領(lǐng) 銜 人：崔恒劉

組稿團隊：江蘇省初中數(shù)學(xué)學(xué)科課程示范基地（東臺市實驗中學(xué)教育集團）

文 季承潔

概率與頻率是兩個不同的概念，它們既有區(qū)別又有聯(lián)系。事件發(fā)生的概率是一個確定的數(shù)值，而頻率是不確定的數(shù)值。我們可以通過試驗，用頻率估計概率的大小。在試驗次數(shù)較少時，頻率的大小不夠穩(wěn)定，不能反映概率，但當(dāng)試驗次數(shù)漸漸增多時，頻率會逐漸穩(wěn)定在概率附近，而且非常接近概率，但不一定相等。我們可以利用頻率的穩(wěn)定性估計相應(yīng)的概率，也可以利用概率來預(yù)測不確定事件進行多次試驗后的頻率，由此解決實際問題。

一、概念辨析

例1 做“拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣”試驗，在大量重復(fù)試驗中，對于事件“正面朝上”的頻率和概率，下列說法正確的是（ ）。

A.概率等于頻率

C.概率是隨機的

D.頻率會在某一個常數(shù)附近擺動

【解析】頻率只能估計概率，不一定等于概率，故A選項錯誤；頻率是試驗的統(tǒng)計結(jié)果，是隨機的，它隨試驗而變化，是一個不確定的值，故B選項錯誤；事件發(fā)生的概率是唯一確定的一個值，拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上的概率等于故 C 選項錯誤；當(dāng)試驗次數(shù)很大時，頻率穩(wěn)定在概率附近，故D選項正確。

【點評】本題考查概率與頻率的概念辨析，我們需要正確理解概率與頻率的概念和關(guān)系：反復(fù)試驗時，某事件發(fā)生的頻率會穩(wěn)定在某個常數(shù)的附近，這個常數(shù)就叫作事件概率的估計值，而不是一種必然的結(jié)果。

二、通過模擬試驗來估計概率

例2 （2020·新疆）下表中記錄了某種蘋果樹苗在一定條件下移植成活的情況：

0.935 0.892______________________________0.913 0.895 0.903移植的棵數(shù)n 200__________500__________800_________2000________12000_______成活的棵數(shù)m 187 446 730__________________1790 10836成活的頻率m_____________________________________n

由此估計這種蘋果樹苗移植成活的概率約為_______。（精確到0.1）

【解析】由表格可知，試驗次數(shù)為12000（足夠多）時，它的頻率為0.903≈0.9，所以估計這種蘋果樹苗移植成活的概率約為0.9。

【點評】本題考查利用頻率估計概率：在一定條件下，試驗次數(shù)足夠多時，隨機事件發(fā)生的頻率會在某個常數(shù)附近擺動，這個常數(shù)就是頻率的穩(wěn)定值。頻率的穩(wěn)定值就作為這個隨機事件發(fā)生的概率的估計值。

三、擲瓶蓋試驗判斷結(jié)論

例3 下圖顯示了小亞用計算機模擬隨機投擲一枚某品牌啤酒瓶蓋的試驗結(jié)果。

那么可以推斷出如果小亞實際投擲一枚這個品牌的啤酒瓶蓋時，“凸面向上”的可能性_______“凹面向上”的可能性。（填“大于”“等于”或“小于”）

【解析】根據(jù)圖中數(shù)據(jù)可得，“凸面向上”的頻率在 0.443 與 0.440 之間，所以“凸面向上”的可能性小于“凹面向上”的可能性。

【點評】本題考查了利用頻率估計概率。解答本題的關(guān)鍵是明確概率的定義，利用數(shù)形結(jié)合的思想，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)解答。

四、通過模擬試驗來估計能發(fā)芽的作物種子數(shù)量

例4 某農(nóng)科所在相同條件下做玉米種子發(fā)芽試驗，結(jié)果如下：

某位顧客購進這種玉米種子10千克，那么大約有_______千克種子能發(fā)芽。

【解析】根據(jù)農(nóng)科所在相同條件下做玉米種子發(fā)芽率的試驗結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)經(jīng)過大量重復(fù)試驗后，玉米種子發(fā)芽的頻率穩(wěn)定在0.88左右，由此求出10千克種子中能發(fā)芽的種子的質(zhì)量是：10×0.88=8.8（千克）。

【點評】此題主要考查了利用頻率估計概率，大量反復(fù)試驗下，頻率穩(wěn)定值即概率。解答此題的關(guān)鍵是判斷出大量重復(fù)試驗后，玉米種子發(fā)芽的頻率穩(wěn)定在0.88左右。