楊 勇

(江蘇省鎮(zhèn)江市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué),212003)

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,涉及到橢圓、雙曲線、拋物線等內(nèi)容.與直線組合,可演變出很多題型,常見(jiàn)的如定點(diǎn)、定值、最值問(wèn)題等.由于這類(lèi)問(wèn)題具有計(jì)算量大，知識(shí)融合度高，方法多樣化等特點(diǎn),學(xué)生解決起來(lái)比較困難.因此,如何尋找思路、突出聯(lián)系、反思本質(zhì)，就顯得尤為關(guān)鍵.本文以一道解析幾何中的最值問(wèn)題為例,進(jìn)行探究.

一、閱讀分析,理解題意

(1)求橢圓的方程;

(2)過(guò)點(diǎn)D(0,2)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A,B,求?OAB面積最大值.

二、設(shè)定變量,尋求表達(dá)

(2k2+1)x2+8kx+6=0.

(*)

自此,面積函數(shù)千呼萬(wàn)喚始出來(lái),最大值又如何求呢?

三、解法探究,注重關(guān)聯(lián)

課堂實(shí)錄片段

師:問(wèn)題到此得到完美解決,然而所涉及的方法是否掌握并能靈活應(yīng)用?

例2(2016 全國(guó)卷理科I卷第20題)

如圖2，設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A,直線l過(guò)點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.

(1)證明|EA|+|EB|為定值,并寫(xiě)出點(diǎn)E的軌跡方程;

(2)如圖3，設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點(diǎn),過(guò)B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn),求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

每一道經(jīng)典例題和高考試題都是命題者集體智慧的結(jié)晶,往往蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想和方法.比如,上述解法之間就存在千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系,在解題后要不斷反思,領(lǐng)悟知識(shí)間的交匯融合,對(duì)培養(yǎng)解題思維和提升運(yùn)算能力很有幫助.例1的解法1、解法2和解法4本質(zhì)上都是利用了換元法,只是換元的對(duì)象和思路是不一致的.解法1以消去根號(hào)為出發(fā)點(diǎn)；解法2是在受到解法1啟發(fā)的基礎(chǔ)上做了大膽猜想、小心驗(yàn)證,通過(guò)兩次換元能夠順利解答;解法4則是在解法2的基礎(chǔ)上,通過(guò)深入觀察化簡(jiǎn)過(guò)程而得到的嘗試,這種求解方法需要臨場(chǎng)應(yīng)變和縝密思考;解法3是利用函數(shù)求導(dǎo)解決最值問(wèn)題,該方法不難想到,但求解過(guò)程計(jì)算量大,比較繁瑣,很多學(xué)生會(huì)半途而廢.四種方法當(dāng)中，解法1是通性通法,也是最容易想到的解法,其他幾種方法是該類(lèi)題型的有效補(bǔ)充.