摘 要：介紹了分形幾何理論的基礎以及分形圖形的主要生成方法，闡述了分形幾何學在計算機圖形學中的應用。

關鍵詞：分形幾何；計算機圖形學

中圖分類號：TP391.41

分形幾何學從70年代創(chuàng)立以來，在近代科學技術的發(fā)展中，已越來越為人們所重視。傳統幾何學的研究對象是整數維數，比如一維、二維平面內的點線等，而分形幾何學則研究的是分數維數，它的研究對象一般是那些不規(guī)則形狀的。分形幾何學與動力系統中的混沌理論結合在一起，在眾多領域的應用取得很大的成功。很多學科領域都開始對分形理論展開研究，取得理論突破的同時，也能夠應用到具體的學科當中去。物理學中，可以用分形理論來研究基本粒子；生物學中，可以對蛋白質進行研究；地質學中，借助分形可以提高地震預報水平；信息科學中，可以研究通信中噪聲的結構和模式以及語音識別；經濟學中，可以對商品價格浮動的規(guī)律加以研究；此外分形理論還可以用于教育學、管理學等更多領域。

目前，在傳統幾何學的基礎上，計算機圖形學發(fā)展比較迅速，能夠對一些規(guī)則圖形進行比較好的繪制。但是隨著對計算機圖形學相關要求的不斷提高以及自然景物模擬的迅速發(fā)展，傳統圖形學已經不能取得很好的效果，當面對自然景物中的非規(guī)整形狀，傳統圖形學顯得束手無策。而在計算機圖形學中引入分形幾何學，就能夠對那些不規(guī)則的圖形進行適當的處理和繪制。通過分形幾何，可以從大量的數據中，按照一定的方法選取合適的少量數據，就可以生產復雜的自然景物，繪制的效果比較逼真。通過分形幾何和計算機圖形學的結合，能夠逼真的描述海岸線、地形圖等自然風景。下面先對分形幾何的理論基礎進行介紹，再討論一下分形幾何在計算機圖形學中的一些應用。

1 分形幾何理論基礎

分形幾何之所以能夠結合計算機圖形學實現對不規(guī)則事物進行逼真描述，是因為分形幾何所具有的一些特征。分形事物的組成部分與整體存在某種方式相似，比如自相似和自仿射.自相似就是事物的局部與整體相似，通過適當的放大尺寸，任何一個小的局部都可以與整體重合；自仿射則更加復雜、更加一般，自仿射事物的局部事物通過在各個方向的不同伸縮比可以得到整體事物。自相似和自仿射的性質使得分形幾何結合計算機圖形學可以逼真的描述大自然景物，兩者兩比，自仿射分形更為復雜，但更接近現實，研究意義更加重要。

分形有效的解決了局部與整體的關系問題，借助空間結構的對稱性、自相似性以及自仿射性，可以得到比較逼真的圖形模型，整個生成的景物豐富多彩，細致逼真，具有獨特的藝術魅力。所生成的景物可以是結構性強的山峰，也可以是結構性弱的云煙。這其中的關鍵是要選擇一個合適的模型來進行描述。根據分形造型模型的不同，可以分為四種分形圖形的方法：基于L-系統的分形圖形；迭代函數系統IFS方法；粒子系統模型方法；隨機插值法。下面主要介紹常用的兩種方法：基于L-系統的分形和迭代函數系統的分形方法。

2 基于L-系統的分形圖形

L-系統方法是將L-系統和計算機圖形學進行有效的結合，能夠有效的模擬自然界的景物，其中的L-系統是用形式語言對植物形態(tài)進行描述的拓撲結構。

在L-系統方法中，比較重要的是并行重寫系統，它可以不斷的進行迭代以達到最終需要的結果。在重寫規(guī)則確定后，可以從一個初始圖形進行迭代嵌套，最終生成圖形。L-系統方法的生成過程需要大量的時間，但是相關的公式比較簡單。

L-系統方法中進行迭代時，經過一兩次的迭代后，圖形的樣子還比較簡單，圖形的特征還不夠明顯，但是隨著迭代次數的不斷增加，圖形的特征越來越明顯，從而可以得到清晰逼真的圖形。所以我們制作分形數時，可以根據L-系統方法進行不斷的迭代，從而得到完美的樹形。

除了L-系統的分支結構類型外，還有參數L-系統、隨機L-系統等類型，這些方法的基本思想是一樣的，只是他們的繪圖技巧不一樣，繪圖使用更靈活，得到的圖形也就越逼真。

3 分形幾何的應用

分形圖形所依據的函數是混沌的，所以當相應的參數發(fā)生微小的變化時，便會得到不同的結果。當選取合適的參數時，能夠使圖形顏色的設置更加合理，得到的圖形更加逼真。借助計算機，我們可以清楚的看到這種變化的過程，可以了解到圖中許多重復出現的地方，具有無限嵌套的精細內容，分形之美得到了充分體現。分形幾何在計算機圖形學中的應用，不但充分展現了分形幾何所具有的優(yōu)勢，而且促進了計算機圖形學的進一步發(fā)展。

分形幾何中的遞歸迭代可以得到精美的分形圖案，根據變換的不同，可以得到不同的分形圖案。當在三維空間定義變換時，還能夠得到三維立體圖形。雖然迭代函數參數的分布比較復雜，但是分形的計算機生產方法有很多種，都能夠找到控制形狀的參數，從而實現參數化。分形幾何在計算機圖形學中的應用，不僅僅給研究數學的學者指出了一條啟發(fā)道路，而且應用得到的精美圖形可以供人欣賞，還能用于圖案設計等。

根據分形布朗運動，可以在計算機圖形中產生逼真的海岸線。在對平面地圖的海岸線進行繪制時，想要得到很逼真的效果，則需要采取大量的數據點，這樣不僅僅浪費計算機的內存，而且整個收集繪制的工程量也非常大。根據分形布朗運動擾動的方法，只需要少量的數據點便能夠達到逼真的效果。同理，可以產生逼真的三維地形圖以及粗糙表面的紋理，不同的是需要在三維空間上進行模擬。

分形圖形之所以能夠得到大家的認可，是因為分形圖形的內涵比較深刻、圖形層次豐富，體現了混沌和有序之美，而且這是需要借助計算機圖形學才能夠得到，任何再高明的畫家也不能做到。但是一般的設計人員并不是很熟悉分形的相關理論，所以將計算機分形圖形進行進一步的推廣還具有一定的難度，需要采取有效的簡化措施。

為此，可以將分形圖形計算機生成實現參數化設計，只要改變少量的參數便能夠得到不同的相似圖形。參數化技術可以使設計人員跳過復雜的數學理論、計算機算法和編程等問題，可以直接進行創(chuàng)作，得到獨具特色的逼真圖形。參數化技術大大減少了設計人員的繪制時間，使普通人也能夠進行創(chuàng)作，這有利于推廣分形技術的應用，具有重要的應用價值。

根據分形幾何中的迭代函數系統還可以用來壓縮圖像信息量，它的壓縮比可以達到1/500以上。對于生物、醫(yī)學及衛(wèi)星等需要提取和識別圖像信息的學科具有重要的應用價值，還能夠優(yōu)化電視和通訊中的圖像處理和傳輸。分形幾何學和計算機圖形學相結合后，以壓縮圖像為基礎，形成了一個新的研究方向。

4 結束語

分形幾何與計算機圖形學相結合，已經成為了一個具有重要研究價值的嶄新領域。分形幾何中，在進行迭代的時候，只要對相關的參數進行少量的更改，就可得到各種不同的圖形，選取合適的話，便能夠取得復雜逼真的效果。這不僅僅能夠得到精美的圖案供人欣賞及設計用，而且為研究數學的學者指出了一條啟發(fā)道路。分形幾何的另一個重要領域便是圖像壓縮，利用分形幾何進行繪圖的過程是選取關鍵點過程，反過來的話，根據壓縮儲存的關鍵數據點便可以恢復圖形，實現圖像壓縮。分形向人們展示了與眾不同的一面，這大大吸引了人們去尋找其中的新規(guī)律和新特征，促使人們去探索分形在現實生活中所具有的應用價值。

參考文獻：

[1]郭冬梅.分形幾何在計算機圖形學中的應用[J].機械設計，2001.

[2]張融.分形幾何學——科學與藝術的完美融合[J].教育教學論壇，2013.