羅翔，劉志平

(1.中國礦業(yè)大學 江蘇省資源環(huán)境信息工程重點實驗室，江蘇 徐州 221116;2.中國礦業(yè)大學 環(huán)境與測繪學院，江蘇 徐州 221116)

0 引 言

三維坐標轉(zhuǎn)換是空間大地測量應用中坐標成果換算的基礎工作，其常用模型包括Bursa-Wolf模型、Molodensky模型和武測模型。很多學者對上述七參數(shù)模型進行，研究和改進，如針對線性化系數(shù)矩陣病態(tài)問題的重心化方法[1]；解決參數(shù)相關性的兩步解法[2]；考慮參數(shù)先驗信息的序貫平差法[3]等。這些算法在一定程度上提高了模型適用性，但均將坐標旋轉(zhuǎn)角視為微小值，僅適用于小旋轉(zhuǎn)角的坐標轉(zhuǎn)換[4-7]。為解決任意旋轉(zhuǎn)角坐標轉(zhuǎn)換問題，國內(nèi)外學者提出多種三維坐標轉(zhuǎn)換方法：文獻[8-10]基于四元數(shù)理論[11-12]將旋轉(zhuǎn)矩陣用單位四元數(shù)表示，通過四元數(shù)的迭代更新獲得旋轉(zhuǎn)參數(shù)，適用于任意旋轉(zhuǎn)角，然而迭代存在繁瑣的矩陣求導過程；文獻[13-15]利用9個方向余弦參數(shù)表示旋轉(zhuǎn)矩陣，雖適用于任意旋轉(zhuǎn)角，但模型參數(shù)達到13個，迭代收斂慢；基于羅德里格矩陣理論，文獻[16]采用非迭代解法，忽略了隨機模型對參數(shù)估計的影響；文獻[17-19]采用參數(shù)偏導數(shù)求解雅可比矩陣，形式復雜且收斂性差。本文針對上述空間坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)求解中矩陣求導復雜、迭代收斂慢、隨機模型不嚴密等問題，利用羅德里格矩陣、反對稱矩陣與向量積運算性質(zhì)，通過羅德里格矩陣微分與參數(shù)微分變換導出任意旋轉(zhuǎn)角三維坐標轉(zhuǎn)換函數(shù)模型、隨機模型同步收斂的新方法，簡稱微分羅德里格矩陣算法。最后通過文獻算例和模擬算例將此方法與四元數(shù)、方向余弦、羅德里格矩陣算法進行坐標轉(zhuǎn)換對比研究，以評估該算法正確性及實用性。

1 三維坐標轉(zhuǎn)換模型

1.1 基于羅德里格矩陣的轉(zhuǎn)換模型

設xi和Xi分別為空間一點在A,B空間直角坐標系中的坐標，則他們存在如式(1)的轉(zhuǎn)換關系：

xi=k·R·Xi+T-εi，Dε,

(1)

目前，任意角旋轉(zhuǎn)矩陣R可由旋轉(zhuǎn)角余弦、羅德里格矩陣、單位四元數(shù)等方式構(gòu)建。本文采用羅德里格矩陣表示的三維坐標轉(zhuǎn)換模型，其任意角旋轉(zhuǎn)矩陣R表示形式為

(2)

1.2 微分羅德里格矩陣解法

將式(2)代入式(1)，即可得基于羅德里格矩陣的三維坐標轉(zhuǎn)換模型，若按矩陣求導方式對該模型進行參數(shù)線性化展開，其步驟繁瑣不易實現(xiàn)。下文利用羅德里格矩陣和反對陣矩陣的性質(zhì)構(gòu)造微分羅德里格矩陣算法，避免了復雜矩陣求導計算和化簡，推導過程如下。

由式(2)可以推導出羅德里格矩陣R和反對稱矩陣S滿足如下性質(zhì)，

(3)

將式(2)代入式(1)可得

式(4)兩端乘(I3-S)，可得

(I3-S)xi+(I3-S)εi=

k(I3+S)Xi+(I3-S)T，

(5)

將反對稱矩陣S，尺度參數(shù)k和平移向量T用初值項和微分項之和表示，即令S=S0+Sd，T=T0+dT，k=k0+dk，代入式(5)進行整理化簡，并保留至微分項一階項，可得

(I3-S0)xi-k0(I3+S0)Xi-(I3-S0)T0+

(I3-S)εi=dk·(I3+S0)Xi-

Sxi+k0Xi-T0·d+(I3-S0)·dT,

(6)

式中，反對稱矩陣與向量積運算性質(zhì)滿足Sd·(*)=-S*·dα，*表示任意列向量。

進一步，式(6)兩端乘(I3-Sα0)-1進行還原，并結(jié)合式(3)化簡，可得

(7)

(8)

利用最小二乘法，可得模型參數(shù)改正數(shù)的迭代估計式，即

(9)

通過式(9)迭代更新參數(shù)估值，繼而更新系數(shù)矩陣A和觀測值L，迭代計算直至滿足迭代停止條件。分析上述推導過程可知，該方法充分利用了羅德里格矩陣、反對稱矩陣以及向量積運算的性質(zhì)，將羅德里格矩陣微分轉(zhuǎn)換為參數(shù)向量微分形式，避免了三維坐標轉(zhuǎn)換模型中的矩陣求導，實現(xiàn)了三維坐標轉(zhuǎn)換函數(shù)模型和隨機模型同步迭代逼近的微分羅德里格矩陣解法。

1.3 模型參數(shù)初值估計

(10)

根據(jù)式(1)將重心化坐標模型表示為

基于式(11)，利用反對稱矩陣與向量積運算性質(zhì)S·(*)=-S*·α，可以導出反對稱矩陣參數(shù)初值的估值

(12)

進一步，平移參數(shù)初值可按式(13)計算

(13)

2 計算結(jié)果與分析

2.1 現(xiàn)有文獻算例

為驗證本文所提的微分羅德里格矩陣算法的正確性和有效性，利用該方法對現(xiàn)有文獻算例進行實驗分析。使用文獻[7]的數(shù)據(jù)，選取9對控制點進行實驗。控制點轉(zhuǎn)換前后坐標系分別為WGS84坐標系和西安80坐標系，覆蓋范圍較大，但兩組坐標旋轉(zhuǎn)角度相對較小。

表1 文獻算例轉(zhuǎn)換坐標及其較差

表1中ΔX,ΔY,ΔZ為通過轉(zhuǎn)換參數(shù)求得的轉(zhuǎn)換坐標與原始坐標的較差。由表1可見，利用本文提出的微分羅德里格矩陣算法反算出來的坐標，點位較差最大為36.201 mm，與文獻[7]中所計算36.2mm的最大點位較差一致。說明本文方法能夠準確地求出小旋轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)換參數(shù)，驗證了算法正確性和小旋轉(zhuǎn)角有效性。

2.2 模擬實驗算例

為更全面地驗證所提算法的正確性和大旋轉(zhuǎn)角有效性，選取經(jīng)度117.0°～117.8°，緯度33.0°～33.8°，以0.1°為步長形成9×9=81個格網(wǎng)點坐標作為源坐標，令大地高均為0，利用CGCS2000橢球參數(shù)計算各點空間直角坐標，再將格網(wǎng)點坐標基于模型式(1)按模擬轉(zhuǎn)換參數(shù)計算目標坐標。模擬參數(shù)取值方案為3個旋轉(zhuǎn)角取值范圍為[-90，90][-180，180][-180，180]，以15°為步長得到13×25×25=8 125組；平移參數(shù)固定為(x，y，z)=(1.0，1.5，2.0)×103；尺度參數(shù)固定為k=(1+10-5)?？紤]到實際中存在的觀測誤差，在經(jīng)過上述參數(shù)理論值轉(zhuǎn)換后的坐標三維分量中加入0.005 m的隨機誤差。

將本文微分羅氏矩陣與單位四元數(shù)法[8]、方向余弦法[14]、常規(guī)羅德里格矩陣[19]進行參數(shù)求解試驗對比，每組試驗數(shù)據(jù)重復100次，迭代準則不變，統(tǒng)計每組試驗數(shù)據(jù)迭代次數(shù)、單位權中誤差、參數(shù)真誤差等指標評判方法的正確性和有效性。計算結(jié)果如表2所示。

表2 模擬算例計算結(jié)果統(tǒng)計

由表2知，4種算法均獲得了正確的解算參數(shù)，其中：尺度參數(shù)誤差均值量級在10-8量級；旋轉(zhuǎn)角參數(shù)誤差均值在10-3秒量級；平移參數(shù)誤差在10-1m量級，驗證了4種算法正確性和大旋轉(zhuǎn)角適用性。進一步綜合比較迭代次數(shù)、單位權中誤差和參數(shù)精度指標，可以得出本文算法有以下特點。

(1)更少的迭代次數(shù)。從迭代次數(shù)統(tǒng)計看，本文所提算法的迭代次數(shù)均值在5次以下，明顯優(yōu)于方向余弦算法(20次)、四元數(shù)算法(14次)和線性羅氏矩陣(19次)，且迭代次數(shù)中誤差小，說明該算法迭代穩(wěn)定、收斂速度快。

(2)更小的單位權中誤差。從單位權中誤差統(tǒng)計看，3種算法計算結(jié)果基本一致，均在給定的誤差水平(5 mm)，但從其統(tǒng)計量中誤差可看出，本文算法中誤差最小，表明本文算法比其他兩種方法更具有統(tǒng)計優(yōu)勢。

(3)更高的參數(shù)準確性。從求解參數(shù)的真誤差統(tǒng)計可以看出：4種算法尺度參數(shù)真誤差幾乎完全一致；角度和平移參數(shù)真誤差中，本文算法誤差最大值、均值、中誤差均小于其他3種算法，這表明本文算法求解參數(shù)的準確性優(yōu)于其他3種算法。

為了進一步直觀表達新算法的優(yōu)點，統(tǒng)計迭代次數(shù)和參數(shù)真誤差的頻數(shù)直方圖，結(jié)果如圖 1所示。由圖1可看出，本文算法、方向余弦算法、四元數(shù)算法、常規(guī)羅氏矩陣迭代次數(shù)分別集中(累計60%以上)在10次以下、10～30次、10～20次、10～30次；尺度參數(shù)真誤差幾乎完全一致；角度參數(shù)真誤差分別集中在0～2×10-3″，0～4×10-3″，0～4×10-3″，0～4×10-3″間；平移參數(shù)真誤差分別集中在0～2，0～3，0～3，0～3 dm間。綜上，迭代次數(shù)和參數(shù)真誤差中，本文算法均優(yōu)于其他3種算法，表明其收斂速度快、參數(shù)準確性高，與前文的分析結(jié)論一致。

圖1 迭代次數(shù)和參數(shù)真誤差統(tǒng)計

3 結(jié) 論

本文從常規(guī)任意旋轉(zhuǎn)角空間坐標轉(zhuǎn)換模型線性化復雜、迭代收斂速度慢、精度低等問題出發(fā)，利用羅德里格矩陣和反對稱矩陣的微分形式推導出一種適用于任意旋轉(zhuǎn)角的空間坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)快速迭代求解算法——微分羅德里格矩陣算法。通過現(xiàn)有文獻算例和模擬算例分析，基于迭代次數(shù)、中誤差、參數(shù)真誤差等指標，得出了以下結(jié)論：

(1)本文提出的微分羅德里格矩陣算法適用于任意旋轉(zhuǎn)角的三維坐標轉(zhuǎn)換。

(2)通過大量模擬數(shù)據(jù)驗證，相較于經(jīng)典四元數(shù)算法、方向余弦算法、常規(guī)羅德里格矩陣算法，本文算法在收斂速度、參數(shù)精度上具有顯著優(yōu)勢。