◇ 北京 王慧興（特級(jí)教師）

2020年是強(qiáng)基計(jì)劃實(shí)施元年，筆者研究了北京大學(xué)、清華大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)、中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)、上海交通大學(xué)等著名高校強(qiáng)基計(jì)劃?？荚囶}，發(fā)現(xiàn)試題內(nèi)容涉獵全面，大體上可分為6個(gè)層次，且試題突出表現(xiàn)出強(qiáng)基計(jì)劃?？紨?shù)學(xué)試題傳承高校自主招生考試的命題風(fēng)格，與高考保持鮮明互補(bǔ)．

1 銜接高考，檢測(cè)基本技能

強(qiáng)基計(jì)劃校考數(shù)學(xué)試題中存在與高考試題風(fēng)格一致的題目，與高考銜接，旨在檢測(cè)考生基礎(chǔ)知識(shí)與基本數(shù)學(xué)技能，但這部分題目占比較小．因此，強(qiáng)基計(jì)劃校考與高考互補(bǔ)又銜接．

表1

例1（中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)?？荚囶}）求所有的a∈R，使得函數(shù)f（x）＝x3＋ax2－x＋1－a，滿足|f（x）|≥|x|，?x∈[－1，1]．

解析

直接驗(yàn)證，可知x＝－1，0，1對(duì)a不起限制

作用，則

先求S1＝{a∈R|a（x2－1）＋x3－x＋1≤－|x|，?x∈（－1，0）∪（0，1）}．

令正數(shù)t→0，得，所以實(shí)數(shù)a不存在，即S1＝?．

再求S2＝{a∈R|a（x2－1）＋x3－x＋1≥|x|，?x∈（－1，0）∪（0，1）}．

?x∈（－1，0）∪（0，1），都有a（x2－1）≥|x|－1－（x2－1）x，所以

綜上，符合題意的實(shí)數(shù)a的取值范圍是

點(diǎn)評(píng)

探究恒成立問(wèn)題的參數(shù)取值范圍是高考與強(qiáng)基計(jì)劃?？嫉某？碱}型，但強(qiáng)基計(jì)劃校考對(duì)參數(shù)情境設(shè)置較復(fù)雜，對(duì)考生有條理地分類討論能力有更高要求．

例2（北京大學(xué)?？荚囶}）正整數(shù)n≥3稱為理想數(shù)，若存在正整數(shù)1≤k≤n－1，使得成等差數(shù)列，則不超過(guò)2020的理想數(shù)個(gè)數(shù)為（ ）．

A．40 B．41 C．42 D．前三個(gè)都不對(duì)

解析

所以n＋2＝l2（l∈N?，l≥3）為完全平方數(shù)，即n＝l2－2（l∈N?，l≥3）．由3≤n＝l2－2≤2020，得5≤l2≤2022，則，故3≤l≤44，理想數(shù)n＝l2－2共有42個(gè)．

綜上，選C．

點(diǎn)評(píng)

本題以高中數(shù)學(xué)教材內(nèi)容立意試題，引領(lǐng)考生深入變式探究．

2 開闊視野，拓展思維，增強(qiáng)靈活性

強(qiáng)基計(jì)劃?？紨?shù)學(xué)命題不會(huì)刻意回避陳題，不少題目源于過(guò)往的各級(jí)各類競(jìng)賽題或高校自主招生試題，留有過(guò)往試題的痕跡，屬于推陳出新．

表2

例3（復(fù)旦大學(xué)?？荚囶}）設(shè)若

則cos（x＋2y）＝________．

解析

對(duì)題設(shè)條件進(jìn)行三角變換，得

點(diǎn)評(píng)

本題是基于早期全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題的推陳出新．

例4（上海交通大學(xué)?？荚囶}）用同樣大小的正n邊形平鋪整個(gè)平面（沒(méi)有重疊），若要將整個(gè)平面鋪滿，則n的值為________．

解析

題設(shè)條件等價(jià)于

點(diǎn)評(píng)

本題源于2019年復(fù)旦大學(xué)自主招生考試的試題．

3 面向創(chuàng)新，新穎靈巧，檢測(cè)快速反應(yīng)能力

強(qiáng)基計(jì)劃?？紨?shù)學(xué)試題中常出現(xiàn)給出新概念、建立新運(yùn)算、設(shè)置新結(jié)構(gòu)的試題，以檢測(cè)考生迅速、準(zhǔn)確理解與運(yùn)用的探究能力，題目設(shè)計(jì)新穎靈巧，突出代數(shù)靈活性，檢測(cè)考生快速反應(yīng)能力．

表3

例5（北京大學(xué)校考試題）函數(shù)的最大值是（ ）．

D．前三個(gè)答案都不對(duì)

解析

調(diào)整結(jié)構(gòu)，得

圖1

點(diǎn)評(píng)

代數(shù)式靈活變形廣泛地表現(xiàn)在代數(shù)式化簡(jiǎn)、求值、解方程、解不等式、探求最值等多個(gè)方面，以檢測(cè)考生整體把握與快速反應(yīng)能力．

例6（北京大學(xué)?？荚囶}）設(shè)x，y，z，w滿足x≥y≥w，且x＋y≤2（w＋z），求的最小值．

解析由題設(shè)條件將目標(biāo)變量適度放縮，尋求下界，即

其中等號(hào)成立的條件是

點(diǎn)評(píng)強(qiáng)基計(jì)劃?？荚囶}繼承自主招生的命題風(fēng)格，對(duì)代數(shù)式靈活變形有較高要求．

4 突出高考弱化的或長(zhǎng)期不考的內(nèi)容

從強(qiáng)基計(jì)劃實(shí)施元年高校的?？荚囶}看，高校校考十分重視考生全面把握數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)能力，?？疾幌窀呖寄菢佑忻鞔_界定不考的內(nèi)容，而是全面檢測(cè)考生數(shù)學(xué)素養(yǎng)與關(guān)鍵能力．強(qiáng)基計(jì)劃?？甲⒅卦诟呖既趸幜⒁庠囶}，以檢測(cè)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力．

表4

例7（北京大學(xué)?？荚囶}）對(duì)一切x，y＞0，都有，則實(shí)數(shù)a的最小值是（ ）．

A．8 B．9 C．10 D．前三個(gè)答案都不對(duì)

解析

所以，f≤9，其中等號(hào)在時(shí)取到，故amin＝9，選B．

點(diǎn)評(píng)

多元最值在高考中常以選考題的形式出現(xiàn)，通常用于檢測(cè)二元、三元均值不等式或三維柯西不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，不需要平衡系數(shù)．但這些知識(shí)在強(qiáng)基計(jì)劃?？贾徐`活性較強(qiáng)、難度較大．譬如，本題需要平衡系數(shù)，需要參數(shù)調(diào)控，引入a＞0，

例8（中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)?？荚囶}）曲線f（x）＝的離心率為________．

解析

所以，曲線C的方程為

圖2

點(diǎn)評(píng)

如果已經(jīng)知道這個(gè)函數(shù)圖象是雙曲線，就不必再進(jìn)行旋轉(zhuǎn)了，直接按照公式計(jì)算，即

例9（北京大學(xué)?？荚囶}）從☉O:x2＋y2＝4上一點(diǎn)作橢圓的切點(diǎn)弦，求切點(diǎn)弦圍成的面積．

解析

如圖3所示，過(guò)☉O:x2＋y2＝4上一點(diǎn)P（2 cost，2 sint）作橢圓的切線PA，PB（A，B為切點(diǎn)），則直線AB的方程為xcost＋2ysint＝1，這個(gè)直線系的包絡(luò)線是一個(gè)橢圓，直線xcost＋2ysint＝1又是橢圓E′在點(diǎn)R（acost，bsint）處的切線，即，所以a＝1，，故題設(shè)切點(diǎn)弦圍成的包絡(luò)線是橢圓E′:x2＋4y2＝1，其面積為

圖3

點(diǎn)評(píng)

與圓錐曲線有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)軌跡早已是高考的弱化考點(diǎn)，但其在強(qiáng)基計(jì)劃?？贾谐３３霈F(xiàn)，本題主要考查直線系的包絡(luò)線——橢圓的面積計(jì)算．

例10（中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)?？荚囶}）已知

證明取，并且

從而存在n∈N?，滿足

對(duì)這樣的正整數(shù)n，題設(shè)不等式不成立．

綜上，命題得證．

點(diǎn)評(píng)

高考檢測(cè)了考生導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用能力，但極限、連續(xù)性與積分都不是高考內(nèi)容．極限與連續(xù)性是微積分的基礎(chǔ)，導(dǎo)數(shù)與定積分都是以極限定義的，也離不開連續(xù)性，尤其是定積分的根本算法——微積分基本定理，它是17世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)成就．因此對(duì)極限與定積分，強(qiáng)基計(jì)劃?？济}會(huì)持續(xù)關(guān)注．

例11（清華大學(xué)校考試題）sin（arctan1＋

解析

故得

點(diǎn)評(píng)

現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教材中只提及了反三角函數(shù)的概念，因此，反三角函數(shù)的性質(zhì)及其運(yùn)算高考已長(zhǎng)期不考，但反三角函數(shù)求值在強(qiáng)基計(jì)劃校考中常常出現(xiàn)．

例12（北京大學(xué)?？荚囶}）設(shè)a，b，c，d是方程x4＋2x3＋3x2＋4x＋5＝0的4個(gè)復(fù)根，則的值是（ ）．

D．前三個(gè)答案都不對(duì)

解析

按題意，a＋b＋c＋d＝－2，ab＋ac＋ad＋bc＋bd＋cd＝3，abc＋abd＋acd＋bcd＝－4，abcd＝5，所以

故選A．

點(diǎn)評(píng)復(fù)數(shù)是高考長(zhǎng)期弱化的內(nèi)容，在高考中，復(fù)數(shù)的考查僅停留在四則運(yùn)算與模和共軛概念的層面．但強(qiáng)基計(jì)劃?？紝?duì)復(fù)數(shù)的檢測(cè)力度比較大，譬如共軛與模的性質(zhì)、復(fù)數(shù)與方程、復(fù)數(shù)與三角、復(fù)數(shù)與幾何、復(fù)數(shù)與多項(xiàng)式、單位根性質(zhì)等都會(huì)出現(xiàn)．

例13（上海交通大學(xué)?？荚囶}）從2個(gè)紅球、3個(gè)黑球、5個(gè)白球中任意取出6個(gè)，有________種不同取法．

解析同色球之間無(wú)區(qū)分，分類十分復(fù)雜，因此可用母函數(shù)構(gòu)建計(jì)數(shù)方法，取球的方法數(shù)就是以下多項(xiàng)式中6次項(xiàng)系數(shù)和，即

再簡(jiǎn)化一下，就是以下單變量多項(xiàng)式中x6的系數(shù)和，即

其中x6的系數(shù)為

點(diǎn)評(píng)如果同色球之間也有區(qū)別，則應(yīng)分11類計(jì)數(shù)，即．高考中組合計(jì)數(shù)考查難度較低，課標(biāo)反復(fù)強(qiáng)調(diào)不要搞“基于組合計(jì)數(shù)的概率計(jì)算”，但強(qiáng)基計(jì)劃?？荚囶}考查內(nèi)容與之互補(bǔ)，組合計(jì)數(shù)與概率是高頻考點(diǎn)，而且難度較大，對(duì)分類能力要求較高，對(duì)計(jì)數(shù)轉(zhuǎn)化方法要求也較多，僅靠列舉法不能滿足計(jì)數(shù)要求．

5 突出高考根本不考的內(nèi)容

這些內(nèi)容突出表現(xiàn)在幾何計(jì)算、組合計(jì)數(shù)、推理、極值與構(gòu)造、整數(shù)分析等方面，也包括思維方式上的差異，題目立意精巧，對(duì)閱讀理解與快速反應(yīng)能力要求高．

表5

例14（中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)?？荚囶}）給定整數(shù)n＞1，在（1，2，…，n）的全排列（a1，a2，…，an）中，稱ai＜aj（1≤i＜j≤n）為一個(gè)順序?qū)?，則一個(gè)全排列（a1，a2，…，an）中順序?qū)€(gè)數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，則E（X）＝________．

解析

（1，2，…，n）的全排列（a1，a2，…，an）共有n!個(gè)，每一個(gè)（a1，a2，…，an）出現(xiàn)的概率都是，所以

點(diǎn)評(píng)

配對(duì)與分組是典型的組合思維方法，高考中很少涉及組合分析能力．

例15（復(fù)旦大學(xué)校考試題）方程3x＋4y＋12z＝2020的非負(fù)整數(shù)解個(gè)數(shù)是（ ）．

解析

因?yàn)?x＋4y＋12z＝2020，所以4|x，記x＝4x1（x1∈N），方程化為3x1＋y＋3z＝505；模3，得y＝1（mod3），記y＝3y1＋1（y1∈N），方程化為x1＋y1＋z＝168．所以原方程的非負(fù)整數(shù)解（x，y，z）的個(gè)數(shù)等于非負(fù)整數(shù)組（x1，y1，z）的個(gè)數(shù)，即，選C．

點(diǎn)評(píng)關(guān)于不定方程正整數(shù)解或非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)，有一個(gè)典型結(jié)論:方程x1＋x2＋…＋xn＝m（m，n∈N?）有個(gè)非負(fù)整數(shù)解（x1，x2，…，xn）；當(dāng)m≤n時(shí)，有個(gè)正整數(shù)解（x1，x2，…，xn）．基于這一結(jié)論的組合計(jì)數(shù)問(wèn)題是強(qiáng)基計(jì)劃?？嫉某？碱}型．

例16（復(fù)旦大學(xué)?？荚囶}）已知m，n∈Z，0≤n≤11，滿足22020＋32021＝12m＋n，則n＝________．

解析

由22020＋32021≡1（mod3），得22020＋32021＝3x＋1（x∈N?）；再由22020＋32021≡3（mod4），得3x＋1≡3（mod4）?3x≡2（mod4）?x≡2（mod4）?x＝4y＋2（y∈N?）?22020＋32021＝3（4y＋2）＋1＝12y＋7（y∈N?）?（m，n）＝（y，7），故n＝7．

點(diǎn)評(píng)上面是基于帶余除法的余數(shù)分析，也可由中國(guó)剩余定理進(jìn)行快捷求解．因?yàn)?2020＋32021≡1（mod3）以及22020＋32021≡3（mod4），由（3，4）＝1，根據(jù)中國(guó)剩余定理，得22020＋32021≡7（mod12），故n＝7．

例17在數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝4，且－an－1an＋1＝2n－1（n≥2，n∈N?），求a2020的個(gè)位數(shù)．

解析

把數(shù)列遞推關(guān)系線性化，再對(duì)數(shù)列{an}作模10分析即可得解．

先證an≠0（n∈N?），可加強(qiáng)證明an＋1＝4an－2an－1，an＋1＞an＞0（n≥2）．

由初始條件，得 0＜a1＜a2＜a3，且a3＝4a2－2a1．

假設(shè)已有ai＋1＝4ai－2ai－1（i＝2，3，…，n），且

由已知遞推公式，得

故得ai＋1＝4ai－2ai－1（i＝2，3，…，n＋1），且0＜a1＜a2＜…＜an＜an＋1＜an＋2，所以an＋2＝4an＋1－2an（n∈N?）．

如下取模，找各項(xiàng)個(gè)位數(shù)字的周期性:{an}（mod10）:1，4，4，8，4，0，2，8，8，6，8，0，4，6，6，2，6，0，8，2，2，4，2，0，6，4，4，8，4，0，…，所以從第2項(xiàng)開始呈現(xiàn)周期性，周期T＝24；取bn＝an＋1（n∈N?），得{bn}是一個(gè)周期為T＝24的模10數(shù)列，故a2020＝b2019＝b84×24＋3≡b3＝a4≡8（mod10）．

綜上，故a2020的個(gè)位數(shù)是8．

點(diǎn)評(píng)

例18凸五邊形ABCDE的對(duì)角線CE分別與對(duì)角線BD，AD交于點(diǎn)F，G，已知BF∶FD＝5∶4，AG∶GD＝1∶1，CF∶FG∶GE＝2∶2∶3，則△CFD，△ABE的面積比S△C F D∶S△A B E＝（ ）．

A．8∶15 B．2∶3

C．11∶23 D．前三個(gè)答案都不對(duì)

解析

如圖4，記S△C F D＝s，則S△D F G＝s，

圖4

圖5

如圖5，延長(zhǎng)BA交CE于X，記CF＝FG＝2t，則GE＝3t；記EX＝t′，由直線BX截△DGF，應(yīng)用梅涅勞斯定理，得

所以

因?yàn)?/p>

所以

故S△C F D∶S△A B E＝8∶15，選 A．

點(diǎn)評(píng)

高考已不再出現(xiàn)單純的平面幾何題目，但強(qiáng)基計(jì)劃?？贾凶⒅貦z測(cè)平面幾何的推證與計(jì)算，從強(qiáng)基計(jì)劃實(shí)施元年試題看，各校注重的是與比例有關(guān)的推證與計(jì)算，求解也涉及梅涅勞斯定理、塞瓦定理等．

例19（上海交通大學(xué)校考試題）函數(shù)f（x）＝|x2－a|（x∈[－1，1]）的最大值記作M（a），則M（a）的最小值是________．

解析

按題意，一方面，有

另一方面，取

點(diǎn)評(píng)

通常解題時(shí)會(huì)先求出M（a）的表達(dá)式，將函數(shù)化成單變量函數(shù)求最值．這里應(yīng)用插值法建立最值下界，再用極端性思想探求最值上界，上下界擠夾求得復(fù)合最值．復(fù)合最值是有挑戰(zhàn)性的一類問(wèn)題，在強(qiáng)基計(jì)劃?？贾袑儆诟哳l考點(diǎn)．

6 大學(xué)先修課程

表6

例20（復(fù)旦大學(xué)?？荚囶}）已知P為直線

解析

點(diǎn)評(píng)

強(qiáng)基計(jì)劃?？紨?shù)學(xué)試題要求考生掌握低階行列式展開計(jì)算．

例21（北京大學(xué)?？荚囶}）若函數(shù)f（x）＝x5＋px＋q有有理根，并且正整數(shù)p，q≤100，求滿足條件的有序數(shù)對(duì)（p，q）的個(gè)數(shù)．

解析

由p，q是正整數(shù)，所以整系數(shù)多項(xiàng)式f（x）無(wú)正根，也沒(méi)有零根，記其有理根，其中（u，v）＝1，不妨設(shè)v＜0，u＞0．

情形1v＝－1，1＋p＝q∈{1，2，3，…，100}，從而q∈{2，3，…，100}，故這樣的有序數(shù)組（p，q）＝（q－1，q）共計(jì)99個(gè)．

情形2v＝－2，2p＋32＝q≤100，從而p∈{1，2，…，34}，故這樣的有序數(shù)組（p，q）＝（p，2p＋32）共計(jì)34個(gè)．

綜上，由分類加法原理，易得滿足題意的有序數(shù)組（p，q）的個(gè)數(shù)為99＋34＝133個(gè)．

點(diǎn)評(píng)

本題雖然是組合計(jì)數(shù)，但要了解整系數(shù)高次方程有理根的判別方法．