張如權(quán)，陶詠真

數(shù)學(xué)思維在無機(jī)非金屬材料典型晶體結(jié)構(gòu)教學(xué)中的應(yīng)用＊

張如權(quán)1，陶詠真2

（1.武漢紡織大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430200；2.武漢紡織大學(xué) 材料科學(xué)與工程學(xué)院，湖北 武漢 430200）

從金屬晶體面心立方結(jié)構(gòu)及間隙相關(guān)知識點(diǎn)入手，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識推導(dǎo)NaCl型離子晶體和金剛石共價晶體結(jié)構(gòu)且演算其致密度。教學(xué)過程中把數(shù)學(xué)思維與專業(yè)知識有機(jī)滲透融合，啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用熟悉的基礎(chǔ)知識理解抽象的專業(yè)知識，并積極參與課堂互動。立足課本理論知識，注重交叉學(xué)科知識的融合及綜合運(yùn)用。通過師生互動、生生互動，活躍課堂，培養(yǎng)學(xué)生探究式學(xué)習(xí)思維及解決復(fù)雜問題的綜合能力。

數(shù)學(xué)思維；離子晶體；共價晶體；致密度

“材料科學(xué)與工程基礎(chǔ)”是一門材料類專業(yè)學(xué)生必修的基礎(chǔ)理論課程，其中晶體結(jié)構(gòu)所涉及的教學(xué)內(nèi)容比較抽象微觀，對教師和學(xué)生而言，教授和學(xué)習(xí)這部分知識有一定的難度。在課堂教學(xué)過程中，學(xué)生參與課堂互動程度低，學(xué)生對知識點(diǎn)的理解大多限于知其然不知其所以然，教學(xué)效果不理想。因此，在晶體結(jié)構(gòu)教學(xué)過程中，讓學(xué)生借助已有的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識理解抽象的專業(yè)知識，加強(qiáng)師生互動、生生互動，使課堂活躍。本文首先引導(dǎo)學(xué)生回顧金屬晶體面心立方結(jié)構(gòu)及間隙相關(guān)知識點(diǎn)，然后啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識推導(dǎo)NaCl型離子晶體和金剛石共價晶體的晶胞結(jié)構(gòu)，并結(jié)合文獻(xiàn)數(shù)據(jù)及離子晶體和共價晶體的化學(xué)鍵特點(diǎn)演算其致密度，從而培養(yǎng)學(xué)生探究式學(xué)習(xí)思維及叉學(xué)科知識的融合及綜合運(yùn)用能力，提高課堂教學(xué)效果。

1 金屬晶體面心立方結(jié)構(gòu)及間隙

金屬鍵無方向性且無飽和性，如果把金屬原子視為剛性小球，則金屬晶體可看作硬球緊密堆積形成的穩(wěn)定結(jié)構(gòu)?；诿嫘牧⒎浇Y(jié)構(gòu)的幾何圖形，引導(dǎo)學(xué)生理解八面體和四面體間隙中心位置及間隙大小，為講解無機(jī)非金屬材料典型晶胞結(jié)構(gòu)作鋪墊。面心立方晶胞結(jié)構(gòu)及間隙如圖1所示。

面心立方結(jié)構(gòu)的特征為立方體的6個面心和8個頂點(diǎn)占據(jù)原子，面心原子與同面的4個頂點(diǎn)原子相切。金屬原子呈球形，密堆積形成的面心結(jié)構(gòu)中存在八面體間隙和四面體間隙。結(jié)合面心立方晶胞的幾何圖形，講解面心立方結(jié)構(gòu)中6個面的面心原子形成一個八面體間隙。另外，一條棱上的兩個原子與共該棱的四個晶胞中的四個面心原子也可形成一個八面體間隙。隨后，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識證明八面體間隙的中心分別位于體心和棱的中點(diǎn)，并分別用白色圓圈標(biāo)記于圖1（b）中。

圖1 面心立方晶胞結(jié)構(gòu)及間隙

基于晶胞結(jié)構(gòu)的圖形和晶體結(jié)構(gòu)專業(yè)知識，從幾何角度解說八面體間隙大小等于間隙中心與頂點(diǎn)原子的距離減去原子半徑，并引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)八面體間隙大小，具體過程如下：

面心立方八面體間隙大小=/2－

∴面心立方八面體間隙大小為0.414

即面心立方的一個八面體間隙可容納半徑不大于 0.414的粒子（原子、離子或分子）。

除了八面體間隙外，面心立方結(jié)構(gòu)中，1個頂點(diǎn)原子與共該頂點(diǎn)的3個面的面心原子形成一個四面體間隙。面心立方結(jié)構(gòu)有8個頂點(diǎn)，每個頂點(diǎn)可對應(yīng)形成1個四面體間隙。四面體間隙存在于單個面心立方晶胞內(nèi)部，因此，單個面心立方晶胞可形成8個四面體間隙。該四面體間隙的中心分別位于過該頂點(diǎn)的體對角線的1/4處，間隙中心分別用白色圓圈標(biāo)記于圖1（c）中。從數(shù)學(xué)角度分析，四面體間隙大小等于過四面體4個頂點(diǎn)的外接圓半徑減去金屬原子的半徑。引導(dǎo)學(xué)生利用立體幾何及平面幾何知識推導(dǎo)四面體間隙大小，計(jì)算如下：

∴面心立方八面體間隙大小為0.225

即面心立方的一個四面體間隙可容納半徑不大于0.225的粒子（原子、離子或分子）。

2 離子晶體面心立方晶胞結(jié)構(gòu)及致密度

離子晶體的晶胞結(jié)構(gòu)可視為陰離子形成的立方晶胞，陽離子填充八面體間隙或四面體間隙[1]。以NaCl晶體為例，其晶胞結(jié)構(gòu)可看作氯離子緊密堆積形成面心立方結(jié)構(gòu)，鈉離子填充面心立方結(jié)構(gòu)的全部八面體間隙。則其結(jié)構(gòu)特征為立方體的6個面心和8個頂點(diǎn)被氯離子占據(jù)，12條棱的中心及體心被鈉離子占據(jù)。通過提問：“氯離子形成的面心立方結(jié)構(gòu)的八面體間隙是否能容納一個鈉離子？”，啟發(fā)學(xué)生思考并活躍課堂。隨后指導(dǎo)學(xué)生查閱課本上有關(guān)離子半徑及NaCl離子配位數(shù)等參數(shù)：=0.102 nm，=0.181 nm， 6配位離子晶體的陽離子與陰離子半徑比為0.732>陽離子/陰離子> 0.414[2]。

進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考：“鈉離子如何穩(wěn)定存在于被撐開的氯離子形成的八面體間隙中？”，讓學(xué)生分組討論，加強(qiáng)生生互動。隨后解說0.732>（= 0.563）>0.414，NaCl保持6配位結(jié)構(gòu)，即鈉離子仍舊存在于被撐開的氯離子形成的八面體間隙中。盡管八面體頂點(diǎn)的氯離子不再相切，但鈉離子與八面體頂點(diǎn)氯離子相切，通過離子鍵形成穩(wěn)定結(jié)構(gòu)。其晶胞結(jié)構(gòu)如圖2（a）所示，6個面中心的氯離子被鈉離子撐開而不再與同面的頂點(diǎn)氯離子相切，但氯離子與相鄰的鈉離子相切，所以，NaCl晶胞的晶格常數(shù)=2（+）。下面以NaCl型離子晶體為例，引導(dǎo)學(xué)生演算離子晶體致密度，進(jìn)一步讓學(xué)生理解離子晶體的堆積程度：

∵一個NaCl型晶胞中含4個化學(xué)式單位

為了簡化計(jì)算公式，令陽離子與陰離子半徑比為，即：

FeO晶胞屬于NaCl型，F(xiàn)e2+=0.077 nm，O2-=0.140 nm[2]，所以=0.550，則：

通過查閱課本表格中的參數(shù)，結(jié)合數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識推導(dǎo)出NaCl型離子晶體的晶胞結(jié)構(gòu)及致密度計(jì)算通式，并求出NaCl和FeO晶胞致密度。教學(xué)過程中，學(xué)生積極參與課堂進(jìn)行探究式學(xué)習(xí)并獲得成就感。

3 共價晶體面心立方晶胞結(jié)構(gòu)及致密度

金剛石和單晶硅都屬于典型的共價晶體，二者具有相同的立方晶胞結(jié)構(gòu)?；诮饘倬w面心立方結(jié)構(gòu)及間隙的幾何結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生理解共價晶體立方晶胞結(jié)構(gòu)。以金剛石為例，其晶胞結(jié)構(gòu)可看作一部分碳原子形成面心立方晶胞，另一部分碳原子填充面心立方晶胞中不相鄰的四面體間隙。則其結(jié)構(gòu)特征為立方體的6個面心、8個頂點(diǎn)以及4個不相鄰的四面體間隙中心占據(jù)碳原子。其晶胞結(jié)構(gòu)如圖2（b）所示，金剛石為共價晶體，1個頂點(diǎn)碳原子、與共該頂點(diǎn)的3個面的面心碳原子，同時與它們形成的四面體間隙中心碳原子形成C-C共價鍵。

圖2 氯化鈉和金剛石的單位晶胞結(jié)構(gòu)

給學(xué)生展示文獻(xiàn)資料，引導(dǎo)學(xué)生獲得有關(guān)金剛石的結(jié)構(gòu)信息：鍵長C-C= 0.154 45 nm，共價半徑C=0.077 23 nm，即C-C=2RC，鍵角為109°28′（約為109.5°）[3]。緊密堆積的金屬晶體面心立方四面體間隙大小為 0.225，則四面體間隙中心的碳原子，將四面體頂點(diǎn)碳原子撐開，導(dǎo)致面心原子與同面的頂點(diǎn)原子不再相切。基于圖2（b）所示的晶胞結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生利用幾何及三角函數(shù)等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識計(jì)算金剛石晶格常數(shù)與鍵長C-C及碳原子半徑C的關(guān)系，具體推導(dǎo)如下：

2=2+2=22

為了讓學(xué)生理解共價晶體的堆積程度，下面以金剛石共價晶體為例，引導(dǎo)學(xué)生演算共價晶體面心立方結(jié)構(gòu)晶胞致密度，具體如下：

∵一個金剛石晶胞中含8個碳原子

由推導(dǎo)過程可知，金剛石的致密度與碳原子半徑和鍵長無關(guān)，只與晶體結(jié)構(gòu)有關(guān)，單晶硅與金剛石具有相同的晶體結(jié)構(gòu)，因此，單晶硅的致密度也為33.97%。金剛石和單晶硅具有較低的致密度。結(jié)合文獻(xiàn)數(shù)據(jù)及學(xué)生熟知的數(shù)學(xué)知識，引導(dǎo)學(xué)生理解共價晶體的結(jié)構(gòu)及演算致密度，學(xué)生積極參與且深入鉆研，從而提高課堂教學(xué)效果。

4 結(jié)論

基于金屬晶體面心立方結(jié)構(gòu)及間隙相關(guān)知識點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識及晶體結(jié)構(gòu)專業(yè)知識理解離子晶體和共價晶體面心立方結(jié)構(gòu)的特征。課堂教學(xué)過程中，將數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與專業(yè)知識交叉滲透，并引導(dǎo)學(xué)生查閱文獻(xiàn)，演算無機(jī)非金屬典型晶胞的致密度。強(qiáng)化師生互動、生生互動，學(xué)生積極參與課堂且深入鉆研，從而培養(yǎng)學(xué)生探究式學(xué)習(xí)能力并提高學(xué)習(xí)興趣和教學(xué)效果。

［1］阮德水，黎原斌，賀洛夫.無機(jī)晶體結(jié)構(gòu)及其模型的教學(xué)［J］.益陽師專學(xué)報，1989（6）：82-88.

［2］顧宜，趙長生.材料科學(xué)與工程基礎(chǔ)［M］.2版.北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2011.

［3］賀福.碳的結(jié)構(gòu)［J］.碳素，1984（3）：12-20.

G642

A

10.15913/j.cnki.kjycx.2020.22.018

2095－6835（2020）22－0045－03

2019湖北省教育廳材料科學(xué)與工程基礎(chǔ)課程教學(xué)團(tuán)隊(duì)項(xiàng)目（110）

張如權(quán)（1976—），男，湖北武漢人，碩士，研究方向?yàn)榛A(chǔ)數(shù)學(xué)。陶詠真（1973—），女，湖北武漢人，博士，教授，研究方向?yàn)楦叻肿硬牧霞案叻肿游锢怼?/p>

〔編輯：張思楠〕