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        把握本質(zhì) 釋疑解惑

        2020-11-30 08:57:03陳俊
        初中生世界·八年級 2020年10期
        關鍵詞:性質(zhì)

        陳俊

        生活中有很多軸對稱圖形,我們也能從中感受到“對稱美”。本章的重點就是利用軸對稱探索線段的垂直平分線,角的平分線以及等腰三角形、等邊三角形的有關性質(zhì)和判定;難點是理解線段垂直平分線,角平分線以及等腰三角形、等邊三角形相關性質(zhì)和判定產(chǎn)生的過程。我們只有把握好其本質(zhì),才能有效地抓住重點,破解難點。

        一、軸對稱性質(zhì)的應用

        例1

        如圖1,點P是△ACB外的一點,點D、E分別是△ACB兩邊上的點,點P關于CA的對稱點P1恰好落在線段E1)上,點P關于CB的對稱點P2落在E1)的延長線上,若PE=2.5,PD=3,ED=4,則線段P1P2的長為______。

        【解析】利用軸對稱圖形的性質(zhì)得出PE=P1E,PD=P2D,進而利用DE=4,得出P1D的長為1.5,即可得出P1P2的長為4.5。

        【點評】解本題的本質(zhì)在于掌握軸對稱的性質(zhì),挖掘其隱藏條件,即PE=P1E,PD=P2D。

        二、線段垂直平分線性質(zhì)的應用

        例2如圖2,在△ABC中,PM、QN分別垂直平分AB和AC,BC=6cm,∠BAC=100°。求△APQ的周長與∠PAQ的度數(shù)。

        【解析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到PA=PB,QA=QC,則AAPQ的周長可轉(zhuǎn)化為PB+PQ+QC,即BC的長,為6cm;易知A_PAB=∠B,∠QAC=A_C,∠B+∠C=80°,則∠PAQ=∠BAC-(∠PAB+∠QAC)=100°-(∠B+∠C)=20°。

        【點評】本題的本質(zhì)在于掌握線段垂直平分線的性質(zhì):線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等。注意:這里的距離指的是點與點之間的距離,也就是兩點之間線段的長良。我們在使用該性質(zhì)時必須保證兩個前提條件:一是垂直于這條線段,二是平分這條線段。

        三、角平分線性質(zhì)的應用

        例3如圖3,在四邊形ABCD中,AB=CD,BA和CD的延長線交于點E,若點P使得△PAB與△PCD的面積相等,則滿足此條件的點P有多少個?

        【解析】因為AB=CD,若使△PAB與△PCD的面積相等,則點P到AB和CD的距離相等。所以作∠E的平分線,除點E,這樣的點P有無數(shù)個。

        【點評】角平分線的性質(zhì)是角平分線上的點到角兩邊的距離相等。本題的本質(zhì)在于逆用角平分線的性質(zhì):到角兩邊的距離相等的點在角平分線所在的直線上。牢記:角平分線的性質(zhì)是證明線段相等的一個比較簡單的方法;當遇到有關角平分線的問題時,通常過角平分線上的點向角的兩邊作垂線,構(gòu)造相等的線段。

        四、等腰三角形的性質(zhì)和判定應用

        例4如圖4,已知AB=AC=BD,則∠1與∠2的關系是( )。

        A.3∠1-∠2=180° B.2∠1+∠2=180°

        C.∠1+3∠2=180° D.∠1=2∠2

        【解析】由AB=AC,設∠B=x°,則/C=x°。由AB=BD得,∠1=∠BAD=90°-1/2x,根據(jù)外角性質(zhì),可得∠2=∠1-∠C=90°-3/2x°。通過觀察兩式,可得3∠1-∠2=180°,故選A。

        【點評】解本題的本質(zhì)在于掌握等腰三角形的“等邊對等角”性質(zhì),即等腰三角形的兩底角相等。提醒:用字母表示角的度數(shù),從而“以解代證”,可以使解題過程清晰明了。

        例5如圖5,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,BE平分∠ABC,G為EF的中點。求證:AG⊥EF。

        【解析】只要證明AF=AE,利用等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)即可解決問題。證明過程留給同學們自行探索。

        【點評】解本題的本質(zhì)在于熟練掌握等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)以及“等角對等邊”的應用。等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合。

        五、等邊三角形的判定與性質(zhì)的應用

        例6 如圖6,點P、M、N分別在等邊AABC的各邊上,且MP⊥AB于點P,MN⊥BC于點M,PN⊥AC于點N。(1)求證:△PMN是等邊三角形;(2)若AB=12cm,求CM的長。

        【解析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠A=∠B=∠C,又因為∠MPB=∠NMC=∠PNA=90°,則∠PMB=∠MNC=∠APN。根據(jù)平角的定義,即可得出∠NPM=∠PMN=∠MNP,所以△PMN是等邊三角形;(2)易證△PBM≌△MCN≌△NAP,得出PA=BM=CN,PB=MC=AN,從而求得BM+PB=AB=12cm。根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半,得出2PB=BM,即可求得PB的長,進而得出CM的長。

        【點評】解本題的本質(zhì)在于掌握等邊三角形的性質(zhì)和判定。等邊三角形的性質(zhì)是:等邊三角形是軸對稱圖形,并且具有3條對稱軸;等邊三角形是等腰三角形,具有等腰三角形所有性質(zhì);等邊三角形的每個角都等于60°。等邊三角形的判定:三邊相等的三角形是等邊三角形;三個角都相等的三角形是等邊三角形;有兩個角是60°的三角形是等邊三角形;有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。

        同學們,理解問題的本質(zhì),充分挖掘題目中的隱藏條件,就找到了解題關鍵。相信你們在今后的學習中,一定會透過問題表象看到問題本質(zhì),從而達到釋疑解惑的目的。

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