歐國(guó)成， 劉小園

（羅定職業(yè)技術(shù)學(xué)院信息工程系，廣東 羅定527200）

與混沌系統(tǒng)相比，超混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為更復(fù)雜、更難以預(yù)測(cè)，在數(shù)據(jù)保密領(lǐng)域具有更高的實(shí)用價(jià)值[1-2]。近年來(lái)，已有不少學(xué)者把超混沌加密應(yīng)用在保密工作中，如：王勇等把超混沌序列與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合，產(chǎn)生AES種子密鑰用于圖像加密，該算法的密鑰長(zhǎng)度約為200 bit[3]；朱淑芹等把四維離散混沌映射用于圖像加密，該算法的密鑰長(zhǎng)度為398 bit，能夠抵抗差分攻擊[4]；趙方正等按照像素位置打亂超混沌序列，實(shí)現(xiàn)彩色圖像加密，該算法的密鑰長(zhǎng)度約為286 bit，具有較強(qiáng)的抗攻擊能力[5]；劉鵬等把超混沌序列用于加密視頻信息，該算法的密鑰長(zhǎng)度為144 bit[6]；Khadijeh MT等提出一種超混沌圖像加密算法，算法魯棒性好但加密速度不夠理想[7]；張海濤等把超混沌序列用于加密處理圖像的水印信息，用于保障圖像水印安全性[8]。

已有的利用超混沌序列設(shè)計(jì)的加密算法普遍具有密鑰長(zhǎng)度短、密鑰空間不足等弱點(diǎn)，不適合用于安全性能要求高的數(shù)據(jù)加密。本文利用超混沌系統(tǒng)復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性，提出一種密鑰空間大、密鑰敏感性好的超混沌-AES數(shù)據(jù)加密算法。首先選取2個(gè)超混沌系統(tǒng)并進(jìn)行離散化處理，得到8個(gè)超混沌序列；然后對(duì)混沌序列進(jìn)行異或混淆處理，打亂序列之間的關(guān)聯(lián)性，進(jìn)一步提高密鑰安全性；再次對(duì)序列進(jìn)行異或混淆處理，最后得到算法密鑰，用于數(shù)據(jù)的加密和解密。

1 超混沌系統(tǒng)的選取

非線性系統(tǒng)的維數(shù)在一定程度上決定其動(dòng)力學(xué)行為的復(fù)雜程度。一般而言，能產(chǎn)生超混沌現(xiàn)象的系統(tǒng)，其最低維數(shù)是四維。高維非線性系統(tǒng)通常是在低維非線性系統(tǒng)的基礎(chǔ)上通過(guò)增加系統(tǒng)變量和微分方程得到[9]。例如，王興元等通過(guò)在Lorenz系統(tǒng)中增加1個(gè)變量及微分方程，得到超混沌Lorenz系統(tǒng)[10]。朱雷等通過(guò)改進(jìn)Sprott-B混沌系統(tǒng)，并在此基礎(chǔ)上引入一個(gè)線性變量和一個(gè)微分方程，得到一個(gè)新的四維超混沌系統(tǒng)[11]，其數(shù)學(xué)模型為：

為方便陳述，下面把式（1）記為系統(tǒng)Ⅰ。系統(tǒng)Ⅰ是一個(gè)四維非線性系統(tǒng)，具有4個(gè)變量x1、y1、z1、w1以及 4 個(gè)系統(tǒng)參數(shù) a1、b1、c1、d1。 非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)受系統(tǒng)參數(shù)和系統(tǒng)變量的初始值影響。系統(tǒng)具有2個(gè)大于零的李雅普諾夫（Lyapunov）指數(shù)是判斷系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)的必要條件[11]。 以、y、、分別表示變量 x1、y1、z1、w1的初始值，、、、分別表示系統(tǒng)的 4個(gè) Lyapunov 指數(shù)。 令 a1=10、b1=4、c1=1、d1=0.5、=1、=1、=1、=1， 計(jì) 算 得 到=0.1509，=0.1095，=0，L=-5.2602， 可見(jiàn)>0、>0，此時(shí)系統(tǒng)Ⅰ的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為超混沌，其混沌吸引子相圖如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)Ⅰ的混沌吸引子相圖

分維數(shù)反映的是混沌系統(tǒng)中吸引子結(jié)構(gòu)的復(fù)雜程度，通常以Lyapunov維數(shù)作為系統(tǒng)的分維數(shù)，可由以下公式計(jì)算：DL=3+（L1+L2+L3）/∣L4∣。 通過(guò)計(jì)算得到系統(tǒng)Ⅰ的分維數(shù)為3.0495，可見(jiàn)系統(tǒng)Ⅰ的動(dòng)力學(xué)行為很復(fù)雜，具有無(wú)限相似的復(fù)雜結(jié)構(gòu)[12]。

扶坤榮基于三維增廣Lü系統(tǒng)，構(gòu)建了一個(gè)四維超混沌系統(tǒng)[13]，其數(shù)學(xué)模型為：

為方便陳述，把式（2）記為系統(tǒng)Ⅱ。和系統(tǒng)Ⅰ一樣，系統(tǒng)Ⅱ也是一個(gè)四維非線性系統(tǒng)，同樣具有 4 個(gè)變量 x2、y2、z2、w2以及 4 個(gè)系統(tǒng)參數(shù) a2、b2、c2、d2。 以分別表示變量 x2、y2、z2、w2的 初 始 值 ，分 別 表 示 系 統(tǒng) 的 4個(gè)Lyapunov 指數(shù)。 令 a2=6、b2=4、c2=8、d2=2、=1、=1， 可得=1.6383，=0.1260，-37.3092，可見(jiàn)此時(shí)系統(tǒng)Ⅱ的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為超混沌，其混沌吸引子相圖如圖2所示。

計(jì)算出系統(tǒng)Ⅱ的分維數(shù)為3.0472，可見(jiàn)系統(tǒng)Ⅱ和系統(tǒng)Ⅰ一樣，具有無(wú)限相似的復(fù)雜結(jié)構(gòu)。

圖2 系統(tǒng)Ⅱ的混沌吸引子相圖

2 高級(jí)加密標(biāo)準(zhǔn)

高級(jí)加密標(biāo)準(zhǔn)（Advanced Encryption Standard，AES），又稱為Rijndael加密算法，是對(duì)稱密鑰加密中最流行的算法之一，具有安全性好、效率高、易實(shí)現(xiàn)性和靈活性等優(yōu)點(diǎn)[14-15]。AES算法在加解密過(guò)程中需要把數(shù)據(jù)進(jìn)行分組，每組數(shù)據(jù)長(zhǎng)度固定為128 bit。AES通過(guò)多次迭代操作實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的變換，按照迭代次數(shù)的不同，可分為3種不同的加密模式：第一種加密模式經(jīng)過(guò)10次迭代變換得到密文，其密鑰長(zhǎng)度為128 bit，記為AES-128；第二種加密模式經(jīng)過(guò)12次迭代變換得到密文，其密鑰長(zhǎng)度為192 bit，記為AES-192；第三種加密模式經(jīng)過(guò)14次迭代變換得到密文，其密鑰長(zhǎng)度為256 bit，記為AES-256。其中AES-128的加密流程及解密流程如圖3所示。

圖3 AES-128加密和解密流程

3 超混沌與AES混合加密算法

利用系統(tǒng)Ⅰ、系統(tǒng)Ⅱ具有的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)特性，提出一種密鑰空間大、密鑰敏感性好的超混沌-AES加密算法。首先對(duì)系統(tǒng)Ⅰ、系統(tǒng)Ⅱ進(jìn)行離散化處理，得到8個(gè)超混沌序列；然后對(duì)這8個(gè)混沌序列交叉進(jìn)行異或混淆處理，打亂同一個(gè)系統(tǒng)中不同序列之間的關(guān)聯(lián)性，得到4個(gè)混沌序列；接著把這4個(gè)混沌序列兩兩間進(jìn)行異或混淆處理，得到2個(gè)混沌序列S1、S2，進(jìn)一步提高密鑰安全性；最后把混沌序列S1作為超混沌加密的密鑰，混沌序列S2作為產(chǎn)生AES加密密鑰的參數(shù)之一?；旌霞用芊桨溉鐖D4所示，具體步驟如下：

1）產(chǎn)生混沌序列。 令 a1=10、b1=4、c1=1、d1=0.5、a2=6、b2=4、c2=8、d2=2，保證系統(tǒng)Ⅰ、系統(tǒng)Ⅱ的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為超混沌。以2個(gè)系統(tǒng)8個(gè)狀態(tài)變量的初始值為 密 鑰 參 數(shù) ， 保 證 算 法 的密鑰空間足夠大。采用四階龍格-庫(kù)塔法分別對(duì)2個(gè)超混沌系統(tǒng)進(jìn)行離散化處理，將迭代步長(zhǎng)均設(shè)置為 0.001，得到 8 個(gè)超混沌序列 x1、y1、z1、w1、x2、y2、z2、w2。

2）處理混沌序列。分別在序列 x1、y1、z1、w1、x2、y2、z2、w2中截取一段長(zhǎng)度為 32 byte 的數(shù)據(jù)，截取位置可自定，得到8個(gè)長(zhǎng)度為32 byte的序列。為了使序列適合用于數(shù)據(jù)加密，需要進(jìn)行如下處理：

式（3）中，k=1、2，分別表示系統(tǒng)Ⅰ、系統(tǒng)Ⅱ；i表示序列中第i個(gè)值。利用floor函數(shù)獲得一個(gè)不大于原值的最大整數(shù)，利用mod函數(shù)對(duì)256取模求余，最后利用round函數(shù)進(jìn)行四舍五入取整操作?；煦缧蛄斜惶幚砗?，其值均為0～255之間的整數(shù)。

圖4 超混沌與AES混合加密算法

3）加密密鑰的產(chǎn)生。為了打亂同一個(gè)系統(tǒng)4個(gè)狀態(tài)變量之間的關(guān)聯(lián)性，首先將8個(gè)超混沌序列分別進(jìn)行異或混淆處理，處理方法見(jiàn)式（4）。

混淆后得到 4 個(gè)序列 x12、y12、z12、w12，為進(jìn)一步提高密鑰安全性，再次把 x12、y12、z12、w12進(jìn)行異或運(yùn)算，得到序列 S1、S2，處理方法見(jiàn)式（5）。

在式（4）、式（5）中，“⊕”表示按位異或運(yùn)算，序列S1作為超混沌加密的密鑰，序列S2與用戶輸入的密鑰（Input_key）進(jìn)行異或運(yùn)算后，得到用于AES加密的密鑰AES_key。

4）數(shù)據(jù)混合加密。先把明文數(shù)據(jù)分組，分組長(zhǎng)度為16 bit，分組后的數(shù)據(jù)依次進(jìn)行超混沌加密、AES加密。其中超混沌加密是混合加密中的第一次加密，通過(guò)把明文數(shù)據(jù)與S1進(jìn)行異或運(yùn)算實(shí)現(xiàn)，AES加密是混合加密中的第二次加密，最終輸出密文。

5）解密過(guò)程。本算法是一種對(duì)稱加密算法，解密是加密的逆過(guò)程。解密時(shí)，當(dāng)8個(gè)密鑰參數(shù)以及 Input_key 與 加 密時(shí)完全一致時(shí)，密文先經(jīng)過(guò)AES解密、再經(jīng)過(guò)超混沌解密（與序列S1進(jìn)行異或運(yùn)算），可解密出明文。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

按照算法思想，在MATLAB平臺(tái)上開(kāi)發(fā)了“基于超混沌與AES的混合加密系統(tǒng)”，如圖5所示。用戶輸入2個(gè)系統(tǒng)的初始值，選擇一種AES模式（AES-128、AES-192 或 AES-256），輸入用戶密鑰，直接輸入待加密的數(shù)據(jù)或通過(guò)文件導(dǎo)入數(shù)據(jù)。點(diǎn)擊“Encrypt”按鈕，對(duì)明文進(jìn)行加密，點(diǎn)擊“Decrypt”按鈕對(duì)密文進(jìn)行解密，點(diǎn)擊“保存密文”按鈕把密文保存為文件輸出。另外系統(tǒng)界面能直觀顯示加密和解密的結(jié)果。

4.1 算法密鑰空間分析

從表1可以看出，與其他幾種算法相比，本算法的密鑰長(zhǎng)度更長(zhǎng)、密鑰空間更大、安全性更好。系統(tǒng)Ⅰ、系統(tǒng)Ⅱ中的 8 個(gè)控制參數(shù) a1、b1、c1、d1、a2、b2、c2、d2用于控制系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)，在本例中令a1=10、b1=4、c1=1、d1=0.5、a2=6、b2=4、c2=8、d2=2，但它們的取值可以是不固定的，若把8個(gè)控制參數(shù)作為可變參數(shù)，本算法的密鑰空間可進(jìn)一步擴(kuò)大。可見(jiàn)，本算法具有足夠大的密鑰空間，能抵抗暴力破解攻擊。

圖5 超混沌與AES混合加密系統(tǒng)

表1 幾種加密算法密鑰空間對(duì)比

4.2 密文統(tǒng)計(jì)特性分析

以本文的中英文題目、作者信息、摘要、關(guān)鍵詞共1734字節(jié)的明文數(shù)據(jù)為例，分別畫(huà)出加密前明文數(shù)據(jù)分布頻數(shù)、加密后密文數(shù)據(jù)分布頻數(shù)直方圖，如圖6所示。

從圖6可以看出，明文數(shù)據(jù)分布頻數(shù)差異較大，其統(tǒng)計(jì)特性具有一定的規(guī)律，而密文數(shù)據(jù)分布比較均勻，其統(tǒng)計(jì)特性隨機(jī)性很大，沒(méi)有規(guī)律可循，可見(jiàn)本算法具有良好的密文統(tǒng)計(jì)特性。

4.3 算法密鑰敏感性分析

算法的密鑰敏感性是衡量算法安全性的重要指標(biāo)之一。首先以上述1734 bit的明文數(shù)據(jù)為例，把8個(gè)密鑰參數(shù)都設(shè)置為 1，AES模式選擇為AES-256，Input_key 設(shè)置為“123456”，執(zhí)行加密操作得到密文；保持Input_key不變，分別把8個(gè)密鑰參數(shù)增加 10-15，例如把x10=1變?yōu)?x10=1.000000000000001，然后執(zhí)行解密操作，把解密得到的明文與原始明文對(duì)比，統(tǒng)計(jì)出解密錯(cuò)誤字節(jié)數(shù)，計(jì)算出解密錯(cuò)誤率（解密錯(cuò)誤率=解密錯(cuò)誤字節(jié)數(shù)/原始明文字節(jié)數(shù)×100%），如圖7所示。

圖6 明文及密文數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)直方圖

圖7 密鑰參數(shù)改變10-15時(shí)解密錯(cuò)誤率

從圖7可以看出，當(dāng)任何一個(gè)密鑰參數(shù)改變超過(guò)10-15時(shí)，生成的解密密鑰都無(wú)法正確解密出原始明文，解密錯(cuò)誤率最高達(dá)99.83%、最低為93.14%，可見(jiàn)本文算法具有良好的密鑰敏感性。

為進(jìn)一步說(shuō)明本算法具有良好的密鑰敏感性，再以256×256的Lena圖為例進(jìn)行測(cè)試。首先把8個(gè)密鑰參數(shù)都設(shè)置為 1，AES模式選擇為 AES-256，Input_key設(shè)置為“123456”，執(zhí)行加密操作得到加密圖像；然后保持密鑰參數(shù)和Input_key不變，執(zhí)行解密操作得到正確解密圖像；最后把密鑰參數(shù)x10=1變?yōu)?1.000000000000001，并保持Input_key不變，執(zhí)行解密操作，得到錯(cuò)誤解密圖像，如圖8所示。

圖8 密鑰參數(shù)改變10-15時(shí)解密錯(cuò)誤

從圖8可以看出，當(dāng)密鑰參數(shù)改變超過(guò)10-15時(shí)，無(wú)法正確解密出明文圖像，說(shuō)明本算法具有良好的密鑰敏感性。

4.4 算法效率分析

把本算法的3種加密模式分別記為CHAOSAES-128、CHAOS-AES-192、CHAOS-AES-256，以100 kB明文數(shù)據(jù)為例，將本算法與典型AES算法的加密效率進(jìn)行對(duì)比。為保證實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的公平性，在同一臺(tái)計(jì)算機(jī)（處理器為雙核 Intel（R）Core（TM）2 Duo CPU T6670@2.20GHz， 內(nèi)存為 4 GB，64 位Windows 7旗艦版SP1操作系統(tǒng)）、相同平臺(tái)上用相同語(yǔ)言（Matlab語(yǔ)言）分別實(shí)現(xiàn)AES算法和本算法，利用2種算法對(duì)同一份樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行加密操作，并記錄所需的加密時(shí)間，對(duì)比結(jié)果如圖9所示。

圖9 算法效率對(duì)比

由于本文算法采用超混沌與AES混合加密，需要經(jīng)過(guò)一次超混沌加密、一次AES加密，故本文算法的加密效率略低于典型AES算法的加密效率。與AES算法一樣，本文算法屬于分組加密算法，分組長(zhǎng)度均為16 bit，加密后密文輸出長(zhǎng)度與明文輸入長(zhǎng)度一致，不會(huì)增大通信開(kāi)銷。

5 結(jié) 論

本文利用超混沌系統(tǒng)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)特性，提出一種用于保障數(shù)據(jù)安全的超混沌-AES混合加密算法，并開(kāi)發(fā)了“基于超混沌與AES的混合加密系統(tǒng)”。系統(tǒng)運(yùn)行結(jié)果表明，該算法的密鑰長(zhǎng)度最大可達(dá)654 bit，且密鑰空間還有進(jìn)一步擴(kuò)大的可能，具有良好的密文統(tǒng)計(jì)特性，具有良好的密鑰敏感性，任何一個(gè)密鑰參數(shù)發(fā)生超過(guò)10-15的變化后都無(wú)法正確解密出原始明文，能充分保障數(shù)據(jù)的機(jī)密性，適合用于安全性能要求高的數(shù)據(jù)加密。