張國(guó)良 陳麗琴

(江蘇省武進(jìn)高級(jí)中學(xué), 213161) (江蘇省前黃高級(jí)中學(xué), 213161)

思維品質(zhì)反映了每個(gè)個(gè)體智力或思維水平的差異,主要包括廣闊性、深刻性、靈活性、獨(dú)創(chuàng)性、批判性、敏捷性等方面．紐威爾和西蒙認(rèn)為,問題是一種情境,問題解決就是由一定情境引起的,按照一定的目標(biāo),應(yīng)用各種認(rèn)知活動(dòng)、技能等,經(jīng)過一系列思維操作,消除目前狀態(tài)與所想達(dá)成目標(biāo)狀態(tài)之間差異的過程．問題解決是培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)的重要載體,良好的思維品質(zhì)是問題解決的切實(shí)保障．

零點(diǎn)問題是函數(shù)的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容,中學(xué)階段的解題途徑一般是通過零點(diǎn)存在定理來證明零點(diǎn)的存在性,是高考的熱點(diǎn)、難點(diǎn)問題．基于問題解決的視角,需找到恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)零點(diǎn)所在某個(gè)區(qū)間,進(jìn)而規(guī)范嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乇磉_(dá)出來,獲得零點(diǎn)的存在性．因此,零點(diǎn)所在區(qū)間端點(diǎn)值的探尋和結(jié)論的演繹推理過程是培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)的良好載體．下面通過兩個(gè)具體的案例加以分析．

案例1已知函數(shù)f(x)=lnx-ax+a,其中a∈R.若f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

1.問題求解

若a≤0,則f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)單調(diào)增,f(x)在(0,+∞)至多有1個(gè)零點(diǎn),不合題意.

綜上,實(shí)數(shù)a∈(0,1)∪(1,+∞).

2.思維解密

當(dāng)a>0時(shí),f(x)的一個(gè)零點(diǎn)可從特殊值x=1獲得,尋找另一個(gè)零點(diǎn)成為解題的關(guān)鍵.

轉(zhuǎn)化思維模式,對(duì)f(x)進(jìn)行放縮,由x>0,得ax>0,從而f(x)=lnx-ax+a

案例2已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x,a∈R.

(1)試討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若f(x)有2個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.

1.問題求解

(1)f′(x)=(2ex+1)(aex-1).

當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)<0,f(x)在(-∞,+∞)單調(diào)減;當(dāng)a>0時(shí),由f′(x)=0,得x=-lna.易見f(x)在(-∞,-lna)單調(diào)減,在(-lna,+∞)單調(diào)增.

當(dāng)a=1時(shí),由f(x)min=f(-lna)=0,得f(x)只有1個(gè)零點(diǎn),不合題意.

綜上,當(dāng)0

2.思維解密

引導(dǎo)學(xué)生從多方面考慮,可以促進(jìn)學(xué)生思維的廣闊性.我們對(duì)f(x)進(jìn)行放縮變形,考慮到f(x)的表達(dá)式中有e2x與ex,聯(lián)想到常見不等關(guān)系ex≥x+1(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取到等號(hào)),即x≤ex-1,可得f(x)≥ae2x+(a-2)ex-(ex-1)=ae2x+(a-3)ex+1.

數(shù)學(xué)問題解決過程反映了學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的狀況,其思維品質(zhì)不是與生俱來的,個(gè)體存在差異,需要在學(xué)科教學(xué)中予以培養(yǎng).問題解決的過程不僅是學(xué)生獲取新知識(shí)的過程,更是學(xué)生通過新的證據(jù)檢驗(yàn)和完善已有知識(shí)或理論,提升學(xué)生思維品質(zhì)的過程.因此,教師要在問題解決的過程中,充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性,善于啟發(fā)、引導(dǎo)、點(diǎn)撥、解疑,使學(xué)生主動(dòng)參與到探索知識(shí)的形成過程中去. 數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)不僅在于向?qū)W生傳授知識(shí),更重要的是要優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì),全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).