文 崔恒劉

概率論是很有文化底蘊(yùn)（實(shí)際背景很容易理解）的一門學(xué)科。早期的埃及人為了忘記饑餓，經(jīng)常聚集在一起玩一種叫作“獵犬與胡狼”的游戲，實(shí)際上就是今天的擲骰子游戲。相對(duì)面的數(shù)字之和是7 的骰子大約產(chǎn)生于公元前1400 年的埃及，骰子就是游戲中常用的隨機(jī)發(fā)生器，這類游戲也叫作機(jī)會(huì)性游戲。17世紀(jì)中葉，人們開始對(duì)機(jī)會(huì)性游戲的數(shù)學(xué)規(guī)律進(jìn)行探討。它的發(fā)展與數(shù)學(xué)史上一些偉大的名字相聯(lián)系，如帕斯卡、費(fèi)馬、惠更斯、詹姆斯、伯努利、棣莫弗、拉普拉斯等。

1654 年，費(fèi)馬與帕斯卡的通信中關(guān)于分賭注問題的討論被公認(rèn)為是概率論誕生的標(biāo)志。問題是這樣的：“兩個(gè)賭徒相約賭若干局，誰(shuí)先贏s局就算贏了。當(dāng)賭徒A贏a局（a＜s），而賭徒B贏b局（b＜s）時(shí)，賭博被迫中止。應(yīng)該怎樣分配賭注才合理？”三年后，惠更斯用自己的方法解決了這一問題，并寫成了《論賭博中的計(jì)算》一書，這就是概率論最早的論著，奠定了我們今天所學(xué)的古典概率基礎(chǔ)。

有意思的是，在近幾年的中考試題中，也出現(xiàn)了這類背景隱含著概率起源的考題。

如2018年連云港市第21題：湯姆斯杯世界男子羽毛球團(tuán)體賽小組賽比賽規(guī)則：兩隊(duì)之間進(jìn)行五局比賽，其中三局單打，兩局雙打，五局比賽必須全部打完，贏得三局及以上的隊(duì)獲勝。假如甲、乙兩隊(duì)每局獲勝的機(jī)會(huì)相同。

（1）若前四局雙方戰(zhàn)成2∶2，那么甲隊(duì)最終獲勝的概率是_______；

（2）現(xiàn)甲隊(duì)在前兩局比賽中已取得2∶0的領(lǐng)先，那么甲隊(duì)最終獲勝的概率是多少？

【分析與解】（1）兩隊(duì)之間進(jìn)行五局比賽，前四局雙方戰(zhàn)成2∶2，說明已經(jīng)比完四局，還剩下一局定勝負(fù)，而甲、乙兩隊(duì)旗鼓相當(dāng)，每局獲勝的機(jī)會(huì)相同，根據(jù)概率的意義，甲隊(duì)最終獲勝的概率是

（2）第（2）問同學(xué)們?nèi)菀子姓`解，錯(cuò)誤地認(rèn)為甲隊(duì)最終獲勝的概率也是這也是概率起源時(shí)備受爭(zhēng)議的觀點(diǎn)之一。其實(shí)根據(jù)比賽規(guī)則“五局比賽必須全部打完”，已經(jīng)比完兩局，還有三局，由于甲、乙兩隊(duì)每局獲勝的機(jī)會(huì)相同，也就是勝負(fù)的可能性一樣，因此列出樹狀圖，幫助找到所有等可能的結(jié)果：

如圖可知，剩下的三局比賽共有8 種等可能的結(jié)果，其中甲至少勝一局有7 種，所以P（甲隊(duì)最終獲勝）=

【點(diǎn)評(píng)】純粹從考題看，本題是考查列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n，從中選出符合事件A或B 的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式計(jì)算事件A 或事件B 的概率。透過試題看本質(zhì)，我們可以感覺到本題背景隱含著概率的起源。

為加深同學(xué)們對(duì)所求概率必須在“等可能”的條件下的理解，再看一例：兩枚質(zhì)地相同的正四面體，它們的各面上分別標(biāo)明數(shù)字1、2、3、4，如同時(shí)投擲這兩枚正四面體骰子，則著地面的點(diǎn)數(shù)之和等于5的概率為多少？

【錯(cuò)解】因?yàn)橹孛纥c(diǎn)數(shù)之和最小為2，最大為8，共有7 種不同的結(jié)果，所以著地面的點(diǎn)數(shù)之和為5的概率是

【錯(cuò)解分析】著地面點(diǎn)數(shù)之和是2、3、4、5、6、7、8 的結(jié)果不是等可能的，我們列出表格：

___________________12______3______4____________1_________2_________3_________4和為2__和為3__和為4__和為5__和為3__和為4__和為5__和為6__和為4__和為5__和為6__和為7__和為5_和為6_和為7_和為8_

從表格中可看出：同時(shí)投擲兩個(gè)正四面體骰子，共有16種等可能情況，和為2的情況只有1種，和為3的情況有2種，和為4的情況有3種，和為5的情況有4種，和為6的情況有3 種，和為 7 的情況有 2 種，和為 8 的情況有 1種。因此著地面點(diǎn)數(shù)之和是2、3、4、5、6、7、8的結(jié)果不是等可能的。

【正解】列表如上，從表中可看出，共有16種情況，著地面的點(diǎn)數(shù)之和等于5的共有4種，則此種情況的概率是

【點(diǎn)評(píng)】利用概率公式求概率必須在有限性和等可能的前提下進(jìn)行?！暗瓤赡堋笔且环N假設(shè)，是一種理想狀態(tài)。“等可能”事件具備兩個(gè)特征：試驗(yàn)結(jié)果的有限性和每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的等可能性。我們要根據(jù)實(shí)際情況判斷是否可以認(rèn)為所有可能結(jié)果是等可能，要學(xué)會(huì)變換思維角度、去偽存真，將不等可能事件轉(zhuǎn)化為等可能事件。如拋擲兩枚硬幣，將出現(xiàn)“一個(gè)正面、一個(gè)反面”的事件拆分成“正反、反正”兩個(gè)等可能事件；摸球試驗(yàn)中，同顏色球不止一個(gè)時(shí)，為了體現(xiàn)事件的等可能性，一般需要將它們分別編號(hào)；投飛鏢和轉(zhuǎn)盤試驗(yàn)中，原題分的“塊”面積不相等時(shí)，一般需要將它們?cè)偌?xì)分成等面積區(qū)域，然后求解。諸如此類，需謹(jǐn)慎小心，防止上當(dāng)！