（南京航空航天大學(xué) 航天學(xué)院，江蘇 南京 210016）

0 引言

隨著航天技術(shù)的不斷發(fā)展，航天事業(yè)對星載天線的需求與日俱增，連接天線與衛(wèi)星本體的伸展臂已成為了航天技術(shù)重要研究對象之一?？臻g伸展臂主要分為桿狀伸展臂、盤壓桿式伸展臂、鉸接桁架式伸展臂、張拉整體式伸展臂等［1］。其中，鉸接桁架式伸展臂具有高收納率、高剛度、高強(qiáng)度、高精度等特點(diǎn)［2］，該類型伸展臂仍是國內(nèi)外研究重點(diǎn)。其可分為可折疊鉸接四邊形桁架伸展臂、可折疊鉸接三角形桁架伸展臂、剪切式伸展臂、索桿鉸接式伸展臂等［1，3］。可折疊鉸接三角形桁架伸展臂較其他鉸接方式具有結(jié)構(gòu)簡單、收展比高、重量輕等更多優(yōu)點(diǎn)，近年來備受關(guān)注［4］。

目前，折疊鉸接式伸展臂FASTM 和ADAM 應(yīng)用最為廣泛，美國NANM 的折疊鉸接式伸展臂技術(shù)已十分成熟，國內(nèi)對折疊鉸接式伸展臂技術(shù)在力學(xué)分析和結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的理論、試驗(yàn)和仿真等方面均有重大突破［5-7］。文獻(xiàn)［8］提出了一種三角桁架鉸接伸展臂，對其進(jìn)行力學(xué)分析。文獻(xiàn)［9］提出一種恒力矩彈簧為驅(qū)動源的三角桁架支撐機(jī)構(gòu)，分析伸展臂單元的運(yùn)動特性，建立等效連續(xù)介質(zhì)模型分析伸展臂動力學(xué)特性。文獻(xiàn)［10］運(yùn)用參數(shù)化思想建立有限元模型，對三角桁架折展式伸展臂進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化。文獻(xiàn)［11］利用螺旋理論分析可展桁架的運(yùn)動特性，驗(yàn)證了單自由度桁架的正確性。文獻(xiàn)［12］應(yīng)用螺旋理論分析四棱柱型伸展臂運(yùn)動特性和收展穩(wěn)定性能。

1 可折展三角桁架式空間伸展臂的簡介

可折展三角桁架式空間伸展臂主要由三角板、板間鉸鏈、桿間鉸鏈、折展桿、底板構(gòu)成。其中，板間鉸鏈和桿間鉸鏈都設(shè)有驅(qū)動彈簧和鎖緊裝置。折展單元有3 個(gè)支鏈，每條支鏈有3 個(gè)旋轉(zhuǎn)鉸鏈，由彈簧驅(qū)動實(shí)現(xiàn)折展單元的展開。初始狀態(tài)為壓緊收攏狀態(tài)，解鎖后開始展開，完全展開后鎖定。展開鎖定后，形成穩(wěn)固的剛性伸展臂結(jié)構(gòu)。

圖1 可折展三角桁架式空間伸展臂示意圖Fig.1 Schematic diagram of the deployable triangular truss space deployable mast

2 空間伸展臂的折展單元的位置分析

伸展臂的折展單元結(jié)構(gòu)原理圖如圖2 所示，由定三角板、動三角板和三條支鏈組成。

圖2 折展單元的原理圖Fig.2 Schematic diagram of the deployable unit

折展單元的完全收攏為θk1=0°，完全展開為θk1=90°，該折展單元有一個(gè)自由度，運(yùn)動平穩(wěn)。

以折展單元的一個(gè)支鏈為例進(jìn)行分析，已知動、定三角板是邊長m的等邊三角形，支鏈的桿長為l。根據(jù)幾何關(guān)系可以看出，動三角板與定三角板關(guān)于平面ABC對稱，可以得到如下折展單元的運(yùn)動約束方程：

每個(gè)支鏈旋轉(zhuǎn)角都滿足如下方程：

式中：k=1 為支鏈A；k=2 為支鏈B；k=3 為支鏈C。

同時(shí)滿足式（1）和式（2），則定三角板與動三角板在運(yùn)動過程中始終平行，即

貨幣資金是重要的企業(yè)資產(chǎn)，在正常生產(chǎn)經(jīng)營過程中起關(guān)鍵性的作用，是企業(yè)關(guān)注的重點(diǎn)資產(chǎn)之一，而正由于貨幣資金的重要性和流動性，貨幣資金舞弊現(xiàn)象也常有發(fā)生。加強(qiáng)貨幣資金的內(nèi)部控制，對于保證資金安全,提高資金運(yùn)營效率,促進(jìn)企業(yè)持續(xù)健康發(fā)展起著非常重要的作用。

由式（2）可知，確定支鏈的θk1即確定了支即鏈位姿；由式（3）可知，確定了θ11即確定了θ21、θ31，故確定θ11即確定了三角板的位姿。

基于以上折展單元的幾何特性以及建立的折展單元運(yùn)動約束方程，運(yùn)用D-H 法的齊次變換矩陣對其進(jìn)行正逆位置，利用螺旋理論對其進(jìn)行正速度分析。

2.1 正位置分析

對折展單元的正位置分析，即位置角θ11作為輸入量，求解動三角板的位姿。為更好描述動三角板的位姿，以中心點(diǎn)的運(yùn)動代替。

建立如圖2 所示的笛卡爾坐標(biāo)系O（X，Y，Z），以A1B1中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，X軸正方向從原點(diǎn)O指向B1，Z軸正方向從原點(diǎn)O指向C1，Y軸正方向滿足右手定則。在轉(zhuǎn)動副上建立當(dāng)前節(jié)點(diǎn)局部動坐標(biāo)系Oj，下一節(jié)點(diǎn)的局部坐標(biāo)系Oj+1，局部坐標(biāo)系之間的齊次變換通式為jTj+1，

式中，θj+1為Oj+1繞Oj的Z軸的旋轉(zhuǎn)角；dj+1為Oj+1沿Oj的Z軸的平移距離；aj+1為Oj+1繞Oj的X軸的平移距離；αj+1為Oj+1繞Oj的X軸的旋轉(zhuǎn)角。

3 條支鏈運(yùn)動平面的關(guān)于坐標(biāo)系O的XOY平面變換矩陣的通式為

式中：βk為支鏈所在運(yùn)動平面與坐標(biāo)系O的XOY面的夾角。

根據(jù)折展單元的幾何性質(zhì)可得出A1、B1、C1的坐標(biāo)，結(jié)合平面變換矩陣與齊次變換矩陣，可求得在笛卡爾坐標(biāo)系下各節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)Pk(j+1)，最終確定動三角板O'的位置為

2.2 逆位置的分析

對折展單元的逆位置分析，即O'運(yùn)動作為輸入，求解位置角θ11。坐標(biāo)系仍采用O（X，Y，Z），在各轉(zhuǎn)動副上建立當(dāng)前節(jié)點(diǎn)局部動坐標(biāo)系，下一節(jié)點(diǎn)的局部坐標(biāo)系，局部坐標(biāo)系之間的齊次變換通式為，各支鏈平面變換通式為=Trk。結(jié)合平面變換矩陣與齊次變換矩陣，可求得各節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而確定θ11，

2.3 正速度分析

對折展單元的正速度分析將位置角θ11作為輸入，求解O'的速度螺旋V=(ω；V0)T。折展單元如圖2 所示，將每個(gè)支鏈簡化為一個(gè)開環(huán)運(yùn)動鏈，其運(yùn)動軸線記作單位螺旋，則每個(gè)支鏈的運(yùn)動螺旋可表示為

則動三角板的速度螺旋與第k支鏈的3 個(gè)瞬時(shí)單位螺旋的關(guān)系為

式中：ω=(ωx，ωy，ωz)為動三角板相對于定三角板的角速度；V0=(V0x，V0y，V0z)為點(diǎn)O'的線速度。則式（12）可以簡化為

由折展單元的運(yùn)動特性可知同支鏈上的各運(yùn)動關(guān)節(jié)的運(yùn)動軸線相互平行，即支鏈上各運(yùn)動關(guān)節(jié)的單位螺旋是相互平行的。取一經(jīng)過原點(diǎn)且與運(yùn)動螺旋方向平行的螺旋記做，根據(jù)兩相交或平行螺旋的互易積為0，則與動三角板的速度螺旋V做互易可得到如下公式的3 個(gè)方程：

在第B、C支鏈上取一平行于的螺旋，

取一過點(diǎn)A3方向?yàn)锳3A2的單位螺旋記為$f3，將螺旋$f3與動三角板的速度螺旋V做互易可得到如下1 個(gè)方程：

將式（14）、式（16）、式（18）聯(lián)立，得到6 個(gè)方程，可求解出動三角板的速度螺旋V的6 個(gè)未知參數(shù)，確定動三角板O'的正速度。

3 仿真試驗(yàn)及結(jié)果分析

舉例說明上述方法的應(yīng)用，考慮折展單元的幾何特點(diǎn)，取折展桿長n=90 mm，三角板的邊長m=100 mm，輸入量主動關(guān)節(jié)驅(qū)動角θ11=，折展單元的展開過程如圖3 所示。

圖3 折展單元的展開過程Fig 3 Deploying process of the deployable unit

將預(yù)設(shè)的參數(shù)代入D-H 法建立的正逆位置解中，借助軟件Matlab 的“solve”函數(shù)計(jì)算出理論結(jié)果，得出動三角板中心點(diǎn)O'的位置曲線。為更好說明本文方法的正確性，借助軟件ADAMS 仿真計(jì)算折展單元的正運(yùn)動的位置，代入相同預(yù)設(shè)參數(shù)得到ADAMS 仿真模型。將理論計(jì)算結(jié)果與仿真計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，如圖4 所示。圖4 中虛線曲線為理論計(jì)算結(jié)果，實(shí)線曲線為ADAMS 仿真計(jì)算結(jié)果。從圖中可以看出，理論計(jì)算結(jié)果與仿真計(jì)算結(jié)果重疊，驗(yàn)證位置分析方法的正確性。

將預(yù)設(shè)的參數(shù)代入螺旋理論建立的速度分析正解中，利用軟件Matlab 求解動三角板中心點(diǎn)O'的運(yùn)動速度，得到動平臺O'的速度變化曲線。同樣，將相同的參數(shù)代入ADAMS 軟件中進(jìn)行仿真計(jì)算，去驗(yàn)證速度計(jì)算結(jié)果的正確性。將理論計(jì)算結(jié)果與仿真計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，如圖5 所示。圖5 中的虛線曲線為理論計(jì)算結(jié)果，實(shí)線曲線為ADAMS 仿真計(jì)算結(jié)果，從圖中可以看出理論計(jì)算結(jié)果與仿真計(jì)算結(jié)果基本一致，本文提出計(jì)算動平臺O'運(yùn)動位置的方法可以準(zhǔn)確計(jì)算出動三角板中心點(diǎn)O'的運(yùn)動速度。

圖4 仿真計(jì)算與理論計(jì)算位移變化對比圖Fig 4 Comparison diagram of the displacement changes obtained by the simulation and theoretical calculations

圖5 仿真計(jì)算與理論計(jì)算速度變化對比圖Fig 5 Comparison diagram of the velocity changes obtained by the simulation and theoretical calculations

結(jié)合圖4 和圖5 曲線的變化，可得動三角板中心點(diǎn)O'的運(yùn)動速度大小與位移變化曲線的曲率正相關(guān)，則可通過速度曲線的曲率估算加速度。

4 結(jié)束語

本文對可折展三角桁架式空間伸展臂單元進(jìn)行運(yùn)動學(xué)分析，運(yùn)用D-H 法分析了折展單元正逆位置，利用螺旋理論對折展單元進(jìn)行正速度分析。借助ADAMS 對折展單元進(jìn)行運(yùn)動學(xué)仿真計(jì)算，對比仿真計(jì)算結(jié)果與本文方法的計(jì)算結(jié)果基本一致，驗(yàn)證了本文方法的正確性。計(jì)算結(jié)果可看出，折展單元動三角板中心點(diǎn)的位移和速度都只在Y軸方向上有變化，其他方向的運(yùn)動分量都為0，說明了折展單元運(yùn)動的單一性，能夠滿足空間折展機(jī)構(gòu)的功能需求，為空間伸展臂的進(jìn)一步研究提供參考依據(jù)。