◇ 廣東 李開瑋

本文通過拋物線性質(zhì)得到了一個(gè)關(guān)于斜拋運(yùn)動(dòng)的結(jié)論，并利用這個(gè)結(jié)論巧妙求解斜拋運(yùn)動(dòng)極值問題，體現(xiàn)了幾何知識(shí)在物理中的妙用．

1 斜拋運(yùn)動(dòng)的幾何結(jié)論

如圖1所示，在距水平面高度為h的某處將一質(zhì)點(diǎn)以速度v0斜拋出去，拋射角為θ，以拋出點(diǎn)為原點(diǎn)，建立水平豎直坐標(biāo)系，質(zhì)點(diǎn)的軌跡為拋物線，其參數(shù)方程為

圖1

由式①②可得拋物線軌跡方程為

將式③轉(zhuǎn)化為拋物線方程標(biāo)準(zhǔn)形式有

式④對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)形式為X2＝－2p Y．由式④可得拋物線頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為，常數(shù)p＝頂點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為，觀察發(fā)現(xiàn)拋出點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為

2 斜拋運(yùn)動(dòng)極值問題

對(duì)于斜拋運(yùn)動(dòng)，有多種方法可求解:水平豎直運(yùn)動(dòng)分解、斜交分解法，以及前文的斜拋運(yùn)動(dòng)結(jié)論．接下來探討兩道典型的斜拋運(yùn)動(dòng)極值問題，利用前述多種方法分析對(duì)比．

例1如圖1所示，小球距水平地面高度為h，將小球斜向上以拋射角α、速率v0拋出，求小球最大射程及此時(shí)的拋射角α．

解析

方法1（斜交分解法）將小球的運(yùn)動(dòng)分解為沿初速度方向的勻速運(yùn)動(dòng)和豎直向下初速度為0的自由落體運(yùn)動(dòng)，設(shè)小球落地速度為v1，則小球落地時(shí)速度斜交分解如圖2所示，根據(jù)三角形正弦定理有

圖2

對(duì)小球根據(jù)機(jī)械能守恒有

得

小球射程x＝v0cosα·t，結(jié)合式①②可得

方法2（利用斜拋運(yùn)動(dòng)結(jié)論求解）根據(jù)斜拋運(yùn)線距離與落地點(diǎn)到準(zhǔn)線距離之和為，根據(jù)拋物線幾何性質(zhì)，拋出點(diǎn)、落地點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)距離之和恒定且為．根據(jù)三角形原理，當(dāng)焦點(diǎn)與拋出點(diǎn)、落地點(diǎn)共線時(shí)，拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)連線距離最大，為兩點(diǎn)到焦點(diǎn)距離之和，此時(shí)存在等式h，解得又根據(jù)拋物線幾何性質(zhì)，．過焦點(diǎn)一直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)處切線互相垂直，因此末速度方向垂直于初速度方向，由圖2可得

例2如圖3所示，傾角為θ的斜面，將一質(zhì)點(diǎn)從底端以速率v0斜向上拋出去，求質(zhì)點(diǎn)在斜面上的最遠(yuǎn)射程，及此時(shí)的拋射角α．

圖3

解析

設(shè)質(zhì)點(diǎn)落在斜面上時(shí)在斜面上產(chǎn)生的位移為L(zhǎng)，利用斜拋運(yùn)動(dòng)結(jié)論可知，起點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線距離為落點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線距離為θ，因此兩點(diǎn)到準(zhǔn)線距離之和為．由拋物線幾何性質(zhì)知兩點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)距離之和也為L(zhǎng)sinθ．根據(jù)三角形原理，兩邊之和大于第三邊，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取“＝”，故有，得L≤，此時(shí)焦點(diǎn)在斜面上．

根據(jù)拋物線幾何性質(zhì)，過焦點(diǎn)的弦的兩端點(diǎn)處切線互相垂直，因此末速度方向垂直于初速度方向，設(shè)末速度為vt，則根據(jù)速度斜交分解法，由圖2可知，同時(shí)根據(jù)機(jī)械能守恒有mg Lmaxsinθ，由以上兩式可得

由上式可得