陰建軍，賈 濤

(太原理工大學(xué) 電氣與動(dòng)力工程學(xué)院，太原 030024)

圓柱繞流問(wèn)題是工程項(xiàng)目中最常見(jiàn)問(wèn)題之一，是引起圓柱形管線(xiàn)破壞的主要原因之一[1].當(dāng)流體流經(jīng)圓柱形管群時(shí)會(huì)產(chǎn)生流場(chǎng)，而不同間距比下的管群后的流場(chǎng)是不同的，所以為了實(shí)現(xiàn)圓柱管道群的科學(xué)合理規(guī)劃，需要對(duì)不同間距比排列下的管群的流場(chǎng)特性進(jìn)行深入研究[2-3].多個(gè)圓柱體組成的圓柱群繞流系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，其演化發(fā)展受到多種因素的影響，例如圓柱布置形式、間隙率、入流速度等因素，導(dǎo)致其尾流流態(tài)呈現(xiàn)不確定性.圓柱繞流流場(chǎng)混亂度的量化目前尚無(wú)公認(rèn)的度量標(biāo)準(zhǔn)，而且對(duì)于如何定量描述流場(chǎng)變化情況的研究也比較少，繞流流場(chǎng)具有較大的不確定性，特別是多圓柱繞流流場(chǎng)，采用什么方法來(lái)衡量流場(chǎng)變化更為合理，無(wú)論在試驗(yàn)或者理論研究都有待進(jìn)一步深入.

信息熵對(duì)信號(hào)的處理辦法已經(jīng)在兩相流、水文學(xué)和污染物濃度預(yù)測(cè)等多個(gè)領(lǐng)域內(nèi)得到充分的應(yīng)用[4-6].繞流速度場(chǎng)中包含有大量的動(dòng)態(tài)信息，是流動(dòng)特性、柱體幾何特性和排列形式等影響因素的綜合體現(xiàn).目前主要采用平均流向或豎向速度來(lái)對(duì)尾流區(qū)流場(chǎng)結(jié)構(gòu)特性進(jìn)行研究，周強(qiáng)等[7]運(yùn)用基于Smagorinsky亞格子模型的大渦模擬方法分析了尾流區(qū)的流場(chǎng)結(jié)構(gòu),并給出了平均流場(chǎng)以及湍流流場(chǎng)的流場(chǎng)特征.張立[8]采用有限體積法對(duì)二維圓柱繞流流場(chǎng)中反向?qū)ΨQ(chēng)漩渦的演化過(guò)程進(jìn)行研究，得出演化速度呈現(xiàn)M型分布規(guī)律.Zhou Y等[9]實(shí)驗(yàn)研究了兩個(gè)并排圓柱的湍流尾流結(jié)構(gòu)，探討了旋渦的相互作用機(jī)制.通過(guò)以上文獻(xiàn)可以了解到，國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者對(duì)尾流結(jié)構(gòu)特性都進(jìn)行過(guò)研究，但對(duì)于定量衡量流場(chǎng)特性方面還未形成公認(rèn)的研究方法.多數(shù)研究人員[10-12]采用對(duì)流場(chǎng)流速的測(cè)量方法進(jìn)行衡量，但未對(duì)速度信息中包含的可用信息進(jìn)行深入的研究，所以對(duì)于定量衡量流場(chǎng)特性采用什么方法對(duì)速度信息進(jìn)行深入挖掘顯得十分重要.

本文采用有限元方法對(duì)均勻來(lái)流條件下圓柱群繞流問(wèn)題進(jìn)行數(shù)值模擬研究，并運(yùn)用基于信息熵的時(shí)間序列方法著重分析了采樣區(qū)域流場(chǎng)特征，以一個(gè)新的角度來(lái)對(duì)定量衡量流場(chǎng)特性的變化規(guī)律進(jìn)行探討.

圖1 計(jì)算域及邊界條件Fig.1 Computational domain and boundary conditions

表1 單圓柱繞流計(jì)算結(jié)果比較Tab.1 Calculation results of flow around a single cylinder

1 數(shù)值方法

1.1 控制方程

流體域的控制方程為二維不可壓縮粘性流體的連續(xù)方程和Navier-Stokes方程，其直角坐標(biāo)系下的表達(dá)形式如下：

(1)

(2)

(3)

式中ρ為流體密度，t為時(shí)間，P為流場(chǎng)壓力，u、v為速度分量，μ為流體動(dòng)力粘度.

1.2 計(jì)算區(qū)域及邊界條件

設(shè)置柱群距離入流邊界為10 D，距離出流邊界為40 D，距離上下邊界為20 D，兩個(gè)圓柱的中心之間的距離為L(zhǎng)，間距比為L(zhǎng)/D，U0=1 m/s為均勻來(lái)流流速，D=0.2 m為圓柱直徑，流體域采用非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格進(jìn)行離散并對(duì)圓柱體表面及尾流區(qū)等流體力參數(shù)梯度變化較強(qiáng)烈的計(jì)算敏感區(qū)域進(jìn)行局部網(wǎng)格加密.矩形采樣區(qū)域(寬度為D)位于柱群中心線(xiàn)上，如圖1中虛線(xiàn)部分所示，文中所計(jì)算的數(shù)據(jù)均來(lái)源于采樣區(qū)域.

計(jì)算域邊界條件設(shè)置如下：圓柱表面采用無(wú)滑移邊界條件，進(jìn)口采用均勻來(lái)流條件，出口采用自由流出流邊界條件，上下邊界采用對(duì)稱(chēng)邊界條件，如圖1所示.

1.3 模型驗(yàn)證

為了保證數(shù)值模擬的可靠性，本文計(jì)算了在Re=200的條件下單圓柱的繞流問(wèn)題，并將計(jì)算結(jié)果與相關(guān)文獻(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行分析比較，如表1所示.驗(yàn)證算例結(jié)果表明，本文所采取的數(shù)值計(jì)算方法是合理可行的.

2 信息熵及ARMA-GARCH模型

2.1 信息熵

1948年，克勞德·艾爾伍德·香農(nóng)[16]在他著名的《通信的數(shù)學(xué)原理》論文中指出：“信息是用來(lái)消除隨機(jī)不確定性的東西”，并提出了“信息熵”的概念(借用了熱力學(xué)中熵的概念).從此，信息熵開(kāi)始進(jìn)入科學(xué)領(lǐng)域，它在定量化衡量進(jìn)程中與物理概念中的“熵”緊密聯(lián)系起來(lái).信息熵是一個(gè)系統(tǒng)中信源的不確定性度量，依據(jù)表征信源的不同，信息熵已被廣泛運(yùn)用在各個(gè)學(xué)科領(lǐng)域，并取得豐碩成果[17-18].

對(duì)于多體繞流流場(chǎng)采樣區(qū)域的離散平均速度信號(hào)V={v1,v2，…，vn},稱(chēng)為信息符號(hào)，V的概率向量P={p1,p2，…，pn}，稱(chēng)為信源.Shannon用熵來(lái)評(píng)價(jià)整個(gè)隨機(jī)變量V平均的信息量，而平均最好的量度就是隨機(jī)變量的期望，即信息熵的定義如下：

(4)

從信息熵的定義可以得到,流場(chǎng)越不穩(wěn)定,熵值就越大，信息熵反映了尾流流場(chǎng)的流動(dòng)形態(tài)和穩(wěn)定性，尾流運(yùn)動(dòng)越劇烈,速度變化頻率越大,則系統(tǒng)的不確定性越高,熵值就越大.

圖2 ARMA-GARCH建模流程Fig.2 ARMA-GARCH modeling process

2.2 ARMA-GARCH模型

信息熵的變化不僅受到流場(chǎng)滯后性的影響，而且還受到流動(dòng)中各種不確定因素的影響，所以描述信息熵的變化可以采用ARMA-GARCH模型.文章用于分析信息熵的ARMA-GARCH模型，即均值滿(mǎn)足ARMA過(guò)程而殘差滿(mǎn)足GARCH過(guò)程的模型.

ARMA模型即自回歸移動(dòng)平均模型(auto-regressive and moving average model)，該模型由自回歸模型(AR模型)和移動(dòng)平均模型(MA模型)組合而成[19].ARMA(p,q)的一般形式如下所示:

(5)

其中,p為AR過(guò)程的滯后階，q為MA過(guò)程的滯后階，p和q都是非負(fù)整數(shù)；εt為隨機(jī)誤差項(xiàng)，為白噪聲過(guò)程.

(6)

本文對(duì)信息熵的具體建模步驟如圖2所示.

3 結(jié)果與討論

在小間距比時(shí)(L/D=1.1)，由圖3可以觀(guān)察到柱群上下側(cè)近鄰表面處形成周期性交替脫落的旋渦，此時(shí)與單柱繞流時(shí)形成的卡門(mén)渦街現(xiàn)象相似，流體作用于柱群的力主要由第一列圓柱承擔(dān)，整個(gè)流體域內(nèi)的流場(chǎng)具有較規(guī)則的對(duì)稱(chēng)性.當(dāng)間距比為1.5

隨著間距比逐漸增大(2.54.0)，間隙流的影響逐漸減弱，相鄰排圓柱之間的影響減弱，此時(shí)流場(chǎng)狀態(tài)逐漸變得較為規(guī)則.

(a) L/D=1.1 (b) L/D=1.5 (c) L/D=2.0

(d) L/D=2.5 (e) L/D=3.0 (f) L/D=3.5

(g) L/D=4.0 (h) L/D=4.5 (i) L/D=5.0圖3 不同間距比下的流場(chǎng)速度云圖Fig.3 Velocity cloud diagrams of the flow field under different spacing ratios

本文運(yùn)用Matlab軟件，對(duì)尾流采樣區(qū)域的信息熵進(jìn)行時(shí)間序列分析.如圖4所示，隨著間距比的增大，

(a) L/D=1.1 (b) L/D=1.5 (c) L/D=2.0

(d) L/D=2.5 (e) L/D=3.0 (f) L/D=3.5

(g) L/D=4.0 (h) L/D=4.5 (i) L/D=5.0圖4 不同間距比下采樣區(qū)域信息熵序列圖Fig.4 The information entropy sequence diagram of the sampling area with different spacing ratios

信息熵波動(dòng)幅度呈現(xiàn)出先增大后減小的趨勢(shì)，這是因?yàn)樵谛￠g距比下(L/D<1.5),柱群尾流流態(tài)類(lèi)似于單圓柱繞流，間隙流影響較小，所以采樣區(qū)信息熵波動(dòng)幅度較小.當(dāng)間距比為L(zhǎng)/D=2.5～3.5時(shí)，圓柱表面剪切層逐漸脫落，形成旋渦，并且伴隨著間隙流逐漸增強(qiáng)，尾流中各尺度旋渦相互融合，消耗，所以此時(shí)信息熵波動(dòng)幅度增大.當(dāng)間距比L/D>4.0時(shí)，由于采樣區(qū)位于第二排圓柱之后，間距比的增大使得其他圓柱對(duì)其流態(tài)影響較小，這時(shí)信息熵波動(dòng)幅度減小.

文中提取25～50 s數(shù)據(jù)變化較平穩(wěn)的階段進(jìn)行ARMA-GARCH建模.經(jīng)過(guò)平穩(wěn)性檢驗(yàn)，所有間距下的信息熵序列均是不平穩(wěn)的序列，所以均采用DFA方法去除序列的線(xiàn)性趨勢(shì)，并且全部通過(guò)ADF平穩(wěn)性檢驗(yàn)，去除結(jié)果如圖5所示.序列的相關(guān)系數(shù)均沒(méi)有出現(xiàn)明顯的截尾情況，所以采用AIC信息準(zhǔn)則來(lái)判斷合適的階數(shù).對(duì)選用的ARMA模型的殘差進(jìn)行LBQ 統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)，以確保建立模型的殘差彼此獨(dú)立，保證建立模型的準(zhǔn)確性.當(dāng)模型殘差通過(guò)檢驗(yàn)后，可以進(jìn)一步進(jìn)行ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)，如果通過(guò)檢驗(yàn)，說(shuō)明運(yùn)用ARMA模型較為準(zhǔn)確的擬合熵值序列，如果未通過(guò)檢驗(yàn)，說(shuō)明殘差序列存在條件異方差A(yù)RCH效應(yīng)，因此需對(duì)ARMA模型的殘差建立GARCH模型，來(lái)提高模型精度.綜合以上判斷，擬合出的模型參數(shù)結(jié)果見(jiàn)表2.

(a) L/D=1.1 (b) L/D=1.5 (c) L/D=2.0

(d) L/D=2.5 (e) L/D=3.0 (f) L/D=3.5

(g) L/D=4.0 (h) L/D=4.5 (i) L/D=5.0圖5 平穩(wěn)信息熵序列及去除線(xiàn)性趨勢(shì)Fig.5 Stationary information entropy sequence and removal of linear trends

從上述模型復(fù)雜程度上可以看出，當(dāng)L/D<3.0時(shí)，擬合模型的階數(shù)均小于ARMA(3,3)-GARCH(1,1)，此時(shí)各間距比下的擬合模型沒(méi)有較大變化(其中L/D=1.1時(shí)的擬合模型為ARMA(3,2)).當(dāng)L/D=3.0和3.5時(shí)，模型階數(shù)達(dá)到最大ARMA(5,5)-GARCH(1,1)，這主要是由于當(dāng)圓柱后流體流動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變，圓柱后開(kāi)始產(chǎn)生旋渦，再加上間隙流與之相互耦合，導(dǎo)致柱后熵值波動(dòng)范圍增大，從而使用較高階數(shù)的模型才能精確擬合熵值變化情況.當(dāng)L/D>4.0時(shí)，模型逐漸簡(jiǎn)化，在低階時(shí)便可較精確擬合熵值變化，其中當(dāng)L/D>4.5時(shí)，殘差序列的ARCH效應(yīng)消失，可以用ARMA模型較為精確擬合熵值變化，這主要由于采樣區(qū)域的局限性，此時(shí)更多反映出的是單排圓柱的流場(chǎng)變化情況，間隙流和相鄰圓柱脫渦對(duì)采樣區(qū)域的影響較小，流場(chǎng)變化較穩(wěn)定.綜上所述，采用ARMA-GARCH模型可以較為精確的擬合流場(chǎng)變化情況.

4 結(jié)論

目前對(duì)流場(chǎng)特性的研究多采用速度場(chǎng)這種傳統(tǒng)方法來(lái)表征，如何對(duì)其定量衡量是研究的重要方向.針對(duì)這一現(xiàn)象，基于信息熵的時(shí)間序列分析方法的運(yùn)用，豐富了鈍體繞流尾流流場(chǎng)探究不確定性的研究方法.為了較好的演示流場(chǎng)數(shù)據(jù)的規(guī)律，通過(guò)數(shù)值模擬驗(yàn)證了該方法在定量衡量流場(chǎng)特性方面的有效性.在之后的工作中，信息熵可以在更加復(fù)雜的流場(chǎng)信息中進(jìn)行數(shù)據(jù)挖掘，以實(shí)現(xiàn)對(duì)流場(chǎng)特性研究的精確定量衡量.

表2 不同間距比下采樣區(qū)域信息熵的ARMA-GARCH擬合模型結(jié)果Tab.2 ARMA-GARCH fitting model results of the information entropy of the sampling area under different spacing ratios