王孟宸 魏嘉怡 張家偉

摘? 要：為保證機(jī)場所有出租車的收益均衡，機(jī)場允許短途載客出租車返回優(yōu)先再次載客。為判定返回機(jī)場的出租車能否享有優(yōu)先權(quán)，提出了最大短途載客距離即短距閾值的概念。利潤的方差最小時各出租車的收益就會更加均衡。基于這個數(shù)學(xué)理論，文章建立了利潤方差最小的隨機(jī)優(yōu)化模型，并提供了求解算法設(shè)計(jì)。以成都雙流國際機(jī)場出租車為例，對模型進(jìn)行實(shí)證分析。通過計(jì)算得到機(jī)場出租車載客短途閾值為13.6km。最后通過討論發(fā)現(xiàn)，該模型具有較強(qiáng)的應(yīng)用性，值得推廣。

關(guān)鍵詞：隨機(jī)優(yōu)化模型;密度函數(shù);短距閾值;收益均衡

中圖分類號：O211.9? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ? ? ?文章編號：2095-2945（2020）33-0032-04

Abstract： In order to ensure the income balance of all taxis at the airport， the airport allows short-distance passenger taxis to return and give priority to carrying passengers again. In order to determine whether taxis returning to the airport can enjoy priority， the concept of maximum short-distance passenger distance， i.e.short-distance threshold， is put forward. When the variance of profit is the smallest， the income of each taxi will be more balanced. Based on this mathematical theory， this paper establishes a stochastic optimization model with minimum profit variance， and provides a solution algorithm design. Taking the taxi in Chengdu Shuangliu International Airport as an example， the model is empirically analyzed. Through calculation， the short-distance threshold of airport taxi passengers is 13.6km. Finally， through discussion， it is found that the model has strong application and is worth popularizing.

Keywords： stochastic optimization model; density function; short distance threshold; income equilibrium

1 問題的提出

在國內(nèi)機(jī)場，出租車是旅客主要的交通工具之一。出租車一旦進(jìn)入接客通道進(jìn)入候客區(qū)，既不能選擇乘客又不能拒載，如果一直搭載的乘客是短途的，那么這一趟的收益就不高，這樣就可能會產(chǎn)生不公平，導(dǎo)致產(chǎn)生拒載現(xiàn)象發(fā)生引發(fā)糾紛，影響機(jī)場運(yùn)營效率。如何在保證出租車收益的情況下，使旅客能順利打車，一直是交通部門重點(diǎn)研究的課題。

有學(xué)者從“補(bǔ)貼司機(jī)”的角度做了不少研究。Ma等人[1]圍繞某市出租車資源配置的問題，通過馬爾薩斯模型與綜合因素分析法評價(jià)補(bǔ)貼方案對“打車難”的影響;Hao等人[2]采用層次分析法分析出乘客與出租車“供求匹配”的程度高低，針對創(chuàng)建新的打車軟件服務(wù)平臺問題制定兩種補(bǔ)貼方案：Liu等人[3]認(rèn)為對司機(jī)的補(bǔ)貼可緩解打車難的問題，并制定了高峰補(bǔ)貼和偏遠(yuǎn)地區(qū)載客補(bǔ)貼的政策，雖然該政策鼓勵了司機(jī)前往偏遠(yuǎn)區(qū)域載客，但發(fā)放補(bǔ)貼對于執(zhí)行者來說成本較高。在當(dāng)前全世界受新冠肺炎疫情的影響下，經(jīng)濟(jì)發(fā)展普遍受阻，“補(bǔ)貼司機(jī)”會給相關(guān)部門增加沉重的負(fù)擔(dān)而不可行。

本文從載客里程長短的隨機(jī)性上考慮，給予某些短途載客后返回的出租車直接載客“優(yōu)先權(quán)”的優(yōu)惠政策，以保證機(jī)場所有出租車的收益并使之均衡。通過擬合載客距離的概率密度函數(shù)，建立利潤方差最小的隨機(jī)優(yōu)化模型。設(shè)計(jì)算法計(jì)算得出最大短途載客距離，為機(jī)場出租車管理部門提供參考。

2 問題的假設(shè)

假設(shè)一：機(jī)場出租車短途載客后只有一次再次直接載客的優(yōu)先權(quán)。首次短途載客距離低于閾值后，機(jī)場允許該出租車返回機(jī)場是可以直接優(yōu)先載客，無需排隊(duì)。如果不幸再次載客還是短途，且載客距離仍低于閾值，將不再允許該出租車返回機(jī)場后有載客優(yōu)先權(quán)。

假設(shè)二：出租車不得以任何理由據(jù)載乘客。在出租車司機(jī)發(fā)現(xiàn)乘客是短途乘車時，即使是在因短途載客返回再次直接載客仍是短途載客時，也不允許出租車拒載乘客，否則就會取消在機(jī)場運(yùn)營的資格。

假設(shè)三：不考慮短途載客返回優(yōu)先直接載客的方式。短途載客后再次回到機(jī)場，機(jī)場將設(shè)置專門的通途讓其直接行駛到乘客候車的最前面。至于如何設(shè)計(jì)這個通過實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，不是本文的研究范疇，本文將不考慮這個問題。

假設(shè)四：出租車的載客收益僅與載客距離、價(jià)格和耗油費(fèi)有關(guān)。出租車的收益涉及的因素比較多，包括載客距離、價(jià)格、耗油率、管理費(fèi)、運(yùn)營費(fèi)等等。由于其他因素與各個地方的政策、出租陳本身的性能、出租車開車的習(xí)慣等相關(guān)且無法度量和比較。因此，本文僅考慮載客距離、價(jià)格和耗油費(fèi)。

假設(shè)五：出租車每次載客的距離均服從同一分布，且相互獨(dú)立。

3 載客利潤的隨機(jī)優(yōu)化理論模型的建立

3.1 載客短距閾值的提出

機(jī)場出租車載客的收益主要與載客的行駛里程有關(guān)，而乘客的目的地有遠(yuǎn)有近。如此，短途的出租車司機(jī)利潤會相對低一些，為了保證出租車司機(jī)的利潤均衡，采取對某些短途載客再次返回的出租車給予接客的“優(yōu)先權(quán)”，既可以直接優(yōu)先再次載客，而無需排隊(duì)。

設(shè)定一個最大短途載客距離，即短距閾值（符號c）。當(dāng)出租車實(shí)際載客的行駛里程小于等于短距閾值時可以通過快速通道接客，幾乎消除其排隊(duì)的時間成本;當(dāng)出租車實(shí)際載客的行駛里程大于短距閾值時，該司機(jī)不享有優(yōu)先權(quán)。

3.2 出租車?yán)麧櫮Ｐ偷慕?/p>

當(dāng)出租車載客的行駛里程大于短距閾值時，如再次返回機(jī)場則需要重新排隊(duì)接客，故在這種情況的利潤（符號η）為首次載客的實(shí)際收費(fèi)與消耗的油費(fèi)之差。

當(dāng)出租車載客的行駛里程小于等于短距閾值時，將獲得返回機(jī)場獲得直接載客優(yōu)先權(quán)，即無需排隊(duì)即可接到下一個客人。假設(shè)獲得優(yōu)先權(quán)的出租車在第一次載客結(jié)束后立即掉頭返回機(jī)場進(jìn)行第二次載客，此時司機(jī)的利潤為第一次載客的實(shí)際收費(fèi)減去往返兩程油耗費(fèi)用與第二次載客的實(shí)際收費(fèi)減去單程油耗費(fèi)用之和。

即出租車?yán)麧櫐堑哪Ｐ腿缦拢?/p>

式中：x為出租車第一次載客的行駛里程（單位：km）;y為出租車短途載客后第二次載客的行駛里程（單位：km）;g（x）為行駛x公里后的出租車價(jià)格（單位：元）;h為出租車每公里油費(fèi)（單位：元/km）;c為短距閾值（單位：km）。

3.3 載客短距閾值計(jì)算算法的設(shè)計(jì)

由數(shù)學(xué)原理可知[5]，出租車?yán)麧櫟姆讲頓η越小，出租車的利潤就越均衡。因此要想達(dá)到出租車?yán)麧欁顬榫饩托枰沟美麧櫡讲钸_(dá)到最小。

利潤的方差Dη由下式可得：

Dη=Eη2-（Eη）2? ? ? ? ? ? ? ? ? （2）

式中Eη是利潤的數(shù)學(xué)期望。

依據(jù)假設(shè)五得知，利潤的數(shù)學(xué)期望Eη的計(jì)算公式如下：

Eη=f（x）（g（x）-2hx）dx+f（x）（g（x）-hx）dx+

f（x）（g（y）-hy）dy （3）

式中f（x）為出租車行駛里程的概率密度函數(shù)，機(jī)場出租車載客是隨機(jī)的，搭載短途旅客的可能性用概率密度表示。

根據(jù)隨機(jī)優(yōu)化的理論，涉及計(jì)算短距閾值的算法如下：

第一步：收集出租車載客距離的數(shù)據(jù)，從小到大進(jìn)行排列。進(jìn)行k等分，計(jì)算每一個區(qū)間距離發(fā)生的頻數(shù)、頻率，并畫出直方圖。

第二步：觀察直方圖的形狀，確定大致分布密度。提出原假設(shè)，即H0：假設(shè)載客距離服從分布密度f（x）。運(yùn)用下面的卡方檢驗(yàn)公式進(jìn)行檢驗(yàn)，即

T=～χ2（k-q-1）

其中：n為數(shù)據(jù)總頻數(shù)，k為區(qū)間個數(shù)，q為總體分布的參數(shù)個數(shù);ni為每i個區(qū)間數(shù)據(jù)頻數(shù)，總共有k個區(qū)間;為每個區(qū)間發(fā)生的概率。這是基于總體服從f（x）而計(jì)算得到的;當(dāng)計(jì)算的T值小于 ? ? ? ? ? ?時，就接受原假設(shè)，認(rèn)為載客距離服從分布f（x）。

第三步：計(jì)算出租車的利潤η的數(shù)學(xué)期望Eη以及Eη2，求出Dη。

第四步：計(jì)算=0，求出c。此點(diǎn)對應(yīng)的c值即最大短途載客距離。

4 載客利潤的隨機(jī)優(yōu)化模型的實(shí)證分析

4.1 載客距離的概率密度的擬合

為驗(yàn)證出租車行駛里程是否服從正態(tài)分布，將對駛出成都雙流國際機(jī)場出租車的行駛里程進(jìn)行調(diào)研，通過GPS定位系統(tǒng)，采集200組機(jī)場（起點(diǎn)）與出港出租車載客目的地（終點(diǎn)）的經(jīng)緯度數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)表見表1，由于篇幅限制，僅列出9組數(shù)據(jù)），計(jì)算出每輛出港出租車行駛的距離。

將出租車行駛的距離分成10個區(qū)間，計(jì)算每個區(qū)間的頻數(shù)和頻率。以載客行駛距離區(qū)間段作為橫坐標(biāo)，頻率為縱坐標(biāo)，繪制頻率分布直方圖，見圖1。

通過圖1可知，可以假設(shè)出租車載客距離服從正態(tài)分布。用MATLAB對采集的數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證并計(jì)算出兩個參數(shù)。

提出原假設(shè)H0：X～N（μ，σ2），其中==20.9153，=S*=5.5254

對立假設(shè)H1：X不服從正態(tài)分布N（20.9153，5.52542）

T=～χ2（k-q-1）

將數(shù)據(jù)集分為10個區(qū)間，k=10，ni為每個區(qū)間樣本點(diǎn)的個數(shù)，i為每個區(qū)間X發(fā)生的概率，n為總樣本點(diǎn)數(shù)，q=2表示正態(tài)分布中有兩個估計(jì)的參數(shù)。

由MATLAB軟件計(jì)算得到：

T0=10.84<χ（10-2-1）=14.0671

認(rèn)為T0落在接受域里，認(rèn)為服從正態(tài)分布N（20.9153，5.52542）。

正態(tài)分布的概率密度公式為：

f（x）=e? （4）

代入?yún)?shù)得到此模型的概率密度計(jì)算式為：

f（x）e?（5）

4.2 出租車載客利潤方差的計(jì)算

通過查閱成都市出租車網(wǎng)[4]得知其計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為起步價(jià)8元（在2km之內(nèi)），之后路程每增加1km，價(jià)格增長1.9元，超過10公里后加收50%的返空費(fèi)，即2.85元/km。且每km消耗的燃油費(fèi)約為0.5元。

設(shè)行駛里程為x，則出租車價(jià)格g（x）為：

從機(jī)場駛出的出租車?yán)麧櫐菫椋?/p>

其中x為出租車第一次載客的行駛里程，單位：km;y為出租車短途載客后第二次載客的行駛里程，單位：km;c為最大短途載客距離，單位：km。

為使長短途出租車的收益均衡，選取利潤的方差Dη為目標(biāo)函數(shù)，最終求使Dη最小時的短途載客距離c，將其作為優(yōu)化結(jié)果。

由于機(jī)場距離市中心較遠(yuǎn)，與以其他地點(diǎn)為出發(fā)地的出租車相比，機(jī)場出租車的行車距離更長，所以設(shè)定機(jī)場短途票閾值c大于該市出租車返空費(fèi)的閾值10km，且假設(shè)行駛距離都大于起步價(jià)閾值2km。根據(jù)此條件計(jì)算出租車司機(jī)利潤η的方差Dη，公式：Dη=Eη2-（Eη）2

其中Eη與Eη2的表達(dá)式如下：

4.3 短距閾值的計(jì)算

由上述已知對方差Dη求一階導(dǎo)數(shù)，求得使D（η）'=0的極小值點(diǎn)，此點(diǎn)對應(yīng)的c即最大短途載客距離。經(jīng)MATLAB軟件計(jì)算該最小值為13.6075km，最小方差為141.8239，為使計(jì)價(jià)方便，對公里數(shù)取整數(shù)，最后得到最大短途載客距離c為14km，該點(diǎn)方差為142.0032。

5 結(jié)論

本隨機(jī)優(yōu)化模型以給予短途載客出租車返回機(jī)場再次接客享有“優(yōu)先權(quán)”的辦法來保證司機(jī)的收益并使之均衡，不同于前人的補(bǔ)貼政策。提出了短距閥值概念并將其作為賦予優(yōu)先權(quán)的標(biāo)準(zhǔn);通過擬合載客距離的概率密度函數(shù)，建立利潤方差最小的隨機(jī)優(yōu)化模型;設(shè)計(jì)算法計(jì)算得出短距閥值;以成都雙流國際機(jī)場出租車為例，對模型進(jìn)行實(shí)證分析，計(jì)算得能享有優(yōu)先權(quán)標(biāo)準(zhǔn)最大短途距離為14km時，此時利潤方差最小，所有出租車收益均衡。

該方案的實(shí)施需要統(tǒng)計(jì)到駛出機(jī)場出租車的載客狀態(tài)以及行駛里程，對離開機(jī)場的短途出租車進(jìn)行登記，在出租車返回機(jī)場時能夠進(jìn)行識別，并引導(dǎo)其進(jìn)入短途載客出租車的免等候區(qū)域，這些都簡單易實(shí)現(xiàn)，因此該模型方案具有可推廣性。

參考文獻(xiàn)：

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