王慧敏, 劉艷紅

(1. 吉林財(cái)經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院, 長(zhǎng)春 130117; 2. 吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 長(zhǎng)春 130012)

0 引 言

近年來, 量子等離子體中非線性靜電和電磁結(jié)構(gòu)的研究已引起人們廣泛關(guān)注, 特別是量子等離子體孤波和沖擊波等非線性靜電波, 由于其在空間、 地球及實(shí)驗(yàn)室環(huán)境中具有重要作用而備受關(guān)注[1]. 研究表明, 當(dāng)介質(zhì)同時(shí)具有色散和耗散兩種特性時(shí), 量子等離子體中二維靜電波的非線性傳播由KPB(Kadomtsev-Petviashvili-Burgers)方程控制, 其形式如下：

(1)

KPB方程是由約化攝動(dòng)法推導(dǎo)出的量子流體力學(xué)方程的一個(gè)近似方程. 考慮在簡(jiǎn)并電子和帶正電慣性離子組成的量子等離子體中, 由簡(jiǎn)并電子提供全部壓力但不提供任何質(zhì)量, 慣性離子提供幾乎全部質(zhì)量但不提供任何壓力, 若假設(shè)等離子體流中涉及的任何速度都遠(yuǎn)低于量子離子聲波速度, 可得此時(shí)的基本量子流體力學(xué)方程, 再利用約化攝動(dòng)法對(duì)該方程進(jìn)行推導(dǎo), 則可得描述離子聲波傳播的KPB方程. 文獻(xiàn)[1]結(jié)合tanh函數(shù)法求解了KPB方程的精確解. 約化攝動(dòng)法是求解離子聲波的一種常用方法, 但該方法需求偏微分方程的解析解, 目前關(guān)于KPB方程的研究均為求方程的解析解[1-2], 但求解過程較復(fù)雜, 因此對(duì)量子離子聲波進(jìn)行數(shù)值研究具有重要意義. 格子Boltzmann方法(LBM)在計(jì)算流體力學(xué)領(lǐng)域[3-6]和非線性偏微分方程領(lǐng)域[7-10]應(yīng)用廣泛. 基于此, 本文采用區(qū)別于傳統(tǒng)數(shù)值方法的LBM對(duì)KPB方程描述的離子聲波進(jìn)行數(shù)值模擬研究.

1 格子Boltzmann模型

下面為KPB方程構(gòu)建基于單松弛格子BGK(Bhatnagar-Gross-Krook)模型的格子Boltzmann模型. 首先, 選用D2b9雙層格子離散二維空間, 格子中的粒子速度記為eα(α=0,1,…,8), 其表達(dá)式為

eα=((0,0),(c,0),(-c,0),(0,c),(0,-c),(2c,0),(-2c,0),(0,2c),(0,-2c)).

(2)

(3)

則分布函數(shù)fα(x,t)滿足標(biāo)準(zhǔn)格子Boltzmann方程：

(4)

設(shè)Knudsen數(shù)ε充分小, 對(duì)fα進(jìn)行Chapman-Enskog展開, 可得

(5)

再結(jié)合Taylor展開和多尺度展開, 可得不同時(shí)間尺度上的系列偏微分方程[11]：

根據(jù)宏觀方程(1)的特點(diǎn), 定義宏觀量為

(10)

(11)

會(huì)導(dǎo)致精度損失較大, 為盡可能避免精度損失, 經(jīng)過多次實(shí)驗(yàn)最終選定如下平衡態(tài)分布函數(shù)的矩形式.

取平衡態(tài)分布函數(shù)的各階矩為

(12)

(13)

(14)

結(jié)合式(2)計(jì)算可得平衡態(tài)分布函數(shù)為

由式(6)+式(7)×ε+式(8)×ε2+式(9)×ε3并對(duì)α求和, 可得

(21)

式(21)為KPB方程(1)的近似計(jì)算公式, 其中E3為三階誤差項(xiàng). 通過誤差分析可得

其中

2 數(shù)值模擬

下面利用構(gòu)建的格子Boltzmann模型對(duì)方程(1)描述的離子聲波進(jìn)行數(shù)值模擬. 取式(1)中各參數(shù)為

初始條件為

φ(χ)=φ0[2(1-tanhχ)+sech2χ],χ=k(x+y),

(23)

采用Neumann宏觀邊界條件:

其中xL,xR,yU,yD分別表示左、 右、 上、 下邊界. 計(jì)算參數(shù)分別為： 格子數(shù)M=100, Δt=0.001, Δx=Δy=1/M,c=Δx/Δt.

圖1為由KPB方程(1)控制的離子聲波從t=0到t=2.5的傳播; 圖2為方程(1)在y=0處的離子聲波從t=0到t=2.5的傳播對(duì)比; 圖3為t=1時(shí)LBM解的誤差曲線. 由圖3可見, 本文模型的計(jì)算精度達(dá)10-3數(shù)量階, 數(shù)值結(jié)果令人滿意.

圖1 離子聲波的傳播Fig.1 Propagation of ion-acoustic wave

圖2 當(dāng)y=0時(shí)離子聲波的傳播對(duì)比Fig.2 Comparison of propagation of ion-acoustic wave when y=0

圖3 當(dāng)y=0, t=1時(shí)LBM解的誤差曲線Fig.3 Error curve of LBM solutions when y=0, t=1

為了對(duì)模型的收斂性進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證, 圖4給出了誤差無窮?！珽r‖∞和Knudsen數(shù)ε的對(duì)數(shù)關(guān)系曲線, 其中‖Er‖∞=max{Er}. 通過線性擬合, 得到擬合直線

lg‖Er‖∞=-1.643 58+0.715 36×lgε,

斜率是0.715 36. 由圖4可見, 本文模型是收斂的, 擬合直線的斜率表示收斂的階數(shù). 在模型中, Knudsen數(shù)ε與時(shí)間步長(zhǎng)Δt相等, 并且Δx=cΔt=cε. 對(duì)于固定的參數(shù)c, 本文模型在時(shí)間和空間上收斂的階數(shù)均為0.715 36. 由圖4還可見: 本文模型的誤差和Knudsen數(shù)ε之間的依賴關(guān)系是Knudsen數(shù)ε越小, 誤差越?。?對(duì)固定的參數(shù)c, 本文模型誤差對(duì)網(wǎng)格數(shù)有依賴關(guān)系, 網(wǎng)格越密, 誤差越小. 數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明, LBM是模擬KPB方程中量子等離子體離子聲波的一種有效方法.

圖4 當(dāng)t=1時(shí), LBM解的誤差無窮?！珽r‖∞和Knudsen數(shù)ε的對(duì)數(shù)關(guān)系曲線Fig.4 Logarithmic relationship curve of infinite norm of error ‖Er‖∞ and Knudsen number ε for LBM solutions when t=1

綜上所述, 本文為KPB方程構(gòu)建了一個(gè)格子Boltzmann模型, 先結(jié)合不同時(shí)間尺度上的格子Boltzmann系列偏微分方程, 通過為平衡態(tài)分布函數(shù)選擇合適的矩形式, 恢復(fù)了所需的宏觀方程, 并通過誤差分析得出模型的誤差； 然后利用構(gòu)建的模型對(duì)KPB方程控制的量子等離子體中離子聲波的傳播演化進(jìn)行數(shù)值模擬, 并對(duì)模型的有效性進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證. 數(shù)值結(jié)果表明, LBM是數(shù)值求解KPB方程、 模擬量子等離子體離子聲波的一種有效方法.