滕秀花，戴林送

（安慶師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院，安徽安慶246133）

灰色系統(tǒng)[1-2]是由鄧聚龍教授在1982年創(chuàng)立的一門新系統(tǒng)科學(xué)學(xué)科，它以“部分信息已知，部分信息未知的小樣本、貧信息”不確定性系統(tǒng)為研究對象。作為灰色系統(tǒng)基礎(chǔ)的GM(1,1)模型，主要適用于時間較短、數(shù)據(jù)資料少、隨機性波動不大的問題預(yù)測，若對隨機性波動較大的數(shù)列進(jìn)行預(yù)測，擬合度較差，預(yù)測精度不理想。Markov過程[3]是一類具有無記憶性的隨機過程。Markov轉(zhuǎn)移概率預(yù)測是可以用來揭示系統(tǒng)在不同狀態(tài)區(qū)間轉(zhuǎn)移的內(nèi)在規(guī)律，也就是說，Markov進(jìn)行數(shù)據(jù)分析必須要有大量的歷史數(shù)據(jù)，且要求其預(yù)測對象一般具有Markov鏈和平穩(wěn)過程的特點，這和經(jīng)濟預(yù)測問題是大量隨時間變化而呈現(xiàn)非平穩(wěn)隨機過程不相符合。安徽省城鎮(zhèn)居民人均可支配收入是指安徽省內(nèi)城鎮(zhèn)居民的實際收入中用于安排日常生活的收入，是用來衡量安徽省城鎮(zhèn)居民收入水平和生活水平的最重要指標(biāo)。將城鎮(zhèn)居民人均收入看作灰色系統(tǒng)來處理，運用基于GM(1,1)預(yù)測模型和Markov預(yù)測模型建立的灰色Markov預(yù)測[5-8]，對安徽省城鎮(zhèn)居民人均可支配收入進(jìn)行預(yù)測將會獲得更好的結(jié)果。

1 灰色Markov預(yù)測模型的構(gòu)建

原始序列設(shè)定為X(0)={x (1),x(2),x(3),…,x(n) }，滿足x(i)≥0,i=1,2,3,…,n，n 為數(shù)據(jù)量，將安徽省城鎮(zhèn)居民人均可支配收入作為原始序列，建立GM(1,1)模型，基本步驟如下。

其中

為了下文Markov預(yù)測模型的應(yīng)用，現(xiàn)給出Markov鏈及相關(guān)定義。

定義設(shè){X(n):n ∈? }為隨機過程序列，E為狀態(tài)空間，如果該序列滿足以下兩個條件：（1）E為至多可列集；（2）對任何正整數(shù)m ≥1,0 ≤n1

則稱{ X(n):n ∈? }為Markov鏈，稱條件概率p(ijk)(m)=P{ Xm+k=j| Xm=i },i,j ∈E為k步轉(zhuǎn)移概率。

注意到，處理實際問題時，一般考慮一步轉(zhuǎn)移概率，以nij表示由狀態(tài)Ei經(jīng)過一步達(dá)到狀態(tài)Ej的頻數(shù)，從而求出一步轉(zhuǎn)移概率矩陣：，這里s表示狀態(tài)空間E的狀態(tài)數(shù)。利用當(dāng)前狀態(tài)并結(jié)合轉(zhuǎn)移矩陣進(jìn)行預(yù)測就是Markov預(yù)測。Markov預(yù)測在經(jīng)濟、政治等方面有很多應(yīng)用[4]。

2 灰色Markov預(yù)測模型的應(yīng)用

選取安徽省2007—2018年的城鎮(zhèn)居民人均可支配收入進(jìn)行序列分析，數(shù)據(jù)見表1第2列。

利用Matlab 編程得到GM(1,1)模型的估計參數(shù)為a?=-0.093 4,b?=12 115，從而，得到GM(1,1)模型預(yù)測模擬值、預(yù)測殘差以及相對誤差，詳細(xì)結(jié)果可見表1的第3、第4、第5列。

根據(jù)表1 中的殘差，分為3 個狀態(tài)，分別為E1、E2、E3，對應(yīng)的殘差范圍分別為

各年分支所屬狀態(tài)如表第9列所示。由此可得到一階轉(zhuǎn)移矩陣為

根據(jù)表1 的預(yù)測狀態(tài)，取預(yù)測狀態(tài)所屬殘差范圍的中值，再結(jié)合GM(1,1)模型預(yù)測值，即為灰色Markov預(yù)測模型的預(yù)測值，見表1第6列。

表1 安徽省城鎮(zhèn)居民人均可支配收入擬合值、預(yù)測值比較

根據(jù)以上結(jié)果，從預(yù)測精度對模型進(jìn)行對比分析，GM(1,1)模型和灰色Markov模型的絕對殘差均值分別為608.63 元和301.80 元，市場相對誤差分別為3.159%和1.437%，可以看出，灰色Markov 模型會使絕對殘差均值和平均相對誤差都減少為原來的一半以上。

根據(jù)一階轉(zhuǎn)移矩陣以及2018年的狀態(tài)為E1，可預(yù)測出2019年和2020年的灰色Markov模型的數(shù)據(jù)分別為37 875.24元與41 654.8元。

3 結(jié) 論

對比單一GM(1,1)預(yù)測模型與灰色Markov預(yù)測模型結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，灰色Markov預(yù)測模型預(yù)測精度高，有效地降低了數(shù)據(jù)的隨機性。結(jié)合GM(1,1)預(yù)測模型所需樣本數(shù)量少以及Markov預(yù)測模型能較好處理波動性偏大的優(yōu)勢，能夠有效地預(yù)測2019年和2020年安徽省城鎮(zhèn)居民人均可支配收入預(yù)測值。