萬求真，陳思邈，黎 婷，周昭騰，譚宇星

(湖南師范大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，中國 長沙 410081)

自1963年Lorenz發(fā)現(xiàn)第一個混沌吸引子以來[1]，混沌作為一種獨特的非線性現(xiàn)象，其理論研究和實際應(yīng)用得到了后人的極大關(guān)注，Lorenz系統(tǒng)成為學(xué)者們研究混沌理論的出發(fā)點和基石。早期被提出的混沌系統(tǒng)有Chen系統(tǒng)[2]、Lü系統(tǒng)[3]、Liu系統(tǒng)[4]和Qi[5]系統(tǒng)等。近年來各種新混沌系統(tǒng)，如分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)[6]、多翼/多渦卷混沌系統(tǒng)[7,8]、超混沌系統(tǒng)[9,10]以及憶阻混沌系統(tǒng)[11,12]等亦不斷被提出，促進了人們對混沌現(xiàn)象的研究和應(yīng)用。然而，大多數(shù)混沌系統(tǒng)的混沌特性對于系統(tǒng)控制參數(shù)非常敏感，控制參數(shù)的小幅度變化或誤差使得混沌系統(tǒng)的動力學(xué)特性發(fā)生變化，相應(yīng)的系統(tǒng)軌跡將在不動點、周期態(tài)、擬周期態(tài)、混沌態(tài)以及超混沌態(tài)等不同的區(qū)域之間演變，這給混沌系統(tǒng)的實際應(yīng)用帶來困難。在一定數(shù)值范圍變化時，為了使系統(tǒng)控制參數(shù)不會影響到系統(tǒng)本身的混沌特性，即系統(tǒng)具有好的魯棒混沌特性，文獻[13-15]提出了一類恒Lyapunov指數(shù)譜混沌系統(tǒng)，該系統(tǒng)的正Lyapunov指數(shù)值很小，這表明系統(tǒng)運動的隨機特性較弱，不利于其在保密通信、混沌雷達和圖像加密等領(lǐng)域[16]的廣泛應(yīng)用。

在傳統(tǒng)Qi混沌系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，本文采用改變非線性項和增加控制參數(shù)兩者相結(jié)合的方法構(gòu)造出一種新魯棒混沌系統(tǒng)，它具有恒Lyapunov指數(shù)譜和較大的正Lyapunov指數(shù)。該系統(tǒng)包含一個平方項和兩個交叉乘積項，通過分析該系統(tǒng)各種類型的數(shù)值仿真圖、Lyapunov指數(shù)和維數(shù)，研究了系統(tǒng)的動力學(xué)行為；并重點分析了系統(tǒng)的平衡點和系統(tǒng)在不同控制參數(shù)改變時的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖。研究發(fā)現(xiàn)，通過調(diào)整部分控制參數(shù)的值，該系統(tǒng)能產(chǎn)生單參數(shù)恒Lyapunov指數(shù)譜特性的新雙翼混沌吸引子；具體表現(xiàn)為，當(dāng)b和c都大于0時，新混沌系統(tǒng)具有關(guān)于參數(shù)e的恒Lyapunov指數(shù)譜特性，新混沌吸引子具有較大的正Lyapunov指數(shù)且它會隨參數(shù)a，b和c的增大而增大，系統(tǒng)的正Lyapunov指數(shù)可達18.054。另外，通過構(gòu)造一種參數(shù)可調(diào)的偶對稱多分段平方函數(shù)來替代平方項，該系統(tǒng)的新雙翼混沌吸引子可實現(xiàn)多翅膀的擴展。最后設(shè)計了模擬硬件電路，實驗觀察新雙翼混沌吸引子與數(shù)值仿真結(jié)果的一致性。

1 新混沌系統(tǒng)的基本分析

1.1 新混沌系統(tǒng)模型

提出的新魯棒混沌系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型如下式所示。

(1)

上式中a，b，c，d，e均為實常數(shù)；x，y，z均為系統(tǒng)的狀態(tài)變量。當(dāng)a=10，b=1，c=1，d=5和e=5時，該混沌系統(tǒng)產(chǎn)生一種新雙翼混沌吸引子，其相圖如圖1所示。可以看出，混沌吸引子的運動軌線始終局限在一個有確定邊界的區(qū)域，具有復(fù)雜的折疊和拉伸軌線，此時混沌吸引子處于混沌狀態(tài)。采用奇異值分解的方法可以計算出其正Lyapunov指數(shù)為7.219，通過與其它具有恒Lyapunov指數(shù)譜的傳統(tǒng)混沌系統(tǒng)[13-15]相比，該系統(tǒng)具有明顯增大的正Lyapunov指數(shù)。本文將對該混沌吸引子的混沌特性和動力學(xué)行為展開研究。

圖1 新系統(tǒng)的混沌吸引子相圖, (a) x-z平面, (b) y-z平面, (c) x-y平面Fig. 1 Phase portraits of new chaotic system,(a) the x-z plane, (b) the y-z plane, (c) the x-y plane

1.2 平衡點及其穩(wěn)定性

當(dāng)b和c均大于0時，令新混沌系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型(1)右邊等于零，可得

(2)

聯(lián)立方程組(2)中的第一和第二式，并消去變量x，y，可得

bdz2+(25ad-16bc)z+(-400ac-400)=0。

(3)

(4)

f(λ)=λ3+C2λ2+C1λ+C0。

(5)

其中：C2=15，C1=(12bdz02)/25+12adz0+54，C0=24bdz02+300adz0-192bcz0。因為特征值方程為：|λI-J|=0，對平衡點M0，采用數(shù)值仿真的方法求得3個特征根分別為：λ1=-70.985，λ2=-61.985，λ3=-6，λ3=-6，因此平衡點M0是一個不穩(wěn)定的鞍點。采用相同的方法，平衡點μ1和μ2所對應(yīng)的特征根分別為λ1=-22.632 2，λ2,3=3.816 1±48.489i，因此平衡點M1和M2為指標(biāo)2的不穩(wěn)定鞍焦點，它可以形成系統(tǒng)的雙翼混沌吸引子。

1.3 Lyapunov指數(shù)和維數(shù)

Lyapunov指數(shù)是衡量系統(tǒng)動力學(xué)特性和判斷系統(tǒng)是否存在混沌運動的重要依據(jù)，它表征了系統(tǒng)在相空間中相鄰軌道間發(fā)散或收斂的平均指數(shù)率，同時正Lyapunov指數(shù)表示相鄰點信息量的丟失，其值越大則說明系統(tǒng)的混沌程度越高。對于本文提出的新混沌系統(tǒng)，采用奇異值分解的方法可以計算出系統(tǒng)的3個Lyapunov指數(shù)分別為7.219，0.038和-22.249。另外當(dāng)參數(shù)d和e的值不變，令a=50，b=50和c=20時，系統(tǒng)的3個Lyapunov指數(shù)分別為18.054，-0.626和-20.082。另一方面，混沌系統(tǒng)所特有的分形結(jié)構(gòu)，使其具有分?jǐn)?shù)維數(shù)的特征，它也是判斷混沌運動的重要方法之一，計算三維自治混沌系統(tǒng)Lyapunov維數(shù)的公式為

(6)

通過計算，新混沌系統(tǒng)的Lyapunov維數(shù)為2.326。與現(xiàn)有的具有恒Lyapunov指數(shù)譜的傳統(tǒng)三維混沌系統(tǒng)[13-15]相比，該新混沌系統(tǒng)具有明顯增大的正Lyapunov指數(shù)和維數(shù)。

1.4 時域波形圖和Poincare截面圖

下面對新混沌系統(tǒng)的時域波形圖和Poincare截面圖進行分析。在新混沌系統(tǒng)中，其余值不變，初始值x0即使前后僅僅相差0.000 000 1，系統(tǒng)的波形也會在大約3s后出現(xiàn)與之前的結(jié)果完全不同的情況。在新系統(tǒng)中，輸出信號x的時域波形圖如圖2(a)所示，實線代表所提系統(tǒng)的初始狀態(tài)，虛線代表所提系統(tǒng)的初始值發(fā)生微小改變后的狀態(tài)。另外，新混沌系統(tǒng)的動力學(xué)特性可以通過Poincare截面來觀察，分別選取截面y=0和z=2.6，如圖2(b)和2(c)所示，可以看出截面上吸引子的葉片清晰可見，這進一步表明所提系統(tǒng)為混沌系統(tǒng)。

圖2 (a) 系統(tǒng)中x的時域波形圖, (b) 系統(tǒng)中y=0的Poincare截面圖, (c) 系統(tǒng)中z=2.6的Poincare截面圖Fig. 2 (a)Time domain waveform at x of system; (b) Poincare mapping at y=0; (c) Poincare mapping at z=2.6

1.5 控制參數(shù)對新混沌系統(tǒng)性能的影響

在各個控制參數(shù)變化時，下面利用Lyapunov指數(shù)譜(LE譜)、分岔圖和/或信號幅度變化曲線來直觀地觀察新混沌系統(tǒng)對應(yīng)的狀態(tài)變化情況。

對于新混沌系統(tǒng)，固定參數(shù)a=10，b=1，c=1，d=5，當(dāng)e∈[0.1,50]時，系統(tǒng)的LE譜圖、分岔圖 (Poincare截面取為y=0時) 和信號幅度變化曲線如圖3所示。圖中Smax和Smin分別表示信號幅度變化過程中的最大值和最小值。當(dāng)參數(shù)e變化時，所提系統(tǒng)的LE譜一直保持不變，并且分別維持在LE1=7.219，LE2=0.038，LE3=-22.249附近；系統(tǒng)的輸出信號x，y的幅度隨著e的增大而非線性減小，而z的幅度隨著e的增大始終保持不變。

圖3 參數(shù)e變化時系統(tǒng)的LE譜和信號幅度變化情況, a) LE譜圖, b) z-e分岔圖, c) 信號幅度變化曲線Fig. 3 Variation of system versus parameter e. (a) LE spectrum, (b) z-e bifurcation diagram, (c) signal amplitude curve

對于新混沌系統(tǒng)，固定參數(shù)b=1，c=1，d=5，e=5，當(dāng)a∈[10,50]時，系統(tǒng)的LE譜圖和分岔圖(Poincare截面取為z=2.6時) 如圖4所示，從圖中可看出，a∈[25.2,26.1]時，最大LE為零，系統(tǒng)表現(xiàn)為周期運動；在a的其它變化區(qū)間，系統(tǒng)的最大LE指數(shù)都大于0，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，并且系統(tǒng)的正LE隨著參數(shù)a的增大而近似線性增大。固定參數(shù)a=10，c=1，d=5，e=5，當(dāng)b∈[0.1,50]時，系統(tǒng)的LE譜圖和分岔圖 (Poincare截面取為z=2.6時) 如圖5所示，在參數(shù)b的寬范圍變化區(qū)間內(nèi)，系統(tǒng)的最大LE一直都大于0，同時系統(tǒng)正LE也隨著參數(shù)b的增大而近似線性增大，系統(tǒng)一直處于混沌狀態(tài)并且混沌特性不斷增強。

圖4 參數(shù)a變化時系統(tǒng)的LE譜和分岔圖, (a) LE譜圖, (b) x-a分岔圖Fig. 4 Variation of system versus parameter a. (a) LE spectrum, (b) x-a bifurcation diagram

圖5 參數(shù)b變化時系統(tǒng)的LE譜和分岔圖, (a) LE譜圖, (b) x-b分岔圖Fig. 5 Variation of system versus parameter b. (a) LE spectrum, (b) x-b bifurcation diagram

固定參數(shù)a=10，b=1，d=5，e=5，當(dāng)c∈[0.1,20]時，系統(tǒng)的LE譜圖和分岔圖 (Poincare截面取為y=0時) 如圖6所示。當(dāng)c∈[2.4,2.6]時，系統(tǒng)的LE中出現(xiàn)有一個LE等于0和兩個LE小于0，系統(tǒng)處于周期運動狀態(tài)，而在其余區(qū)間內(nèi)系統(tǒng)一直保持混沌狀態(tài) (為了圖示清晰，分岔圖僅取了c∈[0.1,3] 區(qū)間)。固定參數(shù)a=10，b=1，c=1，e=5，當(dāng)d∈[0.1,50]時，系統(tǒng)的LE譜圖和分岔圖 (Poincare截面取為y=0時) 如圖7所示。從圖中可知，在參數(shù)d初始變化階段，系統(tǒng)的最大LE出現(xiàn)了一小段下降的區(qū)間，但隨著參數(shù)d的繼續(xù)增大，系統(tǒng)的LE譜基本維持不變，系統(tǒng)在整個參數(shù)區(qū)間內(nèi)一直處于混沌狀態(tài)。由上面分析可知，系統(tǒng)在關(guān)于控制參數(shù)a和c的大部分變化區(qū)間，以及b和d的整個變化區(qū)間內(nèi)一直處于混沌狀態(tài)，即系統(tǒng)具有很好的混沌魯棒特性。由于魯棒的穩(wěn)定混沌系統(tǒng)受控制參數(shù)的擾動較弱，因此該類混沌信號具有很高的科學(xué)研究價值，可以用于圖像加密、混沌雷達和保密通信等應(yīng)用領(lǐng)域。

圖6 參數(shù)c變化時系統(tǒng)的LE譜和分岔圖,(a) LE譜圖,(b) x-c分岔圖Fig. 6 Variation of system versus parameter c. (a) LE spectrum, (b) x-c bifurcation diagram

圖7 參數(shù)d變化時系統(tǒng)的LE譜和分岔圖, (a) LE譜圖, (b) x-d分岔圖Fig. 7 Variation of system versus parameter d. (a) LE spectrum, (b) x-d bifurcation diagram

1.6 恒定LE譜及非線性調(diào)幅特性分析

從前面的分析可知，通過調(diào)整部分控制參數(shù)的值，新混沌系統(tǒng)能得到新雙翼混沌吸引子，并且具有關(guān)于參數(shù)e的單參數(shù)恒LE譜特性。當(dāng)參數(shù)e變化時，將系統(tǒng)的平衡點M0，M1和M2代入特征多項式(5)中，參數(shù)e會消除。具體為：將M0代入，得到C2=15，C1=54，C0=0；將M1或M2代入，得C2=15，C1=(12bdz12)/25+12adz1+54，C0=24bdz12+300adz1-192bcz1，其對應(yīng)的特征值與e均無關(guān)。因此，參數(shù)e不影響該系統(tǒng)在各點處的動力學(xué)特性，當(dāng)e變化時，系統(tǒng)始終具有恒LE譜。在所提混沌系統(tǒng)中，除參數(shù)e外，系統(tǒng)的其它控制參數(shù)都會改變系統(tǒng)的LE譜，特別是參數(shù)a，b和c發(fā)生變化時，系統(tǒng)的LE隨著其增大而不斷增大。

(7)

因此，系統(tǒng)輸出信號x和y的幅度與參數(shù)e分別呈指數(shù)為-1/2和-1/2的冪函數(shù)關(guān)系變化，而輸出信號z的幅值與參數(shù)e的變化無關(guān)，即參數(shù)e具有局部非線性調(diào)幅特性。

1.7 對新混沌系統(tǒng)進行多翅膀擴展

與大多數(shù)Lorenz混沌系統(tǒng)族類似，新混沌系統(tǒng)吸引子的翅膀也是圍繞指標(biāo)為2的不穩(wěn)定鞍焦平衡點演化而形成，并且吸引子相圖都是關(guān)于z軸對稱，當(dāng)進行(x，y，z)→(-x，-y，z)變換時，系統(tǒng)的方程仍保持不變。因此，系統(tǒng)的混沌吸引子可以演變?yōu)閱?多方向擴展的多翅膀混沌吸引子。由于該系統(tǒng)的非線性動力學(xué)特性由兩種交叉乘積項和一種平方項控制，本文通過將系統(tǒng)的平方項替換成一個新的參數(shù)可調(diào)的偶對稱多分段二次函數(shù)f(y)，使其指標(biāo)為2的鞍焦平衡點能在y方向上進行擴展。新的多翅膀混沌吸引子的方程表達式為

(8)

圖8 系統(tǒng)的多翅膀混沌吸引子相圖, (a) 6翅膀混沌吸引子, (b) 8翅膀混沌吸引子, (c) 10翅膀混沌吸引子Fig. 8 Multi-wing chaotic attractor of phase portraits, (a) 6 wing chaotic attractor, (b) 8 wing chaotic attractor, (c) 10 wing chaotic attractor

2 電路實驗

新混沌系統(tǒng)的電路實驗圖如圖9所示，該系統(tǒng)的狀態(tài)變量x，y和z分別用三路模擬運算電路來實現(xiàn)。模擬乘法器(AD633)用來實現(xiàn)系統(tǒng)的非線性項，運算放大器(LM741)及其外圍電路用來實現(xiàn)反相和積分運算等。圖9中，直流電源電壓設(shè)置為±15 V，乘法器AD633的容許電壓僅為±10 V，運算放大器LM741的容許電壓為±18 V，而系統(tǒng)的輸出信號x的相圖范圍為±40，因此需要對所提混沌系統(tǒng)作時間尺度變換，令t=Τ0t，Τ0=100，可以得到下式，

(9)

再根據(jù)系統(tǒng)的電路圖和相關(guān)電路理論，并考慮模擬乘法器的放大倍數(shù)為0.1，得到下式，

(10)

圖9 電路實驗原理圖Fig. 9 Schematic diagram of new chaotic system

圖10 新混沌系統(tǒng)的混沌吸引子的電路實驗相圖, (a) x-z平面圖; (b) y-z平面圖; (c) x-y平面圖 Fig. 10 The experiment results of phase portraits for new chaotic system, (a) the x-z plane, (b) the y-z plane, (b) the x-y plane

3 結(jié)論

本文提出了一種具有恒Lyapunov指數(shù)譜和較大正Lyapunov指數(shù)的新魯棒混沌系統(tǒng)。深入研究了所提系統(tǒng)的動力學(xué)行為，重點分析了系統(tǒng)的平衡點、恒LE譜和非線性調(diào)幅特性，同時對新雙翼混沌吸引子進行了多翅膀擴展，最后進行了模擬電路實驗，實驗結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果相一致，驗證了所提系統(tǒng)的可行性。得到如下結(jié)論：

1) 新混沌系統(tǒng)具有復(fù)雜的混沌特性和動力學(xué)行為，產(chǎn)生的新雙翼混沌吸引子具有單參數(shù)恒LE譜特性，含有一個局部非線性調(diào)幅參數(shù)，其形狀有別于現(xiàn)有提出的混沌吸引子。

2) 新雙翼混沌吸引子具有較大的正Lyapunov指數(shù)并且它會隨參數(shù)a，b和c的增大而增大，其最大值可達18.054；同時在參數(shù)a，b和d的較大范圍變化區(qū)間內(nèi)，系統(tǒng)呈現(xiàn)出很好的魯棒混沌狀態(tài)。

3) 引入合適的非線性函數(shù)，可以將系統(tǒng)的雙翼混沌吸引子擴展成為結(jié)構(gòu)更加復(fù)雜的多翅膀混沌吸引子。

4) 新混沌系統(tǒng)可以用硬件電路來實現(xiàn)，它進一步拓展了恒Lyapunov指數(shù)譜混沌系統(tǒng)族，所提系統(tǒng)的混沌特性顯示其在保密通信、混沌雷達和圖像加密等領(lǐng)域具有潛在應(yīng)用價值。