◇ 四川 尹大貴

“三角”問題歷來是高考考查的重點，高考中除了重點考查三角函數(shù)和解三角形等純“三角”知識外，以“三角”為載體的數(shù)學(xué)問題或“三角”方法在解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用，也常常被高考命題者青睞．本文以2020年高考試題為例，探究高考中的“三角”元素．

1 充要條件判斷中的“三角”元素

例1（2020年北京卷）已知α，β∈R，則“存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ”是“sinα＝sinβ”的（ ）．

A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件

解析

當(dāng)存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ時，若k為偶數(shù)，則sinα＝sin（kπ＋β）＝sinβ；若k為奇數(shù)，則sinα＝sin（kπ－β）＝sin[（k－1）π＋πβ]＝sin（π－β）＝sinβ．

當(dāng)sinα＝sinβ時，α＝β＋2mπ或α＋β＝π＋2mπ，m∈Z，即α＝kπ＋（－1）kβ（k＝2m）或kπ＋（－1）kβ（k＝2m＋1），故存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ．

綜上，“存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ”是“sinα＝sinβ”的充要條件．故選C．

點評

本題是以三角函數(shù)誘導(dǎo)公式為背景的充要條件判斷問題，考查了充要條件的判斷、三角誘導(dǎo)公式及分類討論思想的運用．

2 圖象判斷中的“三角”元素

例2（2020年浙江卷）函數(shù)y＝xcosx＋sinx在區(qū)間[－π，π]的圖象大致為（ ）．

解析

因為f（x）＝xcosx＋sinx，則f（－x）＝－xcosx－sinx＝－f（x），即f（x）為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，所以選項C，D錯誤；當(dāng)x＝π時，f（π）＝π cosπ＋sinπ＝－π＜0，所以選項B錯誤．故選A．

點評

本題需先確定函數(shù)的奇偶性，然后結(jié)合函數(shù)在x＝π處的函數(shù)值排除錯誤選項．函數(shù)圖象的辨識可從以下幾個方面入手篩選選項:1）利用函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；2）利用函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；3）利用函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；4）利用函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；5）利用函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象．

3 數(shù)學(xué)文化中的“三角”元素

例3（2020年北京卷）2020年3月14日是全球首個國際圓周率日．歷史上，求圓周率π的方法有多種，與中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”相似，數(shù)學(xué)家阿爾·卡西的方法是當(dāng)正整數(shù)n充分大時，計算單位圓的內(nèi)接正6n邊形的周長和外切正6n邊形（各邊均與圓相切的正6n邊形）的周長，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為2 π的近似值．按照阿爾·卡西的方法，π的近似值的表達式是（ ）．

解析

內(nèi)接正6n邊形的每條邊所對應(yīng)的圓周角為，每條邊長為，所以單位圓的內(nèi)接正6n邊形的周長為；外切正6n邊形的每條邊長為，其周長為，所以

點評

本題先計算單位圓的內(nèi)接正6n邊形和外切正6n邊形的周長，再利用它們的算術(shù)平均數(shù)作為2 π的近似值得出結(jié)果，體現(xiàn)了三角函數(shù)應(yīng)用的廣泛性．

4 數(shù)學(xué)應(yīng)用中的“三角”元素

例4（2020年新高考卷Ⅰ）某中學(xué)開展勞動實習(xí)，學(xué)生加工制作零件，零件的截面如圖1所示．O為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心，A是圓弧AB與直線AG的切點，B是圓弧AB與直線BC的切點，四邊形DEFG為矩形，BC⊥DG，垂足為C，，BH∥DG，EF＝12cm，DE＝2cm，A到直線DE和EF的距離均為7cm，圓孔半徑為1cm，則圖中陰影部分的面積為________cm2．

圖1

解析

設(shè)OB＝OA＝r，如圖2，AM＝AN＝7，EF＝12，所以NF＝5．因為AP＝5，所以∠AGP＝45°，因為BH∥DG，所以∠AHO＝45°．

因為AG與圓弧AB相切于A點，所以O(shè)A⊥AG，即△OAH為等腰直角三角形．

在Rt△OQD中，所以，即解得

等腰直角△OAH的面積4，扇形AOB的面積，所以陰影部分的面積為

圖2

點評

本題主要考查三角函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用，把陰影部分合理分割是求解的關(guān)鍵，以勞動實習(xí)為背景，體現(xiàn)了五育并舉的育人方針．

5 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的“三角”元素

例5（2020年全國卷Ⅱ）已知函數(shù)f（x）＝sin2xsin2x．

（1）討論f（x）在區(qū)間（0，π）的單調(diào)性；

（3）設(shè)n∈N?，證明:sin2xsin22xsin24x·…·

解析

（1）易知f（x）＝2 sin3xcosx，則

當(dāng)x∈（0，π）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x∈3時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．

（2）注意到f（x＋π）＝sin2（x＋π）·sin[2（x＋π）]＝sin2xsin2x＝f（x），故f（x）是周期為π的函數(shù)．

結(jié)合（1）的結(jié)論，可得f（0）＝f（π）＝0，

（3）由（2）的結(jié)論可得

點評

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性、極值（最值）最有效的工具，本題以三角函數(shù)為背景考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，也考查了變換、放縮等解題技巧．