廖 平

（四川職業(yè)技術學院教師教育系，四川遂寧629000）

矩陣特征值估計是矩陣分析領域重要的熱點問題之一。1909 年，Schur 給出了估計（即Schur 不等式[1-2]），其中λi表示矩陣A 的特征值，‖ A ‖F(xiàn)表示矩陣A 的Frobenius 范數(shù)，當A 為正規(guī)陣時等號成立。對于非正規(guī)陣，文獻[3]將其改進為

文獻[4]對其做了進一步優(yōu)化。Kress等在文獻[5]中得到如下結果：

上述結果可直接用于矩陣特征值分布估計以及奇異性分析[6-8]。不難看出，以上改進均與有關，該項也常作為矩陣非正規(guī)性度量。但由于計算量較大，這會影響到（1）（2）式的實際運用，尤其當矩陣階數(shù)較高時。為方便應用，Kress在文獻[5]中給出了如下估計：

然而對于高階矩陣，行列式的計算量是巨大的。鑒于此，本文嘗試給出的一些易于計算的下界，以方便高階矩陣特征值的估計。下文中Cn×n表示所有n階復方陣組成的集合，且假設n ≥2，不考慮n=1時的退化情形。

先給出如下熟知的引理。

引理1設A ∈Cn×n為n 階Hermitian 矩陣，λ 為其最大模特征值，則對任意單位向量x，有

證明設λ1、λn分別為矩陣A的最大、最小特征值，由Hermitian矩陣的性質知，對任意單位向量x有λ1≥x*A x ≥λn，即| x*A x |≤max{| λ1|, | λn|}= |λ|。

定理1 設A ∈Cn×n，則對任意單位向量x，有

證明顯然矩陣B=AA*-A*A 為Hermitian 矩陣，設矩陣B 的特征值按模從大到小依次為，則由引理1可知

在定理1 中若取向量x 為一些特殊向量，即可得到一些容易計算的界。如取向量x=ei=(0,0,…,1,…,0)T，則由定理1及式（2）可得推論1。

推論1 設A ∈Cn×n，則，其中

證明取x=(0,0,…,1,…,0)T帶入定理1得，由式（2）即得所要結果。

推論2設A ∈Cn×n，則，其中

定理1的結論是比較容易得到的。若再結合矩陣的自身特點，還可進一步將其優(yōu)化為如下結果。

定理2設A ∈Cn×n，則對任意單位向量x，有

證明設矩陣B=AA*-A*A特征值按模從大到小依次為 |μ1|≥| μ2|≥| μ3|≥…≥| μn|，由于trB=0，從而其特征值μ1,μ2,μ3,…,μn滿足，故對最大模特征值μ1，必有若干個（不防設為k個，k ≤n-1）相反符號的特征值（這里記為μ11,μ12,μ13,…,μ1k），其和與μ1相抵或。從而有

不難看出定理2改進了定理1。同時，推論1、推論2亦可相應地改進為推論3、推論4。

推論3設A ∈Cn×n，則，其中

推論4設A ∈Cn×n，則，其中

另外，容易計算AA*-A*A 的第i 個對角元dii=αi-βi，其中，與推論1和推論3相同，且，故還可有如下估計。

推論5設A ∈Cn×n，則，其中

最后將實際估計時常用的式（3）與推論5做一個簡單的分析比較。在式（2）中，AA*-A*A的第i個對角元dii=αi-βi，其中αi，βi與推論5相同。當2時，推論5將優(yōu)于式（3），其余情況則式（3）比推論5更好。