程柳莎

(浙江省東陽市第二高級(jí)中學(xué), 322100)

傳說古希臘有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者,名叫海倫．一天,一位羅馬將軍專程去拜訪他,向他請(qǐng)教一個(gè)百思不得其解的問題:將軍每天騎馬從城堡A出發(fā),先到河邊飲馬,然后再去河岸同側(cè)的城堡B開會(huì),應(yīng)該怎樣走才能使路程最短?據(jù)說海倫略加思索就解決了它,從此以后這個(gè)被稱為將軍飲馬的問題被廣為流傳．這實(shí)際上是在直線上找一點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和的最小值問題．本文以此為基礎(chǔ)進(jìn)行延伸,整理了與此類似的平面內(nèi)到兩個(gè)點(diǎn)的距離之和的最值問題,即|PA|+|PB|的最值問題及其求解思路．下面，就三類模型作業(yè)具體分析.

模型1二個(gè)定點(diǎn)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)只有一個(gè)時(shí),可利用兩點(diǎn)之間線段最短求出最小值．為了形成三點(diǎn)共線,可以利用動(dòng)點(diǎn)所在的曲線的軌跡將同側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn)化為異側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn)．

1. 動(dòng)點(diǎn)在直線上時(shí),利用對(duì)稱點(diǎn)轉(zhuǎn)化

2. 動(dòng)點(diǎn)在圓錐曲線上,一個(gè)定點(diǎn)為焦點(diǎn)時(shí),利用定義轉(zhuǎn)化

例2已知P為拋物線C:y2=8x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),F為拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,1),求|PA|+|PF|的最小值．

解如圖2,過P,A分別作拋物線的準(zhǔn)線x=-2的垂線,垂足為H,E.由拋物線的定義可知|PF|=|PH|,于是|PA|+|PF|=|PA|+|PH|≥|AE|=6,所求最小值為6.

評(píng)注若動(dòng)點(diǎn)在拋物線上,一個(gè)定點(diǎn)為焦點(diǎn),另一個(gè)定點(diǎn)在拋物線外側(cè),則定點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線段的長即為所求最小值;若一個(gè)定點(diǎn)為焦點(diǎn),另一個(gè)定點(diǎn)在拋物線內(nèi)側(cè),則此定點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離即為所求最小值.

評(píng)注若動(dòng)點(diǎn)在雙曲線的左支或右支上,一個(gè)定點(diǎn)為焦點(diǎn),另一個(gè)定點(diǎn)與焦點(diǎn)所在雙曲線這一支的兩側(cè),則由兩定點(diǎn)連線段的長可得最小值;若另一個(gè)定點(diǎn)與焦點(diǎn)在動(dòng)點(diǎn)所在雙曲線這一支的同側(cè),則利用雙曲線的定義轉(zhuǎn)化,可求得最小值．

解如圖4,易知點(diǎn)A在橢圓內(nèi)部.由橢圓的定義知|PF2|+|PF1|=10,故|PF2|=10-|PF1|,|PF2|+|PA|=10+|PA|-|PF1|.

評(píng)注若動(dòng)點(diǎn)在橢圓上,一個(gè)定點(diǎn)為焦點(diǎn),另一個(gè)定點(diǎn)在橢圓外側(cè),則定點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線段的長即為最小值,利用橢圓的定義將距離之和轉(zhuǎn)化為距離之差,可求得此定點(diǎn)與另一個(gè)焦點(diǎn)的連線段與長軸的和為最大值;若另一個(gè)定點(diǎn)在橢圓內(nèi)側(cè),類比例4可求得最大值與最小值．

3.動(dòng)點(diǎn)在圓上時(shí),利用阿波羅尼斯圓的性質(zhì)(反演點(diǎn))或橢圓的定義轉(zhuǎn)化

例5若向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,求|a+b|+2|a-b| 的最小值．

分析1向量的模可表示兩點(diǎn)間的距離,所以|a+b|+2|a-b|為距離的線性之和.考慮把系數(shù)化為相同的情形,從而將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為距離之和,利用阿波羅尼斯圓的反演點(diǎn)求解.

分析2既然能通過求阿波羅尼斯圓的反演點(diǎn),將線性和化為距離之和,必然可從代數(shù)角度直接轉(zhuǎn)化為距離之和．

解法2設(shè)點(diǎn)A(1,0),A′(-1,0),C(4,0),P(x,y),a=(1,0),b=(x,y),則有x2+y2=4.于是

|a+b|+2|a-b|

=|PA′|+|PC|

≥|A′C|=5.

例6(2017年浙江高考題)已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,求|a+b|+|a-b|的最小值與最大值．

由線段AA′在圓內(nèi)部,設(shè)|PA′|+|PA|=2a(a>1),則點(diǎn)P在以A,A′為焦點(diǎn)、2a為長軸長的動(dòng)橢圓上.又因?yàn)辄c(diǎn)P也在圓x2+y2=4上,故當(dāng)動(dòng)橢圓與圓有公共點(diǎn)時(shí),可求此橢圓長軸的最大和最小值.

模型2一個(gè)定點(diǎn)二個(gè)動(dòng)點(diǎn)

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)有兩個(gè)時(shí),可先固定其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn),研究另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)對(duì)距離之和的影響,然后再看此動(dòng)點(diǎn)對(duì)距離之和的影響,逐一進(jìn)行突破．

例7已知P為拋物線C:y2=8x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),F為拋物線的焦點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)A在圓D:(x-4)2+(y-1)2=1上,求|PA|+|PF|的最小值．

解如圖7,過點(diǎn)P,D分別作拋物線的準(zhǔn)線x=-2的垂線,垂足為H,E,由拋物線的定義可知|PF|=|PH|.

又因?yàn)閨PA|≥|PD|-1,所以

|PA|+|PF|=|PA|+|PH|

≥|PH|+|PD|-1

≥|DE|=5,

故所求最小值為5.

模型3三個(gè)動(dòng)點(diǎn)

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)有三個(gè)時(shí),可先固定其中兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),研究第三個(gè)動(dòng)點(diǎn)對(duì)距離之和的影響;然后再看第二個(gè)動(dòng)點(diǎn)對(duì)距離之和的影響,以此類推逐一進(jìn)行突破．

例8已知點(diǎn)P,Q分別為圓C1:(x+2)2+(y-3)2=1及圓C2:(x-4)2+(y-2)2=1上的動(dòng)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)A在x軸上,求|PA|+|QA|的最小值．

解先固定點(diǎn)P,Q,視點(diǎn)A為動(dòng)點(diǎn),則|AP|≥|AC1|-1,|AQ|≥|AC2|-1,得|PA|+|QA|≥|AC1|+|AC2|-2．