)(9)有3個(gè)極限環(huán),而且出現(xiàn)雙尖點(diǎn)極限環(huán)的情況.當(dāng)a1=-1,a2=0.95,ε=0.001時(shí)，分別取a0=-0.02,a0=-0.041 145 8,a0=-0.06,使用數(shù)值模擬方法[11]給出了3個(gè)極限環(huán)的具體位置.

1 對(duì)非擾動(dòng)系統(tǒng)的分析

(10)

圖1 非擾動(dòng)系統(tǒng)(10)的相圖Fig.1 Phase diagram of the unperturbed system (10)

(11)

(12)

當(dāng)y=0時(shí),由式(11)可得：

x6-3x4+3x2-6h=0.

(13)

對(duì)于任意的h(0

2 判定函數(shù)和判定曲線(xiàn)

文獻(xiàn)[5]中研究了如下擾動(dòng)系統(tǒng)：

(14)

其中p(0,0)=q(0,0)=0.令A(yù)bel積分A(h)=0,得到：

(15)

(16)

則函數(shù)λ(h)稱(chēng)為擾動(dòng)系統(tǒng)(14)的判定函數(shù).

定理1[5]對(duì)于任意給定的λ0,

1) 如果(h0,λ(h0))是直線(xiàn)λ=λ0與判定曲線(xiàn)λ=λ(h)的交點(diǎn),且λ′(h0)>0(<0),系統(tǒng)(14)在Γh0附近當(dāng)λ=λ0時(shí)有一個(gè)穩(wěn)定(不穩(wěn)定)的極限環(huán).

2) 如果直線(xiàn)λ=λ0與判定曲線(xiàn)λ=λ(h)沒(méi)有交點(diǎn),則系統(tǒng)(14)當(dāng)λ=λ0時(shí)沒(méi)有極限環(huán).

同理,如果隨著h的增加,Γh向內(nèi)收縮,極限環(huán)的穩(wěn)定性與之相反.

為了簡(jiǎn)潔,此處略去定理的證明.

圖2 當(dāng)a1=-1,a2=0.95時(shí),擾動(dòng)系統(tǒng)(9)的判定曲線(xiàn)Fig.2 Detection curves of the perturbed system (9) when a1=-1 and a2=0.95

3 擾動(dòng)系統(tǒng)(9)的極限環(huán)分支

對(duì)于擾動(dòng)系統(tǒng)(9),可得其Abel積分：A(h)=∮Γh(a0+a1x2+a2y2)ydx.

(17)

對(duì)式(17)使用格林公式得：

A(h)=-?Γh(D)(a0+a1x2+3a2y2)dxdy.

(18)

令A(yù)(h)=0,由式(12)、(13)、(18)，可得兩個(gè)判定函數(shù)如下:

(0

(19)

(1/6

(20)

當(dāng)a1=-1,a2=0.95時(shí),由式(12)、(13)、(19)、(20)，可得判定函數(shù)如表1所示.

由表1表示的函數(shù),可以得到系統(tǒng)(9)的判定曲線(xiàn)，如圖2所示.

表1 當(dāng)a1=-1,a2=0.95時(shí),擾動(dòng)系統(tǒng)(9)的判定函數(shù)Tab.1 Detection functions of perturbed system (9) when a1=-1 and a2=0.95

續(xù)表1

由定理1及系統(tǒng)(9)的判定曲線(xiàn)(圖2),可以得出以下定理.

定理2 對(duì)于系統(tǒng)(9),當(dāng)a1=-1,a2=0.95,0<ε?1時(shí),由系統(tǒng)的判定曲線(xiàn),可得到以下結(jié)果.

1) 當(dāng)a0<-0.082 477 6或a0=0.171 66 5時(shí),系統(tǒng)(9)有1個(gè)極限環(huán).

2) 當(dāng)0≤a0<0.171 665或a0=-0.082 477 6時(shí),系統(tǒng)(9)有2個(gè)極限環(huán).

3) 當(dāng)-0.082 477 6

大、小極限環(huán)分別通過(guò)點(diǎn)(1.490,0)和(0.216,0)，它們 都是不穩(wěn)定的;中極限環(huán)通過(guò)點(diǎn)(1.087,0)，它是穩(wěn)定的圖3 當(dāng)a0=-0.02,a1=-1,a2=0.95,ε=0.001時(shí),系統(tǒng)(9)的3個(gè)極限環(huán)及它們的位置Fig.3 The 3 limit cycles and their locations of system (9) when a0=-0.02,a1=-1,a2=0.95,ε=0.001

大、小極限環(huán)分別通過(guò)點(diǎn)(1.495,0)和(0.327,0)，它們都是不穩(wěn)定的;中極限環(huán)(雙尖點(diǎn)極限環(huán))通過(guò)點(diǎn)(1,0)，它是穩(wěn)定的圖4 當(dāng)a0=-0.041 145 8,a1=-1,a2=0.95,ε=0.001時(shí),系統(tǒng)(9)的3個(gè)極限環(huán)和它們的位置Fig.4 The 3 limit cycles and their locations of system (9) when a0=-0.041 145 8,a1=-1,a2=0.95,and ε=0.001

大、小極限環(huán)分別通過(guò)點(diǎn)(1.503,0)和(0.423,0)，它們都是不穩(wěn)定的；中極限環(huán)通過(guò)點(diǎn)(0.842,0)，它是穩(wěn)定的圖5 當(dāng)a0=-0.06,a1=-1,a2=0.95,ε=0.001時(shí),系統(tǒng)(9)的3個(gè)極限環(huán)和它們的位置Fig.5 The 3 limit cycles and their locations of system (9) when a0=-0.06,a1=-1,a2=0.95,ε=0.001

4 結(jié)語(yǔ)

本文運(yùn)用判定函數(shù)方法[5]給出了系統(tǒng)(9)的極限環(huán)分支情況.研究表明,在特殊三次擾動(dòng)下,當(dāng)a1=-1,a2=0.95,-0.082 477 6