單推力航天器交會對接軌跡規(guī)劃及跟蹤控制

2020-12-02 08:33:18耿遠卓李傳江郭延寧JamesDouglasBIGGS

航空學(xué)報 2020年9期

耿遠卓，李傳江，郭延寧,*，James Douglas BIGGS

1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150001 2. Politecnico di Milano，Department of Aerospace Science and Technology，Milano 20156

近年來，航天器逐漸朝著輕薄化、小型化、模塊化發(fā)展。微納衛(wèi)星(1～50 kg)由于研制周期短、造價低、可批量標(biāo)準(zhǔn)化生產(chǎn)，受到廣泛關(guān)注。多個微納衛(wèi)星通過編隊協(xié)同工作，實現(xiàn)近地空間以及行星際空間的復(fù)雜任務(wù)[1-2]。同時，衛(wèi)星在軌運行期間出現(xiàn)故障時，通過小衛(wèi)星對其進行近距離操作，以完成在軌維修、燃料加注、狀態(tài)監(jiān)測等工作。對于太空垃圾清除、非合作航天器捕獲等任務(wù)，也需要近距離操作。為了實現(xiàn)復(fù)雜多樣的近距離操作任務(wù)，交會對接成為關(guān)鍵技術(shù)。交會對接一般可以分為4個階段：遠程導(dǎo)引段(15～100 km、近程導(dǎo)引段(0.5～1 km)、最終逼近段(100 m)和對接停靠段。針對交會對接問題，研究成果可以分為2類:一類以轉(zhuǎn)移軌跡設(shè)計與優(yōu)化為目標(biāo)，使得燃料消耗最小，同時滿足推力幅值約束、時間約束等條件[3-4]; 另一類為相對姿態(tài)與位置控制，旨在以較高精度跟蹤轉(zhuǎn)移軌跡，同時避免與目標(biāo)航天器發(fā)生碰撞[5-7]。

目前大部分關(guān)于交會對接的研究都針對的是全驅(qū)動或者過驅(qū)動系統(tǒng)，追蹤航天器上安裝的推力器可以產(chǎn)生任意方向的控制力，同時姿態(tài)控制依靠飛輪和推力器提供力矩。位置控制雖然受姿態(tài)的影響，但是在任意姿態(tài)下，通過控制分配都可以產(chǎn)生期望推力，即使產(chǎn)生的推力小于期望值，但是可以保證兩者方向相同。姿態(tài)控制一般不受位置控制影響。

然而對于一些新型衛(wèi)星，推力方向及大小會受姿態(tài)影響。例如太陽帆航天器，其推力需要利用太陽光壓產(chǎn)生。不同姿態(tài)下，太陽光壓不同，從而導(dǎo)致推力不同[8]。除此之外，用于深空探測、天基發(fā)射等任務(wù)的微納衛(wèi)星，為了降低研制成本、減輕重量、縮小體積，通常只安裝一個推力器用于位置控制。這種情況下，位置控制嚴(yán)重依賴于姿態(tài)指向，因為姿態(tài)指向決定了推力方向。同時，由于推力器只能提供一個方向的推力，在不改變姿態(tài)的情況下無法減速，這給交會對接帶來了很大挑戰(zhàn)。

單推力航天器控制在衛(wèi)星編隊中研究較多。文獻[9]針對欠驅(qū)動衛(wèi)星，首先基于勢函數(shù)設(shè)計標(biāo)稱控制力，實現(xiàn)期望構(gòu)型的同時避免碰撞。然后將標(biāo)稱控制力方向作為期望指向，設(shè)計姿態(tài)控制器，使得推力器方向與標(biāo)稱控制力重合。這種內(nèi)-外環(huán)控制策略在文獻[10]中應(yīng)用在無人機控制問題上，實現(xiàn)對期望軌跡的跟蹤。無人機控制中推力方向與重力相反，因此可以相互抵消，在推力方向的速度可以控制。但是對于衛(wèi)星，推力方向沒有外力與之抵消，因此減速難以實現(xiàn)。Haghighi和Pang[11]針對微納衛(wèi)星編隊系統(tǒng)，通過多級控制策略，使得單推力器控制下的微納衛(wèi)星形成期望構(gòu)型。但是這些文獻對于末端姿態(tài)沒有限制，只能實現(xiàn)構(gòu)型控制。針對懸停任務(wù)，文獻[12]分別考慮徑向及切向無推力的情況，分析了懸停點的范圍，并通過反步法實現(xiàn)欠驅(qū)動控制。Muralidharan和Emami[13]設(shè)計位置和姿態(tài)同步控制器，實現(xiàn)單推力航天器對非合作目標(biāo)的逼近及繞飛，同時利用這種控制策略完成高軌道向低軌道的轉(zhuǎn)移，可以近似達到燃料最優(yōu)。

對于繞飛等任務(wù)，其最終期望力的方向是朝向目標(biāo)的，因此可以保證追蹤星最終指向目標(biāo)，整個設(shè)計過程只保證位置控制即可。但是對于交會對接，末端的姿態(tài)約束取決于對接裝置安裝位置。要實現(xiàn)以期望的姿態(tài)到達指定位置，對于單推力航天器來說具有很大挑戰(zhàn)。傳統(tǒng)上，對于全推力航天器，完成六自由度控制可以不依賴于軌跡規(guī)劃，通過直接設(shè)計閉環(huán)控制律實現(xiàn)位置和姿態(tài)鎮(zhèn)定。而對于單推力航天器，位置和姿態(tài)同時鎮(zhèn)定是不可實現(xiàn)的，因為位置的鎮(zhèn)定需要控制器在平衡點附近能夠提供各個方向的推力，這要求航天器姿態(tài)必須變化以提供相應(yīng)推力。因此，實現(xiàn)六自由度控制必須依靠軌跡規(guī)劃，且終端速度不能為0。

文獻[14]針對單推力航天器近距離操作任務(wù)，考慮視線角約束、避碰約束和羽流規(guī)避約束，采用脈沖噴氣的形式，提出一種改進的快速搜索隨機樹(RRT*)軌跡規(guī)劃策略，以保證軌跡加速度方向與目標(biāo)方向夾角在一定范圍內(nèi)，從而使得目標(biāo)可以出現(xiàn)在追蹤星的視場中；然后設(shè)計有限時間滑?？刂破魍瓿勺藨B(tài)重定向，推力方向與期望加速度方向一致。Yoshimura[15]基于傅里葉級數(shù)方法設(shè)計了追蹤星的運動軌跡，使其以橢圓螺旋線的形式到達繞飛軌跡上，并保證能量最優(yōu)。同時，保證期望推力方向在慣性系中保持在一定范圍內(nèi)。但是其只考慮了XY平面內(nèi)的運動情況，并且雖然保證了推力方向，但是是在慣性系中實現(xiàn)的。并不能直接應(yīng)用在交會對接中。文獻[16]針對二維平面內(nèi)運動的欠驅(qū)動系統(tǒng)，依據(jù)非完整約束特性設(shè)計參考軌跡，并采用滑?？刂仆瓿绍壽E跟蹤。Biggs和Henninger[17]基于微分幾何理論，設(shè)計了欠驅(qū)動系統(tǒng)的能量最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌跡，給出了軌跡的解析解，通過邊界條件，顯示求解軌跡參數(shù)。該方法可以應(yīng)用于二維平面交會對接問題。進一步，Henninger和Biggs[18]通過覆蓋映射方法，將六自由度運動方程轉(zhuǎn)化為兩組相互耦合的三維方程，然后設(shè)計參考轉(zhuǎn)移軌跡，應(yīng)用于三維空間的交會對接問題。該方法既可以應(yīng)用于全驅(qū)動系統(tǒng)，也可以應(yīng)用于欠驅(qū)動航天器，航天器只在初始時刻進行一次脈沖機動，然后進入推力無控階段，僅依靠姿態(tài)調(diào)節(jié)完成交會對接。Mitani和Yamakawa[19]基于(Control Lyapunov Function, CLF)方法，提出一種滿足控制力方向約束的制導(dǎo)策略，實現(xiàn)以零速度逼近目標(biāo)，并可以證明系統(tǒng)穩(wěn)定性。通過引入滿意度函數(shù)，使得控制力方向與目標(biāo)之間夾角小于一個常值。但是追蹤星的轉(zhuǎn)移軌跡是以目標(biāo)為中心的螺旋線。對于交會對接，這種逼近軌跡將導(dǎo)致追蹤星與目標(biāo)發(fā)生碰撞。隨后，Mitani和Yamakawa在文獻[20]中進一步考慮了推力幅值約束。

綜上所述，目前對于單推力航天器的交會對接問題研究還有待深入，尤其是針對末端指向固定的情況，難度較大。必須合理設(shè)計轉(zhuǎn)移軌跡來實現(xiàn)交會對接。本文針對該問題，首先構(gòu)建了欠驅(qū)動航天器相對位置和姿態(tài)動力學(xué)方程，然后在不考慮初始推力器方向的情況下采用傳統(tǒng)螺旋線設(shè)計轉(zhuǎn)移軌跡，滿足末端位置和速度要求。進一步考慮初始推力器方向，提出旋轉(zhuǎn)螺旋線設(shè)計方法，使其滿足初末位置和速度方向要求。最后，設(shè)計位置跟蹤及姿態(tài)跟蹤控制器，使得追蹤星跟蹤上轉(zhuǎn)移軌跡，完成交會對接。

1 航天器相對位置及姿態(tài)模型

1.1 相對位置模型

對于交會對接任務(wù)，追蹤星一般經(jīng)歷調(diào)相、近距離交會以及最終接近的過程。為了描述其相對位置，需要建立追蹤星與目標(biāo)星之間的相對位置方程。本文主要研究近距離交會和最終對接階段，在LVLH坐標(biāo)系下建立相對位置動力學(xué)。LVLH坐標(biāo)系OXLYLZL以目標(biāo)星質(zhì)心為中心，XL沿地心指向目標(biāo)星方向，ZL沿目標(biāo)星軌道角速度方向，XL、YL和ZL成右手法則。交會對接任務(wù)及LVLH坐標(biāo)系示意圖如圖1所示。其中roc、rot、rtc分別表示地心指向追蹤星C、目標(biāo)星T的矢量以及目標(biāo)星指向追蹤星的矢量；Xcb、Xtb分別為追蹤星和目標(biāo)星的本體系X軸；f為沿追蹤星本體Xcb方向的推力矢量。

考慮到整個交會對接過程中，兩星距離遠小于目標(biāo)星軌道半徑，因此用Clohessy-Wiltshire (C-W)方程不會產(chǎn)生較大誤差。兩星相對位置方程為[21]

圖1 交會對接示意圖Fig.1 Sketch of rendezvous and docking

(1)

式中：rtc=[x,y,z]T為追蹤星相對目標(biāo)星位置；ω0和r0為目標(biāo)星軌道角速度及軌道半徑；mc為追蹤星質(zhì)量；fd=[fdx,fdy,fdz]T為LVLH坐標(biāo)系中追蹤星控制力。相對位置動力學(xué)可以寫成矢量形式：

(2)

式中：

1.2 姿態(tài)誤差描述

與傳統(tǒng)交會對接不同，本文中追蹤星只安裝一個推力器，推力方向沿本體Xcb軸方向。在進行相對位置控制時，為了提供相應(yīng)控制力，追蹤星需要進行姿態(tài)調(diào)整，將Xcb軸與期望控制力fd的方向重合。因此，為了方便后續(xù)姿態(tài)指向控制器設(shè)計，需要建立姿態(tài)誤差方程。定義姿態(tài)指向誤差為

(3)

eθ=RbItI-[1, 0, 0]T

(4)

對eθ求導(dǎo)，可得

(5)

(6)

式中：Js為轉(zhuǎn)動慣量；τc為控制力矩；d表示外部干擾。

2 交會對接軌跡規(guī)劃

交會對接任務(wù)需要保證追蹤星與目標(biāo)的相對位置和相對姿態(tài)。對于三軸都安裝有推力器的衛(wèi)星，其交會對接相對簡單，因為姿態(tài)與位置控制可以認(rèn)為是解耦的，通過設(shè)計閉環(huán)反饋控制，可以實現(xiàn)姿態(tài)-位置協(xié)同控制，在任意姿態(tài)下期望控制力可以由多個推力器產(chǎn)生。但是對于單推力器系統(tǒng)，期望控制力必須依靠姿態(tài)轉(zhuǎn)動實現(xiàn)。這種情況下，直接設(shè)計閉環(huán)反饋控制實現(xiàn)交會對接是極其困難的。因此，需要首先設(shè)計位置轉(zhuǎn)移軌跡，再完成軌跡跟蹤。

需要說明的是，單推力器系統(tǒng)沒有減速機制，即追蹤星沿推力器方向的速度不可減小。最終對接時刻要求追蹤星到達目標(biāo)星位置，且本體Xcb軸與LVLH坐標(biāo)系的YL軸重合。因此，最終時刻必須保證相對位置轉(zhuǎn)移軌跡的切線方向與YL一致。但是對于位置轉(zhuǎn)移曲線，需要一個向心力完成轉(zhuǎn)彎，除直線以外的任何曲線加速度方向并不能沿著切線方向。這就導(dǎo)致雖然追蹤星最終速度方向與YL軸重合，但是由于期望加速度方向與YL并不重合，本體Xcb軸必須指向期望加速度方向以提供相應(yīng)的推力。綜上所述，在最終對接階段，相對位置曲線需要設(shè)計為直線形式。本節(jié)將設(shè)計兩階段軌跡轉(zhuǎn)移曲線，第1階段(近距離交會階段)以螺旋線形式進行逼近，第2階段(最終對接階段)以直線形式進行對接。

2.1 不考慮初始速度方向

首先，不考慮追蹤星在LVLH系的初始速度方向，基于螺旋線方程，設(shè)計轉(zhuǎn)移曲線為

(7)

根據(jù)最優(yōu)幾何規(guī)劃理論，式(7)設(shè)計的螺旋線可以保證對于給定初始速度方向和末端速度方向的任務(wù)，曲線的曲率積分是最小的[22-24]。對于單推力航天器來說，由于推力方向需要指向曲線加速度方向，如果曲率較大，則航天器需要在很短的時間內(nèi)完成較大姿態(tài)機動，這對姿態(tài)控制系統(tǒng)的控制算法和執(zhí)行機構(gòu)要求較高，微納衛(wèi)星由于成本和體積的限制，很難實現(xiàn)敏捷姿態(tài)機動。采用螺旋線軌跡，由于曲率積分最優(yōu)，可以減小姿態(tài)旋轉(zhuǎn)角度。同時，圓形曲線可以通過連續(xù)平穩(wěn)轉(zhuǎn)彎降低期望控制力(方向)的變化，減輕姿態(tài)控制負(fù)擔(dān)。為了使追蹤星在對接段沿著YL方向運動，ZL方向的速度必須減為0。這就需要在交會段結(jié)束之前通過改變ZL方向的軌跡，使其減速運動。因此，整個交會對接過程分為近距離交會-減速-對接階段，其軌跡方程為

交會段(0≤t≤t1)

(8a)

減速段(t1

圖2 轉(zhuǎn)移軌跡示意圖Fig.2 Sketch of transfer trajectory

(8b)

對接段(t2

(8c)

式中:az為追蹤星延z方向加速度。

以上轉(zhuǎn)移軌跡可以分為2個階段：第1階段為交會階段，追蹤星以螺旋線形式對目標(biāo)逼近。需要說明的是，該階段包括了減速段，如式(8b)所示。雖然減速段軌跡不是嚴(yán)格的螺旋線，但是其作用時間相對較短，對整體性能影響不大。第2階段為對接段，追蹤星以勻速直線運動逼近目標(biāo)，完成最終對接。

給定初始位置(x0,y0,z0)、末端位置(xf,yf,zf)、末端速度方向vf、對接起始位置(軌跡切換點)y20以及各階段起始結(jié)束時刻t1、t2，可以解算出軌跡參數(shù)r、A、B、D1、D2、C0、C1和az為

(9)

需要注意的是，k2的目的是保證D1A<0。否則最終的速度方向為-YL。根據(jù)以上求得的參數(shù)，可以得到終端時刻

(10)

雖然這種情況下曲線形狀唯一，但是由于終端時刻沒有限制，因此曲線的速度是可以通過調(diào)節(jié)A參數(shù)改變的，A決定了圓周運動的角速度，其并不影響曲線形狀，在曲線形狀不變的情況下，A越大，tf越小。若限定終端時刻tf，則

(11)

其正負(fù)號選擇根據(jù)條件D1A<0。

另一種情況，如果限定tf、t1和t2，而對接起始位置y20自由，則同樣也可以得到一組解集:

(12)

此時曲線形狀不唯一，可以給定任意圓心位置和半徑。由于|D2|決定了最后對接段的速度，因此其值越小，最終追蹤星與目標(biāo)星的相對速度越小。

注1螺旋線轉(zhuǎn)移軌跡雖然可以保證曲率積分最優(yōu)，但是由于沒有考慮相對位置動力學(xué)，其難以保證燃料消耗的最優(yōu)性。與傳統(tǒng)的交會軌跡優(yōu)化方法相比，螺旋線的設(shè)計方法更加側(cè)重曲線的幾何特性而非動力學(xué)系統(tǒng)。因此，基于螺旋線設(shè)計的轉(zhuǎn)移軌跡雖然有利于姿態(tài)控制，但是對于相對位置控制優(yōu)勢不明顯。

2.2 考慮初始速度方向

2.1節(jié)中，雖然給出了螺旋線形式的轉(zhuǎn)移軌跡，但是并沒有考慮追蹤星初始Xcb方向。為了產(chǎn)生轉(zhuǎn)移軌跡切向的控制力，追蹤星在初始時刻需要進行姿態(tài)機動。此時，轉(zhuǎn)移軌跡曲率積分最小的優(yōu)越性將失去意義，因為追蹤星需要跟蹤上轉(zhuǎn)移軌跡，而對于只安裝有小推力、單方向推力器的追蹤星，完成軌跡跟蹤有較大挑戰(zhàn)性，其需要較長時間從初始位置和速度轉(zhuǎn)移到轉(zhuǎn)移軌跡上。

因此，考慮追蹤星推力器初始指向是十分必要的。本節(jié)仍然采用螺旋線+直線形式的轉(zhuǎn)移軌跡，其中直線軌跡不施加控制，在軌跡切換后以固定速度逼近目標(biāo)，如圖3所示。

圖3 考慮初始速度方向的交會對接示意圖Fig.3 Sketch of rendezvous and docking considering initial velocity direction

本節(jié)在交會段所考慮的邊界條件如下：

初末位置約束：

(13a)

初末速度方向約束：

(13b)

式中：y20為最后對接段開始位置，即軌跡切換點；xcb為追蹤星本體Xb軸的單位矢量。在t1時刻轉(zhuǎn)移軌跡從螺旋線形式切換為直線。kv1和kv2為兩個常值系數(shù)，其中kv1表示轉(zhuǎn)移軌跡在追蹤星初始位置點的導(dǎo)數(shù)(速度)幅值；kv2表示對接段起始時刻，追蹤星相對目標(biāo)的速度大小，該值越大，對接段持續(xù)時間越短。

在式(13)的邊界條件下，如果仍然利用2.1節(jié)所設(shè)計的常規(guī)螺旋線設(shè)計轉(zhuǎn)移軌跡，無法獲得滿足所有約束條件的解。以XLOYL平面運動為例，當(dāng)限定軌跡初末時刻的切線方向后，圓心位置及半徑就可以唯一確定，然而圓心位置同時還要保證在追蹤星與目標(biāo)連線的垂直平分線上，這兩個條件一般情況下是矛盾的，導(dǎo)致曲線參數(shù)無解。本節(jié)將對傳統(tǒng)螺旋線進行姿態(tài)旋轉(zhuǎn)，在不改變曲線空間形狀的前提下使其滿足式(13)的邊界條件。

對于交會階段，設(shè)計轉(zhuǎn)移軌跡為

(14)

式中：Cz為轉(zhuǎn)移軌跡(螺旋線)z方向初始加速度；R(ψ,θ,φ)=R(ψ)R(θ)R(φ)為姿態(tài)旋轉(zhuǎn)矩陣，具體表達式為

(15)

式中:φ、θ和ψ分別為繞X、Y和Z軸歐拉轉(zhuǎn)角。

通過將LVLH中以ZL為中心的螺旋線進行1-2-3轉(zhuǎn)序的歐拉旋轉(zhuǎn)，改變了中心線的位置。由于最后一次旋轉(zhuǎn)是繞Z軸(新的中心線)旋轉(zhuǎn)，不改變螺旋線的位置，可以通過增加zd(t)方向的自由度達到同樣的效果。因此，只采用兩次歐拉旋轉(zhuǎn)即可，令ψ=0。同時這樣也可以降低計算復(fù)雜度。此時，轉(zhuǎn)移軌跡中的未知參數(shù)為r、A、B、D1、D2、C0、C1、C2、φ、θ以及kv1和kv2。由于涉及復(fù)雜的三角函數(shù)，無法得到相關(guān)參數(shù)的解析解，只能利用相關(guān)數(shù)學(xué)軟件求得數(shù)值解。

將空間螺旋線進行旋轉(zhuǎn)后，螺旋線的中心軸在LVLH坐標(biāo)系中發(fā)生了轉(zhuǎn)動，這使得螺旋線在XLOYL平面內(nèi)的投影為不規(guī)則曲線，增加了曲線自由度，從而可以滿足更復(fù)雜的邊界條件。需要說明的是，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后的曲線在空間中依然保持了螺旋線的形狀，因此仍然具有曲率積分最小的性質(zhì)。旋轉(zhuǎn)螺旋線如圖4所示，其中傳統(tǒng)螺旋線(實線)以ZL為中心，經(jīng)過不同歐拉旋轉(zhuǎn)后，得到一系列旋轉(zhuǎn)螺旋線(虛線)。

圖4 旋轉(zhuǎn)后的螺旋線示意圖Fig.4 Sketch of rotated helical motion

根據(jù)式(13)和式(14)，可得

(16)

式中:vy(t1)為轉(zhuǎn)移軌跡在t1時刻的Y方向速度。

式(16)說明當(dāng)終端時刻tf給定后，軌跡切換時刻t1與最終逼近段距離y20之間的關(guān)系。為了給出在交會階段轉(zhuǎn)移軌跡所需要的控制力，將式(14) 代入相對位置動力學(xué)中，從而得到

(17)

式中：fdx、fdy、fdz表示未經(jīng)旋轉(zhuǎn)曲線所需控制力，具體表示為

(18)

注2為了使得方程有解，在采用旋轉(zhuǎn)螺旋線時將zd(t)中的C0+C1t變?yōu)榱薈0+C1t+C2t2，雖然這不是嚴(yán)格意義上曲率積分最小的螺旋線，但是由于在近距離交會階段追蹤星和目標(biāo)星基本在同一軌道平面內(nèi)，兩者距離矢量在ZL上的分量很小，zd(t)并不起決定作用，因此在一定程度上仍然能夠保證曲線的曲率積分最優(yōu)性。

3 軌跡跟蹤控制

為了能夠跟蹤上轉(zhuǎn)移軌跡，需要設(shè)計相對位置控制器。同時，由于只有在本體Xcb方向可以產(chǎn)生推力，必須通過姿態(tài)控制使得本體Xcb軸與期望控制力方向重合。

3.1 位置跟蹤控制

定義跟蹤誤差ex=rtc-rtcd，rtcd為式(7)和式(14)設(shè)計的軌跡。根據(jù)式(2)的相對位置動力學(xué)，得到位置跟蹤誤差動力學(xué)為

(19)

設(shè)計PD控制器為

mc(kpex+kdev)

(20)

式中:ev為速度跟蹤誤差;kp和kd分別為位置跟蹤控制器比例項和阻尼項系數(shù)。

在此控制器下，跟蹤誤差可漸近收斂為0。但是上述控制器是在LVLH坐標(biāo)系中設(shè)計的，需要將其轉(zhuǎn)化為本體系中的控制力。考慮到姿態(tài)控制雖然是快回路，其仍然需要一定時間完成指向控制，追蹤星并不能實時產(chǎn)生如式(20)的控制信號。設(shè)計本體系中的推力為[10]

(21)

3.2 姿態(tài)跟蹤控制

式(20)設(shè)計的位置跟蹤控制器為姿態(tài)控制提供了參考信號，姿態(tài)控制的目標(biāo)就是使得Xcb軸與fd重合。這本質(zhì)上是姿態(tài)指向控制問題[25]。本節(jié)對傳統(tǒng)CLF進行改進[26-28]，設(shè)計基于CLF的滑模控制律，同時保證姿態(tài)指向控制的最優(yōu)性與魯棒性。

將姿態(tài)跟蹤誤差動力學(xué)方程式(5)和式(6)寫成如式(22)的仿射形式：

(22)

式中：

引理1定義如式(23)的Lyapunov 函數(shù)

(23)

如果a>0，b>0，c>0，則V是一個CLF[29]。

證明：

(24)

(25)

從而得到

(26)

如果LgV=0，則有

(27)

繼而

(28)

記λmax(JsPFFTPTJs)=η，對于?ωbI≠0如果ac>b2η，則LfV<0。

根據(jù)CLF理論[30]，得到CLF控制器為

(29)

l(x)=xTQx，指標(biāo)函數(shù)

(30)

式中:R和Q為二次型指標(biāo)函數(shù)權(quán)值矩陣;u為姿態(tài)跟蹤控制輸入。

傳統(tǒng)CLF控制中，當(dāng)LgV=0時，為了避免奇異，控制切換為0。而LgV=0實際上可以理解為一個線性滑模面，即

(31)

由于傳統(tǒng)CLF控制對于干擾的魯棒性較差，只能被動抑制干擾，缺乏主動抑制干擾及不確定性的機制。而滑?？刂仆ㄟ^不斷切換控制信號，將系統(tǒng)誤差限制在一定區(qū)域內(nèi)，有效提升系統(tǒng)的控制精度[31-32]。因此，將滑模控制與CLF結(jié)合，設(shè)計控制器為

(32)

(33)

證明：

步驟1

構(gòu)造如下Lyapunov 函數(shù)并求導(dǎo)

(34)

(35)

(36)

步驟2

構(gòu)造V2如下：

(37)

對其求導(dǎo)得

(38)

4 仿真分析

本節(jié)將對本文提出的軌跡規(guī)劃和跟蹤算法進行仿真驗證。追蹤星參數(shù)為[2]

追蹤星與目標(biāo)星軌道參數(shù)如表1所示。追蹤星軌跡跟蹤控制器參數(shù)如表2所示。

環(huán)境干擾力矩為

d=10-4×[sin(0.001t)-cos(0.001t)

sin(0.001t)]TN·m

表1 追蹤星及目標(biāo)星軌道參數(shù)Table 1 Orbital parameters of chaser and target spacecraft

表2 追蹤星軌跡跟蹤控制器參數(shù)Table 2 Controller parameters of trajectory tracking

仿真起始時刻令追蹤星Xcb軸在LVLH系中的指向為xcb=[0.1130.991 4-0.066 3]T。

4.1 不考慮初始速度方向

首先，不考慮轉(zhuǎn)移軌跡的初始方向，利用2.1節(jié)中的方法設(shè)計參考軌跡。令t1=8 000 s，t2=8 200 s，最終逼近段開始位置為(0, -20, 0) m。根據(jù)式(10)，可以得到終端時刻tf=8 311 s。

如圖5所示，實線為式(8)設(shè)計的參考軌跡，其分為3段，第1段為近距離交會段(0～8 000 s), 該階段參考軌跡以螺旋線的形式朝目標(biāo)運動。為了讓ZL方向的速度減為0，從8 000 s開始進入減速段，直至t=8 200 s，此時參考軌跡到達YL軸，且速度方向沿YL軸正向。最后，參考軌跡為一直線，勻速逼近目標(biāo)，消耗時間為111 s。由于在設(shè)計參考軌跡時未考慮追蹤星初始速度及初始指向，追蹤星為了跟蹤參考軌跡，需要調(diào)整姿態(tài)，施加相應(yīng)控制力進行位置控制。對于微納衛(wèi)星，其推力器最大輸出幅值一般較小，因此需要較長時間來跟蹤上轉(zhuǎn)移軌跡。從圖中可以看出，最終追蹤星到達目標(biāo)星位置，且Xcb指向YL，符合對接姿態(tài)要求。

圖5 期望轉(zhuǎn)移軌跡及追蹤星實際軌跡Fig.5 Desired and real trajectories of rendezvous and docking

圖6和圖7分別給出了追蹤星對參考軌跡的跟蹤誤差以及相對目標(biāo)的位置?？梢钥闯?，追蹤星需要4 000 s來完成軌跡跟蹤。圖7局部放大圖是最后逼近段的相對位置變化，可以看出，在初始YL方向速度下，追蹤星保持該速度駛向目標(biāo)，最終到達目標(biāo)附近。需要說明的是，最終產(chǎn)生大約為0.5 m的位置誤差，一方面是由于跟蹤誤差導(dǎo)致的，而跟蹤誤差很大程度上是由于姿態(tài)跟蹤誤差導(dǎo)致，姿態(tài)誤差會導(dǎo)致追蹤星無法提供期望控制力；令一方面，在最終逼近段中，沿著XL方向會有外力作用在追蹤星上，而為了達到最終對接姿態(tài)，追蹤星此時推力方向只能沿YL, 從而導(dǎo)致XL方向的誤差。如果為了降低最終位置誤差，可以令逼近段起始點距離最終對接位置近一些，即減小|y20|。但是這樣會減小最終姿態(tài)調(diào)整的時間，有可能導(dǎo)致追蹤星達到對接位置后姿態(tài)仍不滿足對接要求。圖8為追蹤星在LVLH坐標(biāo)系中的實際速度以及轉(zhuǎn)移軌跡的速度。在逼近段，追蹤星距離目標(biāo)較近，此時如果為了減速而將推力器朝向目標(biāo)，不能保證對接姿態(tài)要求，同時推力器羽流也會污染目標(biāo)星。因此，追蹤星在逼近段不能減速，最終以0.1 m/s的速度與目標(biāo)星完成對接。圖9是轉(zhuǎn)移軌跡所需要的推力，將轉(zhuǎn)移軌跡代入式(2)即可獲得。所需推力幅值很大程度上取決于任務(wù)要求時間，即t1及tf。本仿真算例中，追蹤星需要在8 311 s時間內(nèi)連續(xù)提供約10 mN的推力，這對于現(xiàn)有的化學(xué)工質(zhì)推力器來說是無法實現(xiàn)的，必須依靠電推力器或冷氣推進器。電推力器的比沖高、體積小、推力連續(xù)可調(diào)，可長時間提供小推力，適合用在立方體衛(wèi)星軌道轉(zhuǎn)移或保持任務(wù)中[33]。實際任務(wù)中，可以根據(jù)不同推力器特性，調(diào)整t1及tf，以使得推力器提供的推力能夠跟蹤上轉(zhuǎn)移軌跡。

圖6 追蹤星位置跟蹤誤差(不考慮初始速度方向)Fig.6 Position tracking errors of chaser (without considering initial speed direction)

圖7 追蹤星與目標(biāo)星的相對位置(不考慮初始速度方向)Fig.7 Relative position between chaser and target (without considering initial speed direction)

為了跟蹤參考軌跡，圖10給出了根據(jù)式(20)設(shè)計的位置控制力曲線，表示在LVLH系中。在初始時刻，沿-YL方向所需控制力較大，因為在YL方向追蹤星相對目標(biāo)星有較大的初始速度，該速度由兩星軌道差異造成，如果初始時刻兩星位于同一軌道，則相對速度基本為0。而參考軌跡速度方向與追蹤星初始速度相反，因此需要較大控制力來完成軌跡跟蹤。將該控制力通過式(21)分配到追蹤星本體系中，得到沿追蹤星本體Xcb軸的實際控制力(圖11)。

圖8 期望軌跡速度以及追蹤星速度(不考慮初始速度方向)Fig.8 Desired and real velocities of chaser(without considering initial speed direction)

圖9 轉(zhuǎn)移軌跡所需控制力(不考慮初始速度方向)Fig.9 Desired force of trajectory(without considering initial speed direction)

圖12為追蹤星本體Xcb軸與期望控制力的夾角。如之前所述，初始時刻所需控制力與初始速度方向相反，而追蹤星初始Xcb與初始速度方向基本重合，因此，初始期望控制力與Xcb的夾角很大。通過姿態(tài)控制器，令追蹤星姿態(tài)旋轉(zhuǎn)，經(jīng)過約50 s完成姿態(tài)跟蹤。之后，追蹤星Xcb指向參考軌跡的半徑方向，與ZL垂直，以此提供相應(yīng)的轉(zhuǎn)彎加速度。當(dāng)t=8 000 s時，此時需要在ZL方向提供推力，使追蹤星沿-ZL方向的速度減到0。因此，在ZL方向瞬間產(chǎn)生了期望控制力(如圖10所示)，需要再一次進行約50°姿態(tài)機動。姿態(tài)機動完成后，Xcb指向在ZL方向保持不變，在OXLYL平面勻速轉(zhuǎn)動。當(dāng)進入最終逼近段時，期望指向為YL方向，需要進行約90°姿態(tài)機動。對應(yīng)的姿態(tài)角速度及控制力矩如圖13和圖14所示。

圖10 位置跟蹤所需控制力(不考慮初始速度方向)Fig.10 Desired force of trajectory tracking(without considering initial speed direction)

圖11 追蹤星本體實際控制力(不考慮初始速度方向)Fig.11 Control force of chaser (without considering initial speed direction)

圖12 追蹤星Xb軸與期望推力方向夾角(不考慮初始速度方向)Fig.12 Angle between Xb axis and desired force (without considering initial speed direction)

圖13 追蹤星角速度(不考慮初始速度方向)Fig.13 Angular velocity of chaser (without considering initial speed direction)

圖14 追蹤星控制力矩(不考慮初始速度方向)Fig.14 Control torque of chaser (without considering initial speed direction)

4.2 考慮初始速度方向

從圖5可以看出，如果對參考曲線的初始速度方向不加限制，則會使得追蹤星初始指向與參考曲線方向差別較大，不利于軌跡跟蹤。本節(jié)設(shè)計參考軌跡在初始時刻的速度方向與Xcb重合。令t1=8 000 s，tf可根據(jù)式(16)算得為8 086 s。期望轉(zhuǎn)移軌跡及追蹤星實際軌跡如圖15所示。由于將傳統(tǒng)以ZL為中心的螺旋線進行了旋轉(zhuǎn)，使得其滿足初末位置及方向要求。兩次旋轉(zhuǎn)角為φ=141.258°，θ=74.609°。式(14)轉(zhuǎn)移軌跡參數(shù)為初始時刻，參考軌線與追蹤星Xcb相切，雖然不能保證速度一致，但是有利于追蹤星提供切向加速度。與圖5相比，實際軌跡與參考軌跡差異更小。對比圖6與圖16，同樣可以看出，當(dāng)參考軌跡方向與初始Xcb重合時，跟蹤誤差最大為60 m，遠小于任意方向時的120 m。

仿真中初始Xcb方向與初始速度方向差別很小，因此，追蹤星初始速度與參考軌跡也基本相切。從圖17可以看出，速度跟蹤主要是消除兩者在YL方向的差異。對比圖18與圖10可以看出，當(dāng)參考軌跡與初始Xcb相切，因為速度誤差減小，軌跡跟蹤所需控制力較小。除此之外，采用旋轉(zhuǎn)螺旋線另一優(yōu)點是整個轉(zhuǎn)移軌跡只分兩段，即交會段和逼近段，無需減速段，因為ZL方向通過旋轉(zhuǎn)后的螺旋軌跡可以提供相應(yīng)的加速度。在8 000 s 之后，追蹤星到達(0, -20, 0) m的位置，進入逼近段，推力器關(guān)閉，以0.2 m/s的速度勻速駛向目標(biāo)星，如圖19所示。追蹤星控制力拒如圖20所示。同時，調(diào)整姿態(tài)，令Xcb指向目標(biāo)，以滿足對接要求，如圖21所示,滑膜變量如圖22所示。

圖15 考慮初始指向下期望轉(zhuǎn)移軌跡及追蹤星實際軌跡Fig.15 Desired and real trajectories of rendezvous and docking considering initial direction of chaser

圖16 追蹤星位置跟蹤誤差Fig.16 Position tracking errors of chaser

圖17 期望軌跡速度以及追蹤星速度Fig.17 Desired and real velocities of chaser

圖18 位置跟蹤所需控制力Fig.18 Required control force for position tracking

根據(jù)式(32)設(shè)計的姿態(tài)控制器，當(dāng)姿態(tài)誤差減小到一定區(qū)域時，由CLF控制切換為滑?？刂啤？刂魄袚Q情況如圖23所示，其中1表示滑?？刂?，0表示CLF。CLF只作用在前100 s及后100 s，中間大部分時間為滑?？刂?。這種切換機制可以使得當(dāng)姿態(tài)偏差較大時，以CLF保證系統(tǒng)最優(yōu)性，節(jié)省姿態(tài)機動能量；當(dāng)姿態(tài)收斂到一定范圍后，切換為滑模控制，提高控制精度，增加系統(tǒng)對干擾的魯棒性。