李遠哲 西南石油大學(xué)計算機科學(xué)學(xué)院

1 不含王牌的5 張牌讀心術(shù)

1.1 基本策略

一副牌共有52 張，花色分黑桃、紅桃、草花、方塊四種，面值從A 到K 共13 種。我們需要用四張明牌體現(xiàn)出花色和面值這兩類信息。第1 張明牌界定花色，4 張牌共同界定面值。

1.2 具體做法

首先，由于總共5 張牌，最多包含4 種花色，根據(jù)鴿巢原理，一定有某種花色的牌大于等于2 張，我們就選這個花色的牌作為暗牌。比如，一手牌為（黑桃3，紅桃5，黑桃7，方塊J，梅花A），這其中有兩張黑桃，我們就選其中一張黑桃作為暗牌。至于究竟選哪張，后邊再來確定。這樣至少保證一點，即暗牌的花色與第一張明牌相同。

其次，我們來確定暗牌的面值?？偟乃悸肥且缘谝粡埫髋频拿嬷禐榛A(chǔ)，以第2至4 張牌的大小關(guān)系編碼作為增量來確定暗牌的面值。

第2 至4 張明牌按一般規(guī)則2＜3＜…K＜A，同面值的按四種花色也可定義：方塊＜梅花＜紅桃＜黑桃，這樣全副牌可以排成序列：方塊2＜梅花2＜紅桃2＜黑桃2……＜紅桃＜A 黑桃A。因此剛才例子中的一手牌就有唯一的次序：黑桃3＜紅桃5＜黑桃7＜方塊J＜梅花A。去除已經(jīng)使用過的兩張黑桃后，其余三張牌有：紅桃5 ＜方塊J＜梅花A

假設(shè)我們暗牌選的是黑桃7，第一張明牌是黑桃3，如何用上述3 張牌表示增量4 是當(dāng)前的主要問題。可以用中間三張牌的大小關(guān)系做如下編碼：小中大 增量為1，小大中 增量為2，中小大 增量為3，中大小 增量為4，大小中 增量為5，大中小 增量為6.

按照以上編碼，增量4 對應(yīng)中大小，也就是第二到第四張牌對應(yīng)為：方塊J、梅花A、紅桃5，全部5 張牌如下：黑桃3、方塊J、梅花A、紅桃5、黑桃7（暗牌）。

至此還有最后一個問題，假設(shè)黑桃牌不是黑桃3 和黑桃7，而是黑桃3 和黑桃J，也即二者差值大于6 怎么辦呢？此時我們用黑桃J作明牌，用黑桃3 作暗牌，在J 的基礎(chǔ)上加5 正好是16，也就是在模13 意義上的3。此時全部5 張牌如下：黑桃J、梅花A、紅桃5、方塊J、黑桃3（暗牌）。

2 含王牌的五張牌讀心術(shù)

如果五張牌中沒有王牌，可以用第1 部分的策略來解決。以下我們僅需考慮有一張或兩張王牌的情況。

2.1 兩張王牌

我們僅需僅需把一張王牌放在明牌第1 張，用以指示暗牌也為王牌。明牌是大王，暗牌則是小王，明牌是小王，暗牌則是大王。此時不需要第2—4 張牌攜帶任何信息，因此可以處理成暗牌，助手一見一明4 暗，則第五張一定是另一張王牌。

2.2 一張王牌

當(dāng)5 張牌中包含一張王牌時，按照第1 部分的策略，王牌一定出現(xiàn)在明牌里。

第一種情況，若王牌以外的四張牌中有相同花色的兩張，則選擇一張作為花色指示牌放在第一張明牌處，選擇方法同上一部分。王牌作為偏移量指示部分，放在第2—4 位置中，此時王牌暗放。具體來說一般把王牌看成最大，黑桃A＜小王＜大王，其他約定規(guī)則與不含王牌相同。

第二種情況，若王牌以外的4 張牌花色各不相同，此時又要分兩種情況：2a 和2b。2a 是另外4 張牌面值不完全相同，2b 是另外四張牌面值完全相同，比如4 張7。

2a：選兩張序號之差不超過6 的牌，將序號低的放在首位，序號高的作為暗牌。然后按編碼規(guī)則放好其它3 張牌，此時王牌明放，暗牌花色是用互補提示法，即沒出現(xiàn)的那種花色，面值按前述規(guī)則確定。

2b：此時把王牌明放在首位，2 至4 張明放，第5 張暗放。此時采取互補提示法，花色由沒出現(xiàn)的花色來標(biāo)定，面值與其他3 張明牌相同。此時應(yīng)為第一張為王牌，無法加減，這樣不會造成混淆。

3 廣義的撲克牌讀心術(shù)

3.1 加入更多的變量

這個魔術(shù)或者叫游戲的拓展可以從兩方面展開，一是一副牌上加以改變，不再是一副普通的撲克牌了，是一副我們自己構(gòu)造出來的牌。另外可以從一手撲克牌上進行改變，比如不取五張牌搞讀心術(shù)了，改為4 張、或改為6 張。也可以兩方面結(jié)合，這樣就是一個面貌全新的游戲了。

3.2 四張牌的讀心術(shù)

如果縮減為3 張明牌，一張用來暗示暗牌的花色和基礎(chǔ)序號，那么只有兩張牌可以暗示偏移量信息，而兩張牌的大小關(guān)系只有兩種可能的排列方式，因此每種花色最多只能有5 張牌，這樣可以保證同花色的兩張牌間的最小距離不會超過2。至于花色數(shù)，由于一手牌只有4 張，因此花色只能有3種，才可以保證有兩張牌同花色。至此我們知道，4 張牌的讀心術(shù)的全副牌應(yīng)該為3 種花色，每種花色5 張牌，整副牌共計15 張。

3.3 編碼的能力極限

從純計數(shù)的角度考慮這個問題，如果我們從一副牌共d 張中抽取n 張牌的一手牌，我們可以傳遞多少種不同的信號？進而推得d 的上限應(yīng)該是多少。

我們抽取n 張牌，究竟能傳遞多少種信號呢？首先明牌有(n-1)！種排列方式，暗牌又有n 種選擇方案，因此總共有n！種信號。再將明牌的數(shù)量加入其中，則d=n！+n-1。即d 張牌的的一副牌可以通過抽取n 張的一手牌來進行讀心術(shù)魔術(shù)。下面我們給出兩個較小的例子。

當(dāng)n=2 時，d=3。假設(shè)一副牌只有（1，2，3），我們?nèi)我馊∫皇? 張牌，只可能是（1，2）或（1，3）或（2，3），此時我們可以將模3 意義下較小的一張作為明牌，即分別取1、3、2 作為上述3 手牌的明牌即可。

當(dāng)n=3 時，d=8。此時就不是那么輕而易舉的解答了。假設(shè)一副牌仍然是（1，2，3，4，5，6，7，8），典型的一手牌如（2，3，7）。此時我們考慮明牌可見的有序二元組和包含暗牌在內(nèi)的3-組合之間的關(guān)系。

明牌是2 張牌的2-排列，如果整副牌是1---8，則這個2-排列共有8*7=56 種可能。同時我們考慮含暗牌的三組合c（8，3）恰好也等于56。因此如果我們能建立起一種一一對應(yīng)關(guān)系來我們就可以從明牌的2 元有序?qū)?，直接推得一個3 元組合，這個三元組合必須包含二元有序?qū)褐械膬蓚€元素。

這兩個集合基數(shù)是相等的，都為56。這兩個集合之間的關(guān)系滿足6-正則兩部圖，下面我們仔細分析下兩個集合間的可能的對應(yīng)關(guān)系。對于明牌＜1,2＞對應(yīng)的3組合只能是以下六種，（1，2，3）、（1，2，4）、（1，2，5）、（1，2，6）、（1，2，7）和（1，2，8）。對于整手牌比如（1，2，3），對應(yīng)的明牌只可能是＜1，2＞、＜2，1＞、＜1，3＞、＜3，1＞、＜2，3＞和＜3，2＞。其它有序?qū)腿M也都是如此。這樣看來整幅圖是6 正則的兩部圖。

3.4 正則兩部圖上的解

幸運的是，根據(jù)兩部圖的婚姻定理，這樣的正則兩部圖總存在完美匹配。這樣我們就可以以其中一個完美匹配為編碼和解碼的原則來實現(xiàn)撲克牌讀心術(shù)。

4 結(jié)語

魔術(shù)謎題浩如煙海，編碼理論魅力無窮，我們將二者結(jié)合，主要透過讀心術(shù)魔術(shù)謎題及其解密來探討編碼的能力及其上限。其中不含王牌的謎題解法嚴(yán)密、邏輯清晰；含王牌的魔術(shù)謎題則略顯復(fù)雜，情況也分得比較多。至于廣義的撲克牌讀心術(shù)，我們只是做了初步的探討，這里有編碼能力的問題，相對還是比較好研究的，更為困難的是具體可行解的探索，這將是長期的復(fù)雜的過程。目前還僅對正則兩部圖的求解有確實的理論依據(jù)和行之有效的做法，對于廣義的問題有待于進一步探索。