◇ 山東 劉 進(jìn)

高考數(shù)學(xué)命題貫徹德智體美勞全面發(fā)展的教育方針，倡導(dǎo)“五育”并舉，這一命題原則在2020年高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題中得到了充分體現(xiàn)．在“五育”并舉的引領(lǐng)下，全國卷數(shù)學(xué)命題緊貼“數(shù)學(xué)知識(shí)與生產(chǎn)、生活相聯(lián)系”的要求，數(shù)學(xué)應(yīng)用題可謂妙題生花、精彩紛呈．本文舉例解析以“五育”為背景的高考應(yīng)用題，旨在探索題型規(guī)律，供新一輪高考學(xué)生數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考時(shí)參考．

1 以“德育”為背景的應(yīng)用題

例1（2020年全國卷Ⅱ文4理3）在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓，為解決困難，許多志愿者踴躍報(bào)名參加配貨工作．已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)計(jì)第二天新訂單超過1600份的概率為0.05．志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者（ ）．

A．10名 B．18名 C．24名 D．32名

解析

點(diǎn)評(píng)

本題是以抗擊新冠疫情期間志愿者參加某超市配貨工作為背景的應(yīng)用問題，考查了考生對(duì)基本知識(shí)的掌握程度及運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力．

2 以“智育”為背景的應(yīng)用題

A．60 B．63 C．66 D．69

例2（2020年全國卷Ⅲ文理4）Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域，有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)I（t）（t的單位:天）的Logistic模型:I（t）＝

解析

點(diǎn)評(píng)

本題以新冠肺炎疫情傳播的動(dòng)態(tài)研究為背景，選擇適合學(xué)生知識(shí)水平的Logistic模型作為試題命制的切入點(diǎn)，考查學(xué)生對(duì)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)基本知識(shí)的理解和掌握，以及使用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的能力和數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)．

例3（2020年新高考全國卷Ⅰ6）基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù)．基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間．在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型I（t）＝er t描述累計(jì)感染病例數(shù)I（t）隨時(shí)間t（單位:天）的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與R0，T近似滿足R0＝1＋r T．有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出R0＝3.28，T＝6．據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為（ ）（ln2≈0.69）．

A．1.2天 B．1.8天

C．2.5天 D．3.5天

解析

由R0＝1＋r T，得3.28＝1＋6r，解得r＝0.38，所以e0.38t＝2，所以0.38t＝ln2，解得．故選B．

點(diǎn)評(píng)

本題基于新冠肺炎疫情初始階段的研究成果，考查了相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)和從資料中提取信息的能力，突出了數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用．

3 以“體育”為背景的應(yīng)用題

例4（2020年新高考全國卷Ⅰ5）某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中96%的學(xué)生喜歡足球或游泳，60%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的（ ）．

A．62% B．56%

C．46% D．42%

解析

由題意得，82%＋60%－96%＝46%．故選C．

點(diǎn)評(píng)

身心健康是素質(zhì)教育的重要內(nèi)容，高考數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)了以體育運(yùn)動(dòng)為問題情境的試題，體現(xiàn)了積極的導(dǎo)向作用，本題以關(guān)注學(xué)生的體育運(yùn)動(dòng)與體育鍛煉為背景，設(shè)計(jì)了簡單的概率計(jì)算問題，考查了考生閱讀理解和分析、轉(zhuǎn)化能力．

例5（2020年全國卷Ⅰ理19）甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下．

累計(jì)負(fù)兩場者被淘汰:比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場比賽，負(fù)者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束．經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空．設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率都為

（1）求甲連勝四場的概率；

（2）求需要進(jìn)行第五場比賽的概率；

（3）求丙最終獲勝的概率．

解析

（1）甲連勝四場只能是前四場全勝，所以所

（2）根據(jù)賽制，至少需要進(jìn)行四場比賽，至多需要進(jìn)行五場比賽．

（3）丙最終獲勝，有兩種情況．

因此，丙最終獲勝的概率為

點(diǎn)評(píng)

本題以羽毛球比賽為背景，將概率問題融入常見的比賽中，以參賽人的獲勝概率設(shè)問，重在考查學(xué)生的邏輯推理能力、對(duì)事件進(jìn)行分析、分解和轉(zhuǎn)化的能力以及對(duì)概率的基礎(chǔ)知識(shí)（特別是古典概率模型、事件的關(guān)系和運(yùn)算、事件獨(dú)立性等內(nèi)容）的掌握情況．

4 以“美育”為背景的應(yīng)用題

例6（2020年全國卷Ⅱ文3）如圖1，將鋼琴上的12個(gè)鍵依次記為a1，a2，…，a12，設(shè)1≤i＜j＜k≤12．若k－j＝3且j－i＝4，則稱ai，aj，ak為原位大三和弦；若k－j＝4且j－i＝3，則稱ai，aj，ak為原位小三和弦．用這12個(gè)鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個(gè)數(shù)之和為（ ）．

圖1

A．5 B．8 C．10 D．15

解析

原位大三和弦:i＝1，j＝5，k＝8；i＝2，j＝6，k＝9；i＝3，j＝7，k＝10；i＝4，j＝8，k＝11；i＝5，j＝9，k＝12共5個(gè)；原位小三和弦:i＝1，j＝4，k＝8；i＝2，j＝5，k＝9；i＝3，j＝6，k＝10；i＝4，j＝7，k＝11；i＝5，j＝8，k＝12共5個(gè)．總共10個(gè)，故選C．

點(diǎn)評(píng)

借助數(shù)學(xué)語言給出原位大三和弦與原位小三和弦的定義，并設(shè)計(jì)了一個(gè)簡單的計(jì)數(shù)問題，考查學(xué)生對(duì)新定義、新情境的學(xué)習(xí)能力，以及分析問題的能力和數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)．

例7（2020年全國卷Ⅰ文理3）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐（如圖2）．以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（ ）．

圖2

解析

如圖3，設(shè)正四棱錐的高為h，底面邊長為a，側(cè)面三角形底邊上的高為h′，依題意有

圖3

點(diǎn)評(píng)

本題以世界建筑奇跡埃及胡夫金字塔為背景，設(shè)計(jì)正四棱錐的計(jì)算問題，將立體幾何的基本知識(shí)與建筑文化有機(jī)結(jié)合，體現(xiàn)數(shù)學(xué)美和數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性．

5 以“勞動(dòng)教育”為背景的應(yīng)用題

例8（2020年新高考全國卷Ⅰ15）某中學(xué)開展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)生加工制作零件，零件的截面如圖4所示．O為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心，A是圓弧AB與直線AG的切點(diǎn)，B是圓弧AB與直線BC的切點(diǎn)，四邊形DEFG為矩形，BC⊥DG，垂足為C，A到直線DE和EF的距離均為7cm，圓孔半徑為1，則圖中陰影部分的面積為________cm2．

圖4

解析

由已知得A到DG的距離與A到FG的距離相等，均為5，所以∠AOH＝45°．設(shè)O到DG的距離為3t，則O到DE的距離為5t，所以O(shè)Acos45°＋5t＝7，OAsin45°＋3t＝5，因此2t＝2，所以，所以圖中陰影部分的面積為

點(diǎn)評(píng)

本題通過創(chuàng)設(shè)一個(gè)勞動(dòng)情境考查幾何知識(shí)，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高學(xué)生對(duì)勞動(dòng)實(shí)踐的興趣．高考數(shù)學(xué)將社會(huì)生產(chǎn)勞動(dòng)實(shí)踐情境與數(shù)學(xué)基本概念有機(jī)結(jié)合，很好地發(fā)揮了高考試題在培養(yǎng)勞動(dòng)觀念中的引導(dǎo)作用．