◇ 山東 高 磊

秉綱而目自張，執(zhí)本而末自從．高三復(fù)習(xí)階段，學(xué)生要做的習(xí)題浩如煙海，為了擺脫題海戰(zhàn)術(shù)，就需要學(xué)生通過一題多變、一題多解、多題歸一的訓(xùn)練開展深度學(xué)習(xí)；通過改變條件、整合知識(shí)，找到規(guī)律，一通百通．在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需通過一題多變培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維；通過多題歸一，培養(yǎng)學(xué)生收斂思維．筆者依據(jù)多年高三教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)為散斂思維應(yīng)有中心、有目標(biāo)、可遷移，做到周密、有效．現(xiàn)結(jié)合解三角形內(nèi)容談?wù)剛€(gè)人觀點(diǎn)．

1 題根研究

題根（2020年全國卷Ⅱ理科第17題）△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinBsinC．

（1）求A；

（2）若BC＝3，求△ABC周長的最大值．

解法1（1）由正弦定理和已知條件，得

由余弦定理，得

因?yàn)?＜A＜π，所以

（2）由正弦定理及（1），得

故

解法2（1）同解法1．

（2）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，由余弦定理，得

又因?yàn)閍＝3，所以所以（b＋c）2≤12，所以，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝時(shí)，等號(hào)成立．因?yàn)閍＝3，所以故△ABC周長取得最大值

點(diǎn)評

本題考查了解三角形的相關(guān)知識(shí)，涉及正弦定理角化邊的應(yīng)用、余弦定理的應(yīng)用、三角形周長最大值的求解等．

2 變式訓(xùn)練

變式1在△ABC中，若，求△ABC面積的最大值．

基于這個(gè)考點(diǎn)，進(jìn)行如下變式訓(xùn)練，引領(lǐng)學(xué)生全面掌握解三角形中的最值問題．

解析

在△ABC中，由基本不等式，可得a＋c≥當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)，等號(hào)成立．

點(diǎn)評

變式2在△ABC中，若，求△ABC周長的取值范圍．

解析

在△ABC中，由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝（a＋c）2－3ac＝1－3ac．由基本不等式，得當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)，等號(hào)成立．所以

又因?yàn)?＜b＜a＋c，所以，所以a＋b＋c＜2，故△ABC周長的取值范圍為

點(diǎn)評

根據(jù)余弦定理和基本不等式可以推導(dǎo)出b≥，再結(jié)合三角形兩邊之和大于第三邊得出周長的取值范圍．

變式3在△ABC中，若，求△ABC周長的取值范圍．

解析

在△ABC中，由余弦定理，得

又因?yàn)閎＝1，a＋c＞b，所以1＜a＋c≤2，所以2＜a＋b＋c≤3，故△ABC周長的取值范圍為（2，3]．

點(diǎn)評

由余弦定理和基本不等式相結(jié)合可以推導(dǎo)出a＋c≤2，再結(jié)合三角形兩邊之和大于第三邊得出周長的取值范圍．

變式4若△ABC為銳角三角形求△ABC周長的取值范圍．

解析

由正弦定理，得

所以

因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以解得，所以，所以a＋c＝，故

點(diǎn)評

與變式3相比，會(huì)發(fā)現(xiàn)在銳角三角形中，利用基本不等式無法使問題獲解．本題運(yùn)用正弦定理得出，此為正弦型函數(shù)，再利用銳角三角形這一條件進(jìn)一步縮小角A的范圍，求出周長的取值范圍．

變式5在△ABC中，若，求△ABC的面積的最大值．

解析

在△ABC中，由余弦定理，得

由基本不等式，得a2＋c2≥2ac，b2＝a2＋c2－ac≥ac，所以ac≤1，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)，等號(hào)成立．所以

點(diǎn)評

本題運(yùn)用余弦定理和基本不等式求解三角形面積最大值．

變式6在△ABC中，若，求△ABC面積的取值范圍．

解析

由正弦定理，得

所以

所以

點(diǎn)評

本題運(yùn)用正弦定理、和角公式、倍角公式、輔助角公式等求解面積的取值范圍．

變式7若△ABC為銳角三角形求△ABC面積的取值范圍．

解析

因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以

點(diǎn)評

運(yùn)用“銳角三角形”這一條件縮小角A的范圍是本題的易錯(cuò)點(diǎn)．

變式8在△ABC中，，若D為邊AC的中點(diǎn)，且BD＝1，求△ABC面積的最大值．

圖1

解析

因?yàn)锽D為邊AC的中線，所以，則

由基本不等式，得4＝c2＋a2＋ac≥3ac，所以，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)，等號(hào)成立．

點(diǎn)評

當(dāng)中線為定值時(shí)，在△ABC中運(yùn)用建立方程，再運(yùn)用基本不等式求出ac的最大值，從而求得面積的最大值．

變式9在△ABC中，若BD為∠ABC的角平分線，且BD＝1，求△ABC面積的最小值．

解析

因?yàn)锽D為∠ABC的角平分線，且BD＝1，

由S△A B C＝S△A B D＋S△B C D，得

點(diǎn)評

當(dāng)角平分線為定值時(shí)，可運(yùn)用面積關(guān)系S△A B C＝S△A B D＋S△B C D建立方程，再運(yùn)用基本不等式求出ac的最小值，從而求得面積的最小值．

變式10在△ABC中，，若BD為邊AC上的高，且BD＝1，求△ABC面積的最小值．

解析

在△ABC中，因?yàn)锽D為邊AC的高，且，所以

由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，所以，由基本不等式，知a2＋c2≥2ac，得所以ac≥，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)，等號(hào)成立．所以

△ABC面積的最小值為

點(diǎn)評

一題多變是對一道題目進(jìn)行變式研究，采取分層次多視角的剖析，通過題設(shè)、結(jié)論的變化及引申新問題讓學(xué)生對知識(shí)的理解更深刻，能夠幫助學(xué)生加深對基礎(chǔ)知識(shí)和基本技巧的掌握，激發(fā)學(xué)生解題和鉆研的欲望，提升學(xué)生觸類旁通、綱舉目張、舉一反三的能力．一題多變也是創(chuàng)造性思維的體現(xiàn)，對培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性、探索性、深刻性、獨(dú)創(chuàng)性、靈活性都是非常有效的途徑．在高三復(fù)習(xí)中，靈活運(yùn)用一題多變能夠收到“講好一題，帶活一片”的效果．