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        (2+1) 維Boussinesq方程的黎曼theta函數(shù)周期波解

        2020-12-02 06:55:26輝,蘇
        關(guān)鍵詞:性態(tài)波解黎曼

        王 輝,蘇 婷

        (河南工程學(xué)院 理學(xué)院, 河南 鄭州 451191)

        對(duì)非線性方程精確解的探討在整個(gè)非線性物理現(xiàn)象的研究中占有重要地位。例如在流體力學(xué)、等離子體和彈性介質(zhì)中觀察到的波動(dòng)現(xiàn)象通??捎社娦蝧ech解和扭結(jié)形tanh行波解模擬出來(lái)。這些非線性方程的精確解(如果有的話)有助于數(shù)值解的驗(yàn)證,并且有助于解的穩(wěn)定性分析。在過去的幾十年中,這些方法取得了顯著的進(jìn)展,如著名的逆散射變換[1-2]、貝克隆變換和達(dá)布變換[3-5]、李群方法[6-7]、Hirota雙線性方法[8-11]、穿衣方法[12-14]、Painleve分析[15-16]等。

        1 問題的提出

        著名的Boussinesq方程是描述淺水中色散和非線性的一類波動(dòng)方程,該方程的色散關(guān)系介于淺水中的非色散、非線性長(zhǎng)波與Stoke色散波之間,故它在水波運(yùn)動(dòng)、早期氣體預(yù)測(cè)、海洋環(huán)境保護(hù)等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。Ma等[17]利用第2個(gè)Wronskian公式研究了(1+1)維Boussinesq方程,得到了各種解。文獻(xiàn)[18]中的Wazwaz研究了六階(1+1)維Boussinesq方程的多孤子解。Yang等[19]應(yīng)用Riccati展開法研究了廣義(2+1)維Boussinesq方程。

        本研究將要介紹一個(gè)新的六階(2+1)維Boussinesq方程:

        (1)

        方程(1)描述的也是一個(gè)淺水波。在第2節(jié)中,通過適當(dāng)變換得到了該方程的雙線性形式,借助于擾動(dòng)法,可以得到該方程的一孤子解。在第3節(jié)中,利用黎曼theta函數(shù)性質(zhì)和雙線性導(dǎo)數(shù)法,進(jìn)一步得到了該方程的黎曼theta函數(shù)周期波解,并且在最后研究了這個(gè)周期波解的漸近性質(zhì)。

        2 雙線性形式

        為了得到方程(1)的雙線性形式,首先引入一個(gè)變換:

        u=2(lnρ)xx。

        (2)

        將變換(2)代入方程(1)中并且積分兩次,則方程(1)就變成如下雙線性形式:

        (3)

        式中:c為積分常數(shù)。算子D在文獻(xiàn)[9]中定義為

        (4)

        式(4)中的m、n為非負(fù)整數(shù)。對(duì)于指數(shù)函數(shù),D有如下重要結(jié)論:

        (5)

        取c=0,求方程(3)的一孤子解。利用擾動(dòng)法,設(shè)

        ρ=1+ερ1+ε2ρ2+ε3ρ3+…,

        (6)

        式中:ε是一個(gè)小參數(shù)。

        ρ1=expθ1,θ1=k1x+p1y+ω1t+θ10,

        (7)

        (8)

        3 黎曼theta函數(shù)周期波解及漸近性態(tài)

        根據(jù)方程(1)的雙線性導(dǎo)數(shù)形式,借助多維黎曼theta函數(shù)性質(zhì),可以得到方程(1)的黎曼theta函數(shù)一周期波解,并且在最后討論了該解的漸近性態(tài)。

        3.1 黎曼theta函數(shù)周期波解

        結(jié)合代數(shù)幾何知識(shí)[20],黎曼theta函數(shù)形式如下:

        (9)

        式中:n=(n1,…,nN),ζ=(ζ1,…,ζN),τ是一個(gè)對(duì)稱矩陣且有正定的虛部,ζj=kjx+ρjy+ωjt+ζj,j=1,…,N。

        接下來(lái)求一周期波解,取N=1,則式(9)就簡(jiǎn)化為

        (10)

        將式(10)代入式(3)中,有

        (11)

        事實(shí)上,

        (12)

        (13)

        取一些記號(hào):

        (14)

        則式(12)和(13)就簡(jiǎn)化為

        D11(ω2+2p2)+D12c+D1=0,D21(ω2+2p2)+D22c+D2=0,

        (15)

        (16)

        (17)

        因此,得到了黎曼theta函數(shù)周期波解

        (18)

        圖 1和圖2分別表示上述黎曼theta函數(shù)周期波解(18)在某一時(shí)刻的三維圖像與沿著x軸方向的二維平面曲線(用Mathematica軟件繪制),其中k1=2、p1=4、ω1=6、τ=2i、θ01=0、t=10。

        圖1 周期波解的三維圖像Fig.1 The one-periodic solution in 3

        圖2 周期波解沿著x軸方向的圖像Fig.2 The one-periodic solution along x-axis

        3.2 黎曼theta函數(shù)周期波解的漸近性態(tài)

        本節(jié)驗(yàn)證前面得到的一孤子解(8)正好是黎曼theta函數(shù)周期解(18)的漸近結(jié)果。

        定理1當(dāng)Imτ→∞方程(3)的周期波解(9)趨近類似于式(8)形式的單子孤解時(shí),

        (19)

        (20)

        證明記r=eπiτ,則v、vx及vxx可以寫成如下形式(Imτ→∞):

        借助于變換(2),可以得到形式為式(18)的解。下面驗(yàn)證式(19)和式(20)成立。事實(shí)上

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