摘 ?要：通過坐標(biāo)時和固有時的關(guān)系式，由度規(guī)表達(dá)式導(dǎo)出時空膨脹公式，得到由度規(guī)直接讀出時空膨脹公式的方法，然后利用平移算符，將時空膨脹效果體現(xiàn)在平直時空的量子場論中。最后討論在彎曲時空參考系中進(jìn)行量子實驗，以康普頓散射為例，考慮引力場導(dǎo)致的粒子產(chǎn)生與湮滅，給出一個適用的光子和引力場耦合的相互作用拉氏密度（半經(jīng)典理論）。

關(guān)鍵詞：彎曲時空 ?量子場論 ?康普頓散射 ?引力作用

中圖分類號：O412.3;O413.4 ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1672-3791（2020）10（a）-0198-03

Abstract： Based on the relation between coordinate time and proper time， the expansion ratio of space-time is derived， and the met ? ?hod of deriving the expansion ratio of space-time directly from the metric is obtained. Then， the expansion effect of space-time is embodied in the quantum field theory of flat space-time by using the translation operator. Finally， we discuss the quantum experiment in the curved space-time reference frame. Taking Compton scattering as an example， we consider the particle generation and annihilation caused by the gravitational field， and give a suitable interaction Laplace density （semiclassical theory） between photon and gravitational field.

Key Words： Curved space-time; Quantum field theory; Compton scattering; Gravitation

1 ?勘誤

筆者曾經(jīng)在文獻(xiàn)[1]中介紹過一種通過固有尺度和光速不變導(dǎo)出時空膨脹公式的方法，但筆者限于自身水平，將狹義相對論中的概念直接沿用至彎曲時空中，導(dǎo)致了和一般教科書中導(dǎo)出的固有時和坐標(biāo)時的關(guān)系式的差別。下面給出關(guān)于時空膨脹的準(zhǔn)確推導(dǎo)。

即時空膨脹收縮的比例正是對應(yīng)時空坐標(biāo)前的度規(guī)矩陣元的開方根（時間坐標(biāo)差一負(fù)號），所以線元ds是洛倫茲不變量，所以我們可以直接從度規(guī)中讀出時空膨脹比例關(guān)系，固有時間和坐標(biāo)時間的關(guān)系式就是時間的膨脹比例式。

按照上述的時空膨脹關(guān)系式，再利用文獻(xiàn)[1]中提到的平移算符（要按照新的膨脹收縮比例構(gòu)造算符），可以將符合平直時空的量子場論變換到彎曲時空參考系中表述。這里所得到的時空膨脹和一般教材中的討論一致，可以直接從度規(guī)給出，而利用平移算符處理過后可以用于度規(guī)之間的變換，不同度規(guī)場之間的量子場論表達(dá)式的變換。

2 ?彎曲時空中的康普頓散射實驗

在經(jīng)典廣義相對論中，引力其實是一種時空彎曲效應(yīng)[4]。在文獻(xiàn)[1]中把引力場視為經(jīng)典的場，并且只考慮引力的時空彎曲效應(yīng)，調(diào)整度規(guī)膨脹收縮算符后有以上結(jié)果，現(xiàn)在考慮引力場對量子實驗的影響，但并不將引力場量子化，并認(rèn)為產(chǎn)生或湮滅的量子物質(zhì)不足以改變空間的強(qiáng)引力場，所以只給出半經(jīng)典的結(jié)論。在彎曲時空中觀察量子實驗，如康普頓散射，實驗室和人都處在彎曲的時空之中，如強(qiáng)引力靜態(tài)球?qū)ΨQ星球表面，采用史瓦西度規(guī)。如果考慮引力場的屬性，光子與電子的散射實驗中，一般以電子為靶，光子在入場碰撞和出場測量的時候，對應(yīng)的空間位置是不一致的，在量子實驗室中，光子出射的位置和動量不一，這是概率性的，但如果在經(jīng)典的引力時空背景下，光子的移動自然導(dǎo)致相應(yīng)的紅移或者藍(lán)移。那么這種散射完的光子是否滿足相應(yīng)的紅移或者藍(lán)移，由于是量子力學(xué)是概率事件，不存在軌跡，所以是不滿足的，但是整個體系（包括了引力場）在宏觀尺度和時間下的能量是守恒的，也就是強(qiáng)引力場可導(dǎo)致康普頓散射實驗中出射光子的頻率分布的改變，一般來說，降低使體系能量變化大的散射光子的出現(xiàn)幾率，使得整個散射體系平均下來滿足整個空間體系的能量守恒定律。

其中T是編時算符;L1是光子和電子場耦合的相互作用拉氏密度;x1和x2是康普頓散射中兩個相互作用點，可以參考康普頓散射的費曼圖;e是微擾展開小量，是自然單位制下的電子電荷量，如果轉(zhuǎn)換到正常單位制，則是精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)的開方根，這里對我們的討論無影響。式子已經(jīng)取有貢獻(xiàn)的最低階微擾項，即展開式的第二階，略去其他。

3 ?引力場與光子的耦合

對于乘上的相互作用項，是無量綱常數(shù)（對應(yīng)光子的能量變化率），在引力背景下（注：不包括星球半徑內(nèi)部，可以令半徑內(nèi)作用項為0，不刻意寫出）全空間可積分，本身收斂，對于已經(jīng)重整化的理論，不造成積分的發(fā)散困難。

引力場和光子場的耦合作用在計算時相當(dāng)于調(diào)整躍遷振幅，使產(chǎn)生紅移量或者藍(lán)移量大的粒子的概率改變，構(gòu)造出來的相互作用項應(yīng)該含有引力場量算符，但是由于沒有將引力場量子化，所以沒辦法給出場量，所以這是個半經(jīng)典的理論。但是如果仔細(xì)觀察引力場的紅移公式，就會發(fā)現(xiàn)紅移公式與度規(guī)密切相關(guān)，可以從度規(guī)中轉(zhuǎn)變而來，這是廣義相對論中的引力紅移推導(dǎo)來源，可參考文獻(xiàn)[7]。也就是說引力場雖然并沒量子化，但是引力作為一種度規(guī)場，它的度規(guī)相關(guān)項已經(jīng)寫在拉氏相互作用項當(dāng)中了。作為一個替代的半經(jīng)典理論，我們認(rèn)為引力場量已經(jīng)寫入式子中了。而且這種嘗試也將有助于我們探索量子引力論的最終形式。

在平直時空中的康普頓散射實驗中每一對碰撞粒子都遵循能量守恒，但在彎曲時空中由于引力紅移，每一對粒子能量守恒似乎不守恒，而調(diào)整概率后整體守恒，那么如果是只有一對粒子碰撞，再無其他粒子碰撞，時空的能量如何守恒，其實在光散射過程中，由于是微觀量子過程，沒有軌跡，不遵循紅移定律，但是引力場可以湮滅實物粒子（高能電子），產(chǎn)生低能電子，從而滿足體系能量守恒，這種想法向極端推廣，就是黑洞的蒸發(fā)，在視界面處產(chǎn)生一個正頻粒子，并逃逸出去，黑洞視界是無限紅移面，如果不是量子隧穿效應(yīng)，是絕對無法逃逸出去的，引力勢可以視為無窮，但這并不符合能量守恒，所以黑洞內(nèi)部就吸入負(fù)頻粒子，相當(dāng)于湮滅內(nèi)部一個粒子，使體系守恒。這種解釋的物理結(jié)果和原來的黑洞蒸發(fā)的物理解釋結(jié)果一致。

4 ?引力場與其他粒子場的耦合

上面提到引力場可以湮滅粒子也可以產(chǎn)生粒子使體系能量守恒，若考慮引力場與實物粒子的能量耦合，因為任何粒子在場內(nèi)不同地方的引力勢能是不一樣的，所以同樣可以有以上和光子耦合的討論，但是涉及具體引力作用，比較復(fù)雜，而且屬于半經(jīng)典的理論，故不敘述。

5 ?結(jié)語

構(gòu)造出半經(jīng)典的相互作用量，就能在彎曲時空中討論量子場論的實驗，如果要把觀察者移動到其他參考系，那么就要利用文獻(xiàn)[1]中的方法加上時空膨脹收縮的算符的作用，使我們擁有一套描述彎曲時空中的量子場論現(xiàn)象的理論工具。廣義相對論與量子理論應(yīng)該統(tǒng)一于非線性理論，理論應(yīng)該是描述空間彎曲，帶有統(tǒng)計性，且真空是充滿能量的。對于尚在發(fā)展中的量子引力理論，這是一種有價值的嘗試與探索。

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