◇ 江西 曾 偉

在高考數(shù)學(xué)中，解三角形中經(jīng)常有兩種題型，一種是三角形基本量的計(jì)算，如求角、邊、面積等，屬于基礎(chǔ)常規(guī)題；另一種就是求最值或范圍問(wèn)題，相對(duì)前者而言，這類問(wèn)題較難，學(xué)生不容易掌握．本文將從以下的例題和練習(xí)題中，尋求求解三角形中最值與范圍問(wèn)題的一般策略與方法．

1 解三角形中的最值問(wèn)題

例1（2020年全國(guó)卷Ⅱ）△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinBsinC．

（1）求A；

（2）若BC＝3，求△ABC周長(zhǎng)的最大值．

解析

（1）在△ABC中，設(shè)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則由正弦定理和已知條件得

由余弦定理，得

（2）方法1已知a＝3，由正弦定理及（1）得

方法2由a＝3，a2－b2－c2＝bc，得9＝b2＋c2＋bc≥3bc，所以bc≤3，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)等號(hào)成立．又（b＋c）2＝b2＋c2＋2bc＝9＋bc≤12，所以b＋c≤．因此△ABC周長(zhǎng)的最大值為，當(dāng)b＝c（即）時(shí)取得最大值．

點(diǎn)評(píng)

此題第（2）問(wèn)考查△ABC周長(zhǎng)的最大值，方法1根據(jù)正弦定理結(jié)合已知條件將三角形周長(zhǎng)表示為關(guān)于角B的三角函數(shù)，運(yùn)用輔助角公式，結(jié)合角B的范圍求得周長(zhǎng)的最大值，該方法較為常規(guī)，體現(xiàn)了高考試題的基礎(chǔ)性與穩(wěn)定性．方法2運(yùn)用了基本不等式，因?yàn)閍已知，所以求三角形周長(zhǎng)的最大值即轉(zhuǎn)化為求b＋c的最大值，最后轉(zhuǎn)化為求bc的最大值，而bc的最大值可根據(jù)已知條件及基本不等式求得，該方法具有一定的技巧性，需要考生結(jié)合最終目標(biāo)進(jìn)行相應(yīng)的轉(zhuǎn)化．

例2在△ABC中，則AB＋2BC的最大值為_(kāi)_______．

解析

方法1因?yàn)锽＝60°，A＋B＋C＝180°，所以A＋C＝120°，由正弦定理，得

所以AB＝2 sinC，BC＝2 sinA，所以

方法2設(shè)AB＝c，AC＝b，BC＝a，由余弦定理，得，所以a2＋c2－ac＝b2＝3，設(shè)c＋2a＝m，代入上式消去c，得7a2－5am＋m2－3＝0，由Δ＝84－3m2≥0，得，當(dāng)時(shí)，符合題意，因此AB＋2BC的最大值為

點(diǎn)評(píng)

方法2是值得我們思考的，如果是求AB＋BC的最大值，那么可以完全照搬例1中的方法2，可是一旦變成求AB＋2BC，我們就需要另尋他法了．

例3（2016年江蘇卷）在銳角△ABC中，若sinA＝2 sinBsinC，則tanAtanBtanC的最小值是_________．

解析

方法1因?yàn)閟inA＝2 sinBsinC，所以sin（B＋C）＝2 sinBsinC，兩邊同時(shí)除以cosBcosC，得tanB＋tanC＝2 tanBtanC，因?yàn)?/p>

設(shè)x＝tanBtanC－1＞0，

當(dāng)且僅當(dāng)x＝1（tanA＝4）時(shí)，等號(hào)成立，故tanA·tanB·tanC的最小值是8．

方法2由已知條件得tanB＋tanC＝2 tanBtanC，則

故tanAtanBtanC≥8，即其最小值為8．

點(diǎn)評(píng)

本題是2016年江蘇卷填空題的壓軸題，難度較大．方法1結(jié)合正切的誘導(dǎo)公式利用換元法將tanAtanBtanC化為的形式，其最值便一目了然．方法2用到了三角形中的恒等式tanAtanBtanC＝tanA＋tanB＋tanC，再利用基本不等式得到最值，思路清晰，解法簡(jiǎn)捷．

2 解三角形中的取值范圍問(wèn)題

例4（2020年浙江卷）在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且

（1）求角B；

（2）求cosA＋cosB＋cosC的取值范圍．

解析

（2）由A＋B＋C＝π，得，由△ABC是銳角三角形，得由

得

故cosA＋cosB＋cosC的取值范圍為

點(diǎn)評(píng)

此題解法與例1解法的方法1相似，需要注意的是△ABC是銳角三角形，則只有角的范圍準(zhǔn)確才能得到正確取值范圍．

例5（2019年全國(guó)卷Ⅲ）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知

（1）求B；

（2）若△ABC為銳角三角形，且c＝1，求△ABC面積的取值范圍．

解析

因?yàn)閟inA≠0，所以．由A＋B＋C＝π，可得，故

（2）方法1由c＝1及，可知△ABC的面積．由正弦定理，得

由于△ABC為銳角三角形，故，由，知，所以，故，從而，因此△ABC面積的取值范圍是

方法2（極限思想、極端原則）如圖1所示，AB＝c＝1，，若△ABC為銳角三角形，則點(diǎn)C位于DE之內(nèi)，故a＝BC∈（BD，BE），因?yàn)椋?/p>

圖1

由于△ABC的面積，因此其取值范圍是

例6（2015年全國(guó)卷Ⅰ）在平面四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，則AB的取值范圍是________．

解析

方法1如圖2所示，連接AC，設(shè)∠BAC＝α，則 ∠ACB＝105°－α．由正弦定理，可得由于α＜75°，且105°－α＜75°，得α∈（30°，75°），所以故

圖2

方法2（極限思想、極端原則）如圖3所示，延長(zhǎng)BA，CD交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作DA的平行線交AB于點(diǎn)F．平移AD，當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)D重合于點(diǎn)E時(shí)，AB最長(zhǎng)．在△BCE中，由正弦定理，得

圖3

平移AD，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合，點(diǎn)A與點(diǎn)F重合時(shí)，AB最短．在△BCF中，由正弦定理，得，所以

點(diǎn)評(píng)

由例5和例6可知，在三角形中求取值范圍時(shí)要盡可能地利用已知條件，當(dāng)要求的式子能用角的三角函數(shù)表示時(shí)，僅需根據(jù)已知條件確定角的范圍即可；當(dāng)能用邊長(zhǎng)表示時(shí)，需要借助正弦定理將邊化為角，才可以更好地求取值范圍．同時(shí)，利用極限的思想、極端原則給該類問(wèn)題提供了一種新的思路，方法較新穎，值得反思與推敲．

3 訓(xùn)練鞏固

以下精選幾道習(xí)題，供讀者練習(xí)鞏固，希望讀者解決該類問(wèn)題的思路與方法能得到更進(jìn)一步的升華．

練習(xí)1△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若B＝2A，cosAcosBcosC＞0，則的取值范圍是（ ）．

練習(xí)2△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為若a＋b＝4，則c的取值范圍為（ ）．

A．（0，4） B．[2，4）

C．[1，4） D．（2，4]

練習(xí)3已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，若c為最大邊，則的取值范圍是（ ）．

練習(xí)4若△ABC的面積為且∠C為鈍角，則∠B＝________；的取值范圍是________．

練習(xí)5△ABC的垂心H在其內(nèi)部，∠BAC＝60°，AH＝1，則BH＋CH的取值范圍是________．

練習(xí)6在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對(duì)的邊，且2csinB＝3atanA．

（2）若a＝2，求△ABC面積的最大值．

練習(xí)7在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，△ABC的面積為

（1）若a，b，c成等差數(shù)列，試判斷△ABC的形狀．

（2）求a＋c的取值范圍．

解三角形中的最值與范圍問(wèn)題是高考數(shù)學(xué)的一類熱點(diǎn)題型，幾乎每年必考．通過(guò)以上的例題與練習(xí)題我們發(fā)現(xiàn)，解決該類問(wèn)題的方法主要有統(tǒng)一化角，將問(wèn)題轉(zhuǎn)為三角函數(shù)值域問(wèn)題，或是根據(jù)已知條件利用基本不等式求得最值．有時(shí)也需要用到極限的思想，通過(guò)考慮極端位置來(lái)確定取值范圍．每種方法中都有需要注意的關(guān)鍵點(diǎn)，比如統(tǒng)一化角時(shí)一定要清楚角的范圍，利用基本不等式時(shí)要注意等號(hào)成立的條件．通過(guò)此文，希望讀者對(duì)解三角形中的范圍與最值問(wèn)題理解更深刻，思路更開(kāi)闊，解題更靈敏．