寇 靜

(太原工業(yè)學(xué)院 理學(xué)系，太原 030008)

非線性中立型時滯微分方程在2自由度控制系統(tǒng)和時滯系統(tǒng)設(shè)計中具有廣泛的應(yīng)用前景，對非線性中立型時滯微分方程的振動性進(jìn)行分析，能夠提高非線性中立型時滯微分方程的輸出穩(wěn)定性[1]，因此相關(guān)的非線性中立型時滯微分方程振動性分析方法研究受到人們的極大關(guān)注[2]。本文對穩(wěn)態(tài)收斂條件下的非線性中立型時滯微分方程收斂性進(jìn)行分析，通過雙邊穩(wěn)定性分析方法實現(xiàn)非線性中立型時滯微分方程的振動性分析，最后通過驗證得出有效性結(jié)論。

1 構(gòu)造非線性中立型時滯微分方程

估計非線性中立型時滯微分方程的M-P廣義逆矩，設(shè)x1(t),x2(t)為非線性中立型時滯微分方程雙邊界函數(shù)條件，研究非線性中立型時滯微分方程在雙邊界條件下的振動性[3]，在t→∞的情況下，根據(jù)非線性中立型時滯微分方程在雙邊界條件下的凸優(yōu)化條件，得到非線性中立型時滯微分方程的松弛解代數(shù)方程組：

(1)

(2)

在線性子空間中進(jìn)行方程特征分解和周期解分析。

定理1振動性泛函定理[4]。在非線性中立型時滯微分方程中，令r個整數(shù)m1,m2,…,mr兩兩互素，a1,a2,…，ar是任意r個非線性中立型時滯微分方程的特征分布集，則同余方程為x≡aimodmi(1≤i≤r)，得到非線性中立型時滯微分方程的特征分布矩陣：

(3)

利用平衡點平移特性，對振動特征解進(jìn)行邊界約束分析，得到了以下的邊界函數(shù)：

p=-(fx1+gx2)|P0(x01,x02)

(4)

q=detA

(5)

M=m1,m2,…，mr，得到非線性中立型時滯微分方程的唯一解，其表達(dá)式為：

(6)

其中，Mi=M/mi，yiMi≡1modmi，1≤i≤r，所以在非線性中立型時滯微分方程解集中，采用高階時頻特征變換進(jìn)行非線性中立型時滯微分方程解的模糊度尋優(yōu)，得到核函數(shù)為：

K(xi,xj)=〈xi,xj〉

(7)

K(xi,xj)=(〈xi,xj〉+1)d

(8)

K(xi,xj)=exp(‖xi-xj‖2/2σ2)

(9)

上式中，核系數(shù)σ=0.707。

采用連續(xù)穩(wěn)定性分析方法，進(jìn)行非線性中立型時滯微分方程的模糊度分析：

(10)

上式經(jīng)常用于有理數(shù)或者無理數(shù)的逼近，采用有理積分控制方法，進(jìn)行非線性中立型時滯微分方程的輸出振動性特征解分析。

2 微分方程的振動性分析和證明

在實數(shù)域中求得穩(wěn)態(tài)收斂條件下非線性中立型時滯微分方程的連續(xù)格林函數(shù)的正多解，采用高斯混合邊緣融合方法進(jìn)行振動性特征解的非齊次邊界性分析[5]，構(gòu)建非線性中立型時滯微分方程的擾動特征泛函凸組合模型，分析其收斂性和振動性。

(11)

定義2非線性中立型時滯微分方程的決策函數(shù)F′(X)滿足W(F(X))≤LW(X)，L是常數(shù)，則稱F′(X)是Lipschitz區(qū)間函數(shù)，得到非線性中立型時滯微分方程的振動性特征解的可逆矩陣：

(12)

(13)

公式(12)與公式(13)表示非線性中立型時滯微分方程的振動性特征解的極大熵函數(shù)，此時在矩陣H中存在非線性中立型時滯微分方程的正交奇異特征解，表示為：

(14)

狀態(tài)變量x(t)中的標(biāo)量ξ和非零向量v滿足系統(tǒng)穩(wěn)定性[6]，得到方程特征解的正定矩陣的階數(shù)為m，m-1列和第m+1列形成子方陣，表示為：

(15)

在實數(shù)域中求得的穩(wěn)態(tài)收斂條件下非線性中立型時滯微分方程的連續(xù)格林函數(shù)D的正多解，采用高斯混合邊緣融合方法進(jìn)行振動穩(wěn)定性特征解的非齊次邊界性分析[7]，半正定矩陣A-1(A|B)=(E|A-1B)中存在奇異的m階子方陣，得到非線性中立型時滯微分方程的聯(lián)合特征函數(shù)為：

(16)

(17)

假設(shè){qN}單調(diào)遞增，qN≥1，得到非線性中立型時滯微分方程的擾動特征泛函為：

(18)

(19)

構(gòu)建非線性中立型時滯微分方程的特征向量多項式，得到：

≤k‖W(x(k))‖∞

(20)

根據(jù)非線性中立型時滯微分方程的特征向量分析結(jié)果，對方程的收斂性進(jìn)行證明。

當(dāng)N→∞時，|x(k)|→0，得到非線性中立型時滯微分方程的特征解滿足漸進(jìn)穩(wěn)定性，此時‖W(x(k))‖∞→0，由積矩陣Schur分解的擾動定理，得到：

(21)

(22)

得到非線性中立型時滯微分方程的振動性特征解為：

(23)

可知，根據(jù)Schur收斂性條件，得到非線性中立型時滯微分方程的振動解是漸進(jìn)穩(wěn)定的[9-10]。

3 實證分析

在實證分析中，取非線性中立型時滯微分方程的針振動系數(shù)ε=10-6，取x=(X1,X2) 為區(qū)間向量，目標(biāo)函數(shù)為：

f2(x)=X1+X2+1,

f3(x)=sinX1-cosX2.

(24)

x(0)=[[-1,2][-1,2]]

(25)

p取0.3時，求解出非線性中立型時滯微分方程的穩(wěn)定特征量x=(X1,X2)：

X1=[-0.4301597103476526,

-0.4301595991717815]

(26)

X2=[-0.5698403045535088,

-0.5698402933776378]

(27)

計算

KX(l)={k∈{1,2,…,n}|W(xk(l))≠0)}

(28)

非線性中立型時滯微分方程的凸組合模型為：

f(x)=[1.071539141671495,

1.071539141671497]

(29)

最后得到非線性中立型時滯微分方程的尋優(yōu)曲線如圖1所示。

分析得知，本文方法進(jìn)行非線性中立型時滯微分方程振動性分析的尋優(yōu)能力較好。

4 結(jié)語

對非線性中立型時滯微分方程的振動性進(jìn)行分析，能夠提高非線性系統(tǒng)的控制穩(wěn)定性。本文利用采用高斯混合邊緣融合方法進(jìn)行振動性特征解的非齊次邊界性分析，構(gòu)建非線性中立型時滯微分方程的擾動特征泛函凸組合模型，分析其收斂性和穩(wěn)定性，分析得出非線性中立型時滯微分方程的振動解是漸進(jìn)穩(wěn)定，且方程的振動性特征解具有邊界性。