◇ 山東 杜海龍

構(gòu)造是一種重要的數(shù)學(xué)思維方法，它是創(chuàng)造力的較高表現(xiàn)形式，是高考考查的熱點(diǎn)．在解題中應(yīng)注意依據(jù)題目特征類比相關(guān)知識(shí)，通過構(gòu)造數(shù)學(xué)模型來促進(jìn)問題的解決，從而培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性．構(gòu)造時(shí)，需要跳出題外，高屋建瓴，方可遂愿．本文舉例說明構(gòu)造數(shù)學(xué)模型在求解三角函數(shù)問題中的應(yīng)用．

1 構(gòu)造對(duì)偶模型

例1求值

解析

①＋②，得

①－②，得

點(diǎn)評(píng)

由于所求代數(shù)式是二次齊次式且只含余弦函數(shù)，而余弦函數(shù)和正弦函數(shù)一般是成對(duì)出現(xiàn)的，因此可考慮構(gòu)造相應(yīng)的正弦函數(shù)來求解．

例2求的值．

解析

設(shè)所求的式子為

點(diǎn)評(píng)

在對(duì)偶式的構(gòu)造上，要注意，有時(shí)是互余對(duì)偶，有時(shí)是和差對(duì)偶，有時(shí)是互倒對(duì)偶……對(duì)偶的靈活性與求解的巧妙性構(gòu)成了一道和諧、美麗的風(fēng)景．

2 構(gòu)造函數(shù)模型

例3已知α，β為銳角，且，則

下列結(jié)論中正確的是（ ）．

解析

點(diǎn)評(píng)

本題通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性將“角”的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化．

例4已知，且

求cos（x＋2y）的值．

解析

構(gòu)造函數(shù)f（t）＝t3＋sint，易知它是上的單調(diào)遞增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)

本題通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解，很是巧妙．

3 構(gòu)造向量模型

例5若α，β∈（0，π），求滿足等式cosα＋的α和β的值．

解析

原等式可化為（1－cosβ）cosα＋sinβsinα＝

構(gòu)造向量a＝（1－cosβ，sinβ），b＝（cosα，sinα），則

因?yàn)椋╝·b）2≤|a|2·|b|2，所以

點(diǎn)評(píng)

本題將條件等式在變形的基礎(chǔ)上構(gòu)造兩個(gè)向量，并運(yùn)用向量的數(shù)量積運(yùn)算和性質(zhì)求解，體現(xiàn)了向量知識(shí)應(yīng)用的廣泛性．

4 構(gòu)造數(shù)列模型

例6證明，其中0，1，2，…，n，λ∈Z．

證明當(dāng)n＝1時(shí)，即證由三角函數(shù)的知識(shí)可以證明此式成立．由此我們可以構(gòu)造一個(gè)數(shù)列遞推式

再利用累加法獲證．

點(diǎn)評(píng)

尋求項(xiàng)與項(xiàng)之間的一般關(guān)系，構(gòu)造數(shù)列遞推式證明，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的以退求進(jìn)、特殊到一般的思想方法．

5 構(gòu)造復(fù)數(shù)模型

例7已知x，y，z∈R，且

求證:

證明設(shè)復(fù)數(shù)α＝cosx＋isinx，β＝cosy＋isiny，γ＝cosz＋isinz，且ˉα，ˉβ，ˉγ分別是α，β，γ的共軛復(fù)數(shù)，則αˉα＝1，βˉβ＝1，γˉγ＝1．

由等比定理，得

由已知，p顯然為實(shí)數(shù)，所以sin（x＋y）＋sin（y＋z）＋sin（z＋x）＝0．故

點(diǎn)評(píng)

由于復(fù)數(shù)有三角式，對(duì)于具有對(duì)偶形式的三角問題，通過構(gòu)造復(fù)數(shù)的三角式來求解較為方便有效．

6 構(gòu)造解析幾何模型

例8已知求證:

解析

本題初看起來關(guān)系式很整齊，但卻很難找到條件與結(jié)論直接的邏輯關(guān)系，但仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)它與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程很相似，因此可以構(gòu)造橢圓模型

又在P2處的橢圓的切線方程為x＋y＝1，而點(diǎn)P1也在切線x＋y＝1上，由切點(diǎn)的唯一性知，點(diǎn)P1與P2重合．故cos2α＝cos2β，sin2α＝sin2β，即

點(diǎn)評(píng)

構(gòu)造解析幾何模型是實(shí)現(xiàn)數(shù)形轉(zhuǎn)換的一種方法，它的應(yīng)用范圍較為廣泛．本題利用點(diǎn)的坐標(biāo)、曲線的方程的有關(guān)性質(zhì)巧妙地尋找條件與結(jié)論間的邏輯關(guān)系進(jìn)行證明．

7 構(gòu)造三角模型

例9求函數(shù)的最大值和最小值．

解析求解本題最大的困惑就是去掉根號(hào)，仔細(xì)觀察 sinx和可知sin2x＋，由此可以構(gòu)造三角模型求解．

點(diǎn)評(píng)

本題通過構(gòu)造三角模型，利用三角函數(shù)的性

質(zhì)巧妙地?cái)[脫了根號(hào)的困惑，使問題獲解．