許錫賓，束仲祎，徐績青,2

(1. 重慶交通大學 河海學院，重慶 400074；2. 重慶交通大學 國家內(nèi)河航道整治工程技術(shù)研究中心 水利水運工程教育部重點實驗室，重慶 400074)

0 引 言

波浪在傳播過程中，因流場、水深和水位的不均勻變化，海洋情況極為復(fù)雜，波浪折射方程始終難以精確求解。近年來，研究波浪折射的方法一般分為3種：① 波射線法，該方法計算簡便，容易被工程所接受，但對復(fù)雜地形條件計算結(jié)果會出現(xiàn)較大誤差；② 緩坡方程，該方法適用于水下坡度較緩情況，但對緩坡方程來說，其波浪、海底高度等環(huán)境因素必須滿足某種條件[1]，其適用范圍有所欠缺；③ 有限差分法，該方法作為一種無網(wǎng)格法被用于流體力學方面[2-3]，但由于這種方法需要邊界條件，無邊界水域情況會降低其求解精度。

筆者通過對波浪折射方程分析，并根據(jù)近年來國內(nèi)外廣泛應(yīng)用的徑向基函數(shù)幾乎可逼近所有函數(shù)這一性質(zhì)[4-6]，將其用于波浪折射方程的求解。通過求解一系列的非線性方程組，可計算出波浪折射的折射角，且求解精度高，能更好地模擬波浪折射問題。

1 徑向基函數(shù)方法及計算思路

徑向基函數(shù)利用一個影響范圍內(nèi)每個點與其他所有點的距離來表達它們之間的關(guān)系，以徑向距離作為變量，是一種具有強大逼近能力的基函數(shù)。該函數(shù)具有形式簡單、各向同性、不依賴空間維數(shù)等特點。其基本形式如式(1)：

(1)

式中：y(r)為所用的插值函數(shù)；n為指所使用的徑向基函數(shù)總數(shù)目，當節(jié)點影響域與求解范圍相一致時，一般與節(jié)點數(shù)目相同，當邊界條件有多個時，還會加入輔助函數(shù)以提高求解精度；αi為與之對應(yīng)的i節(jié)點的權(quán)重系數(shù)；║x-xi║為每個節(jié)點與第i節(jié)點之間距離。

由此可見，徑向基函數(shù)本質(zhì)為一個一元函數(shù)，具有計算簡便，應(yīng)用廣泛的優(yōu)點，能進行多階求導(dǎo)，幾乎可逼近所有函數(shù)，這一巨大優(yōu)點也是人們應(yīng)用的重要原因。

筆者主要使用的徑向基函數(shù)有：Gauss函數(shù)和緊支柱正定徑向基函數(shù)[7]。Gauss函數(shù)基本形式為如式(2)：

φ(r)=e-c2r2

(2)

緊支柱正定徑向基函數(shù)[4]基本形式如式(3)：

(3)

將所求解的空間區(qū)域Ω用N個節(jié)點(xI,yI)(其中：I=1, 2, …,N)離散，函數(shù)α(x,y)在區(qū)域Ω中的近似函數(shù)αh(x,y)可由一組以各節(jié)點(xI,yI)為中心的徑向基函數(shù)φI(x,y)的線性組合表示，如式(4)：

(4)

式中：aJ為待定系數(shù)，a=[a1,a2,…,aN]T；Φ(t)=[Φ1(x,y),Φ2(x,y),…,ΦN(x,y)]T。

將空間區(qū)域Ω中的N個節(jié)點帶入式(4)中，可得到N個方程，聯(lián)立為線性方程組如式(5)：

Aa=α

α=[α1,α2,…,αN]T

(5)

將邊界條件帶入式(6)中，即可得到未知量系數(shù)矩陣a。

文中，根據(jù)文獻[8]提出的精密計算概念和標準，Gauss函數(shù)求逆矩陣A-1誤差大概是緊支柱正定徑向基函數(shù)的8倍。由此也可預(yù)測出以Gauss函數(shù)為基本函數(shù)的計算結(jié)果精度較低，計算結(jié)果明顯存在震蕩現(xiàn)象。

2 波浪折射方程

在實際海況中，由于波向線與海底等深線斜交，波浪傳播方向會發(fā)生變化，即產(chǎn)生波浪折射。在波浪由深海向近海岸傳播過程中，隨著水深變淺，波長、波高和波向等波要素都會發(fā)生變化，但是波周期始終不變。忽略風速、風阻、海底摩阻等影響因素，將波浪場視為一個穩(wěn)定的場[9-11]，其計算如式(6)：

(6)

式中：θ為波浪相位函數(shù)；(x,y)為波浪場中任意一點坐標；k為波浪的波數(shù)。

在以往對波浪折射問題的計算中，一般都是取邊界點的波浪折射角α=0作為邊界條件。但該計算方法忽略了邊界導(dǎo)數(shù)條件，邊界點并不符合式(5)，所求出的解并不準確。筆者對于邊界點，取α=0。則式(6)可以化簡為如式(7)：

(7)

3 算例分析

現(xiàn)有一片水域如圖1。水底等高線為同心圓，圓心處高程與靜水平面相水平。水域最大半徑為3 km，水域內(nèi)最大水深為-30 m，即最外部水域的水底高程為30 m?，F(xiàn)需得出波浪進入此區(qū)域1.2 km范圍內(nèi)折射角變化。

由于水域?qū)ΨQ分布，故取如圖1中水域的一半作為計算區(qū)域。為保證邊界部分計算精度能達到要求，故取x方向為-3 000 m～-1 500 m；y方向為0～-3 000 m；最后計算結(jié)果取1.2 km以內(nèi)?？紤]到編程方便和計算精度，計算區(qū)域內(nèi)取點采用等間距布點，布點間距為25 m。將徑向基函數(shù)帶入波浪折射方程及邊界條件方程中，可得到微分方程組，再帶入邊界條件即可求解。

3.1 算例1

將式(3)作為基本函數(shù)，不考慮輔助函數(shù)，邊界條件取邊界點為0，不考慮導(dǎo)數(shù)邊界條件，計算結(jié)果如圖2。

此計算結(jié)果在邊界點位置折射角為0，在邊界處存在震蕩。由于不考慮導(dǎo)數(shù)邊界條件，邊界處的點不一定滿足波浪折射方程導(dǎo)數(shù)邊界條件，結(jié)果存在誤差。故此算例證明了導(dǎo)數(shù)邊界條件的重要性，后續(xù)算例都會考慮導(dǎo)數(shù)邊界條件。

3.2 算例2

將式(3)作為基本函數(shù)和輔助函數(shù)，邊界條件取邊界點為0和導(dǎo)數(shù)邊界條件，計算結(jié)果如圖3。

此計算結(jié)果滿足邊界點位置折射角為0，同時也滿足波浪折射方程導(dǎo)數(shù)形式，且計算出的曲面形態(tài)較好，無明顯震蕩現(xiàn)象。該計算方法計算出來的結(jié)果是符合波浪折射方程的，為筆者所建議采用。

3.3 算例3

將式(3)作為基本函數(shù)和輔助函數(shù)，邊界條件取邊界點為0和導(dǎo)數(shù)邊界條件，計算結(jié)果如圖4。

由圖4可看出，由于Gauss函數(shù)求逆矩陣A-1誤差較大，計算結(jié)果震蕩現(xiàn)象比較嚴重，存在較大誤差，因此這種Gauss函數(shù)作為基本函數(shù)形式不被采用。

3.4 算例4

將式(3)作為基本函數(shù)，式(3)的導(dǎo)數(shù)作為輔助函數(shù)，邊界條件取邊界點為0和導(dǎo)數(shù)邊界條件，計算結(jié)果如圖5。

此計算結(jié)果在局部位置起伏，存在震蕩現(xiàn)象，雖然不是很明顯，但對計算結(jié)果仍然存在影響。計算結(jié)果與算例2相比，計算精度有所降低，由此證明該算例所取的基本函數(shù)和輔助函數(shù)對計算結(jié)果存在影響，不建議使用。

4 對比分析

由于算例1中沒有考慮導(dǎo)數(shù)邊界條件，將其邊界點計算結(jié)果帶入式(7)中，求得誤差如圖6。

為對比分析其他算例計算結(jié)果，選擇一處相同的計算范圍(x軸坐標為-1 940～-2 060；y軸坐標為-1 600～-1 850)，分別截取各算例計算結(jié)果局部放大圖，如圖7。

由理論分析角度來看：在此計算范圍中，折射角方向應(yīng)向右偏轉(zhuǎn)。由圖7(a)可看出：算例2計算結(jié)果符合理論分析，效果較好；從圖7(b)中可看出：算例3計算結(jié)果存在較明顯震蕩現(xiàn)象，計算結(jié)果誤差較大；從圖7(c)中可看出：算例4計算結(jié)果趨近于0，即在此范圍內(nèi)其折射角為0，顯然不符合理論分析的結(jié)果。故筆者選取算例2計算為最終結(jié)果，將其與Snell折射定律進行對比分析。

取x軸坐標為-2 500～-1 500 m，間隔取100 m，y軸坐標為-1 500 m，共11個點，運用Snell折射定律計算，如式(8)：

(8)

式中：αi為折射角；ci為折射點處的波速；α0為入射角；c0為入射波速；k為折射點處波數(shù)；d為折射點處水深。

圖8為Snell定律和算例計算結(jié)果的對比。由圖8可看出：由于Snell折射定律是特殊情況下的波浪折射，它要求水域內(nèi)各點水深相同，等深線平行，這種情況與算例實際情況不符合，故其計算結(jié)果呈線性。

5 結(jié) 論

筆者通過徑向基函數(shù)和等間距布點方法計算波浪折射時存在的問題。在運用Gauss函數(shù)時參考了緊支柱思想，將其中的參數(shù)c取值與全局支撐域相關(guān)聯(lián)，為今后Gauss函數(shù)運用提供了一種參數(shù)的取值方法。但Gauss函數(shù)的求逆矩陣A-1誤差較大，效果上存在震蕩現(xiàn)象，在使用上仍存在一定問題。故筆者的基本函數(shù)取緊支柱正定徑向基函數(shù)和輔助函數(shù)取式(3)。

筆者提供了一種計算波浪折射問題方法。在邊界點上符合導(dǎo)數(shù)邊界條件，在理論方面符合波浪折射原理，計算結(jié)果更精確，方法更合理。由于Snell折射定律的適用條件特殊，不適用于復(fù)雜水深下的海洋環(huán)境；而筆者提出的方法則適用于水深變化的波浪情況，為求解波浪折射數(shù)值解提供了一種新思路。