文 姜 華
我們可以通過列表法或畫樹狀圖法不重復、不遺漏地列出所有等可能發(fā)生的結(jié)果。概率問題看似很簡單,其實并非如此,如果不認真審題,稍不留神就會出錯。
例1 大雙、小雙的媽媽申購到一張進博會的門票,兄弟倆決定分別用標有數(shù)字且除數(shù)字以外沒有其他任何區(qū)別的小球,設計這樣一種游戲確定誰去:口袋中放著分別標有數(shù)字 1、2、3 的三個小球,且已攪勻,大雙、小雙依次蒙上眼睛有放回地摸1 次,大雙摸到偶數(shù)就記2 分,摸到奇數(shù)記0 分;小雙摸到奇數(shù)就記1 分,摸到偶數(shù)記0 分,積分多的就得到門票(若積分相同,則重復第二次)。請問這個游戲方案對雙方是否公平?
【錯解】P(大雙摸到偶數(shù))=積分為P(小雙摸到奇數(shù))=積分為
所以這個游戲方案對雙方都公平。
【分析】可能出現(xiàn)的所有等可能結(jié)果列樹狀圖如下:
【正解】這個游戲方案不公平。P(大雙去)=P(小雙去)=所以這個游戲方案對小雙有利。
例2 一個不透明的盒子中放入四張卡片,每張卡片上都寫有一個數(shù)字,分別是-2,-1,0,1,卡片除數(shù)字不同外其他均相同。從中隨機抽取兩張卡片,抽取的兩張卡片上數(shù)字之積為負數(shù)的概率是( )。
【錯解】列表如下圖,故所抽取兩數(shù)的積為負數(shù)的概率為選A。
________________兩數(shù)積________________________________-2________________________________-1-2___-1_________1-2-1________________0_______________1 4____2____0____-2___2____1____0____-1___0_______0_______0_______0____0____0__1__
【分析】從中隨機抽取兩張卡片,相當于先后抽兩次,第一次抽過后不放回,再抽第二次。需要注意區(qū)分的是:抽卡片、撲克牌,摸袋中球等要看清題目條件的敘述是“有放回”還是“無放回”。對于“無放回”,一是題目條件中交代是無放回,二是同時抽兩張暗示無放回;“擲骰子”“拋硬幣”“搖轉(zhuǎn)盤”只有一種,第一次出現(xiàn)的,第二次還有可能出現(xiàn),相當于“抽”“摸”中的有放回。
【正解】列表如圖,故所抽取兩數(shù)的積為負數(shù)的概率為選B。
_____________________兩數(shù)積_____________________-2________________-1-1-2______________1_________________0 1 2_________0____-2 2____0_________-1 0_______0___0___0-2_-1_0_
例3 某單位A、B、C、D 四人隨機分成兩組赴北京、上海學習,每組兩人。求A、B 分在同一組的概率。
【錯解】根據(jù)題意畫樹狀圖得:
共有 12 種等可能結(jié)果,A、B 分在同一組的結(jié)果有兩種,因此P(A、B 分在同一組)=
【分析】樹狀圖畫得不錯,共有12 種等可能結(jié)果也不錯,錯在考慮問題不細致。樹狀圖中,當C、D分在同一組時,意味著A、B分在另一組,A、B 在另一組也是分在同一組,因此錯解遺漏了這兩種等可能結(jié)果。
【正解】根據(jù)題意畫樹狀圖得:
由樹狀圖共有12 種等可能結(jié)果,列表如下:
____________________赴上海_______________________CD BD_______________________BC_______________________CD_______________________AD_______________________AC_______________________BD_______________________AD_______________________AB______________________BC______________________AC_______________________AB方案____1_______2_______3_______4_______5_______6_______7_______8_______9_______1 0______11______12______赴北京____________AB______________AC AD______________BA______________BC______________BD______________CA______________CB______________CD______________DA______________DB______________DC______________
由表格中的 12 種方案知:A、B 分在同一組有4種方案,分別是方案1、4、9、12,
【點評】我們根據(jù)題意畫出樹狀圖后,切不可急不可耐地去求概率,應放慢腳步,寫出所有等可能結(jié)果,認真看清楚題目要求,讀懂每一句話的含義,從中找出所求事件的結(jié)果數(shù)。如本題在畫樹狀圖時,不能忘記樹狀圖中沒有出現(xiàn)的A、B被分在另一組的情況。