張柯慧，楊華龍，辛禹辰，劉清奇

(大連海事大學交通運輸工程學院，遼寧 大連 116026)

1 引言

在消費品零售行業(yè)實踐中，出于庫存資源等限制，缺貨情況在零售商品聯(lián)合訂貨中不可避免地存在著[1]。隨著商品購買渠道的豐富及商品同質化競爭的加劇，顧客在購買決策中常常占據(jù)主導地位，而且當顧客在發(fā)現(xiàn)意向商品缺貨時，通常會做出以下三種反應：一是放棄購買；二是延期購買；三是購買替代品。顧客對待缺貨的不同反應對商品及其替代品需求都會產生很大的影響。當零售商銷售多種產品時，其決策可能會受到多種資源約束條件的限制，如資金預算的約束、倉庫容量的約束等，忽略資源約束條件會產生非可行解[2]。因此，綜合考慮顧客缺貨反應(Customer Response to Stock-out，CRS)和資源約束條件下的聯(lián)合庫存決策已成為零售商面臨的一項關鍵決策問題。

Gruen等[3]調查了不同種類產品的CRS情況，通過分析調查報告數(shù)據(jù)，深入研究了缺貨對顧客購買行為的影響，提出零售商要根據(jù)產品缺貨時顧客的三種反應做出適當?shù)膸齑嬗嗀洓Q策。然而部分文獻認為缺貨只會給零售商帶來危害，假設顧客遇到缺貨時只會選擇放棄購買，認為在訂貨模型中設定缺貨懲罰成本即可[4]。若顧客選擇延遲購買，則決策者根據(jù)延遲購買成本對收益的影響程度對各產品最大的延遲購買水平進行決策[5]。CRS中最為復雜的顧客反應是購買替代品的情況，即若打算購買的原產品缺貨時，顧客可能會購買另一種具有相似特性的產品。由于購買替代品將會導致替代品間的需求發(fā)生變化，從而對零售商聯(lián)合庫存訂貨決策產生很大的影響。因此，顧客購買替代品時的零售商聯(lián)合庫存訂貨問題已受到越來越廣泛的關注[6-7]。Shin等[8]整理了1974-2013年基于缺貨情況替代的文獻，發(fā)現(xiàn)了零售商的目標是通過優(yōu)化每種產品的庫存水平來實現(xiàn)利潤最大化。Gürler和Yilmaz[9]研究有雙向替代關系的兩種產品的庫存協(xié)同問題。Huang Di等[10]進一步在競爭性報販模型下，研究存在部分替代品的多產品單周期聯(lián)合訂貨問題，并在算例中舉出兩種產品的情況。但這些研究都忽略了資源受限的情況，且沒有考慮替代上限。在現(xiàn)實市場環(huán)境中，零售商可用的庫存資源(如貨架空間、資金等)通常是有限的，認識到考慮CRS能提高零售商貨架空間分配的重要性，Gilland和Heese[11]進一步在只考慮了兩種產品動態(tài)替代的情況下，研究了零售商如何在貨架空間有限環(huán)境下優(yōu)化分配替代品貨架資源問題。另外，價格也是影響顧客購買決策的關鍵因素，Diels等[12]考慮了促銷活動的推動作用，構建了考慮CRS的零售商聯(lián)合訂貨模型。在此基礎上，Peinkofer等[13]進一步研究了在線零售環(huán)境下價格促銷對CRS的影響。

通常情況下，消費品零售商的庫存資源都是有限的，設置安全庫存又阻礙著零售商補充貨源的能力。因此，對于銷售周期明顯的產品，為了克服庫存資源的限制，制定兩階段或多階段決策是零售商的可選策略之一。Braglia等[14]采用自由分布法來規(guī)避缺乏完全信息的情況，將產品訂貨分成兩個階段：第一階段所有產品一起訂貨，第二階段針對一些特殊產品進行再訂貨。Tsai Pochien和Huang Jiayen[15]提出采用兩階段訂貨策略，先根據(jù)預測或假設檢驗等方法獲得初始訂貨量，再通過支撐向量機方法調整再訂貨量。隨著準時制(Just in time，JIT)理念的逐漸成熟，供應商和零售商也愿意接受在一定供應合同下的JIT庫存控制策略[16]。尤其是在缺貨時，顧客的替代需求也是基于替代品的現(xiàn)有存貨情況而改變的，因此，零售商在聯(lián)合訂貨時需要考慮JIT庫存策略。然而由于零售行業(yè)中商品種類繁多，現(xiàn)有文獻在聯(lián)合訂貨問題研究中大都僅考慮資源緊缺和CRS情況，卻很少考慮JIT策略。由此，一方面忽視了產品與其替代品之間需求的依賴關系，出現(xiàn)替代品缺貨的情況；另一方面又可能出現(xiàn)其它產品庫存剩余，導致資源浪費的情況。此外，由于不同類別產品CRS對庫存訂貨問題的牛鞭效應影響不同。因此，針對不同類別的產品應采用不同的庫存決策方法[17]，但現(xiàn)有研究大都僅考慮缺貨產品及其替代品一組產品的聯(lián)合庫存訂貨問題，忽視了CRS在產品類別和品牌之間的差異性。

鑒于此，本文在現(xiàn)有研究的基礎上，綜合考慮CRS及資源限制對訂貨決策的影響，從以下兩方面進行擴展研究：一是依據(jù)JIT庫存策略，提出資源限制條件下兩階段訂貨時均采取JIT庫存策略的聯(lián)合訂貨決策；二是借助CRS規(guī)律，將產品組由一組擴展至多組，提出考慮CRS的多產品兩階段JIT聯(lián)合訂貨決策，以期實現(xiàn)零售商資源的合理利用及其收益的最大化。

2 問題描述

由圖1可見，在資源限制的條件下，零售商首先需將一個銷售周期劃分為兩個訂貨階段進行多產品聯(lián)合訂貨。其次，根據(jù)顧客在缺貨時購買替代品的情況，將聯(lián)合訂貨的產品按相互替代性劃分為多組。然后，利用JIT庫存準則并依據(jù)CRS三種反應的比例系數(shù)，確定每個階段最優(yōu)的訂貨量，以使收益最大化。

圖1 兩階段CRS流程

根據(jù)前面的問題描述，為了便于構建模型，本文做以下假設：(1)兩次訂貨的提前期均為零；(2)替代情況只在一種產品缺貨，其替代品有多余存貨時發(fā)生，且替代品多余的存貨可以全部替代缺貨產品；(3)為保證服務水平，本周期各種產品的兩階段訂購量大于最低服務水平a要求的訂貨量。

3 模型構建

3.1 符號及定義

Wmi表示第m組中產品i每單位產品所占資源；

W表示零售商資源的上限；

Umi表示供應商第m組中產品i的供應上限；

Lmi表示供應商第m組中產品i的供應下限；

U表示供應商對所有產品一次訂購批量的供應上限；

L表示供應商對所有產品一次訂購批量的供應下限；

G表示每次固定訂貨成本；

K表示產品固定倉儲費(也可以是共同承擔的店面成本或庫存維持成本)

a表示顧客服務水平的下限；

Smi表示第m組中產品i缺貨時其同組產品的替代比例上限；

3.2 訂貨決策模型

由問題描述可知，在第1階段第m組中產品i(i∈Am)滿足顧客原始需求的銷售量為：

(1)

產品i(i∈Am)的缺貨量為：

(2)

(3)

(4)

(5)

在第1階段結束時，根據(jù)JIT庫存策略，第m組中產品i(i∈Am)沒有剩余。

在第2階段，第m組中產品i(i∈Am)滿足顧客原始需求的銷售量為：

(6)

第m組中產品i的缺貨量為：

(7)

對于有替代關系第m組中產品i和產品j：

(8)

(9)

(10)

由于期末不會有剩余產品，因此，本周期零售商的總成本為：

(11)

于是，可構建如下考慮CRS的多產品兩階段JIT聯(lián)合訂貨決策模型(M1)：

目標函數(shù)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

?m∈{1,…,M},?i,j∈{nm-1+1,…,nm}

(26)

?m∈{1,…,M},?i,j∈{nm-1+1,…,nm}

(27)

(28)

(29)

目標函數(shù)式(12)表示零售商兩階段聯(lián)合訂貨的總收益最大化；約束條件式(13)和式(14)分別表示第1階段和第2階段聯(lián)合訂貨時要滿足零售商的資源限制；約束式(15)表示每種產品第1階段的總訂貨量不能超過在第1階段的需求量與其他替代品缺貨時最多能替代的數(shù)量，這樣就能保證第一階段結束時每種產品都沒有剩余庫存；約束式(16)和式(17)表示供應商設定的每種產品最低和最高訂購數(shù)量條件；約束式(18)和式(19)表示供應商設定的所有產品一次訂購的最低和最高數(shù)量條件；約束式(20)表示在第1階段和第2階段的訂貨量，加上在兩個階段其缺貨時被同組其他產品的替代量，或減去在兩個階段其不缺貨時替代同組其他缺貨產品的替代量不大于每種產品的需求；約束式(21)表示周期內兩個階段的原產品需求滿足率(服務水平)不能低于a；約束式(22)和式(23)表示第1階段產品滿足顧客原始需求的銷售量約束；約束式(24)和式(25)表示第2階段產品滿足顧客原始需求的銷售量約束；約束式(26)和式(27)分別表示第1階段和第2階段每種產品缺貨時的替代率關系，其中，同組其他產品的替代率之和不能超過該產品的替代率上限；約束式(28)表示每種產品第2階段的訂貨量必須滿足在第1階段缺貨時，選擇延遲購買到貨的顧客需求，且不能超過延遲購買量與第2階段需求量以及在同組其他產品缺貨時最多能替代的數(shù)量之和；約束式(29)表示變量取值均為非負。

4 算法設計

聯(lián)合訂貨(Joint Replenishment Problem，JRP)問題屬于NP完全問題[19]，本文構建的考慮CRS的多產品兩階段JIT聯(lián)合訂貨模型，是JRP模型在JIT庫存策略和多組替代產品方面的擴展，模型M1目標函數(shù)和約束條件中均含有決策變量的分段函數(shù)和非線性項，因而難以得出解析最優(yōu)解[20]。由于帝國主義競爭算法(Imperialist Competitive Algorithm，ICA)在非線性優(yōu)化問題求解方面具有收斂速度快、收斂精度高和較強的全局收斂性等特點，且在計算時間方面通常比其他基于群體的元啟發(fā)式更好[21]。近年來在JRP領域，ICA已得到了廣泛的關注和應用[22]。但ICA存在陷入局部最優(yōu)解的可能[23]，為此，本文根據(jù)模型M1的特點，在初始解生成和殖民地國家革命方式方面，對ICA算法加以改進以便快速地獲取近似最優(yōu)解，具體步驟如下：

步驟2計算每個初始解(國家)所對應的模型M1目標函數(shù)值，按目標函數(shù)值fn(n∈{1,…,Npop})從大到小順序，以一定的比例從初始國家群體中選出Nimp個作為初始帝國主義國家群體，剩余的(Npop-Nimp)個群體作為殖民地國家群體。

步驟3根據(jù)帝國主義國家的勢力(目標函數(shù)值)大小劃分殖民地。每個帝國的殖民地國家個數(shù)按照式(30)計算：

(30)

步驟4對每一個帝國主義國家，將其占領的殖民地國家進行同化，即被其占領的每個殖民地國家，按照給定的同化系數(shù)β(β>1)和偏移方向γ，向其所屬帝國主義國家移動。圖2顯示了一個殖民地國家向所屬帝國主義國家移動的情形：

圖2 殖民地向帝國主義國家移動

步驟6選擇最弱的帝國中最弱的殖民地作為帝國競爭的對象，勢力越大的帝國越有可能占有該殖民地。但為了避免陷入局部最優(yōu)，通過引入帝國競爭殖民地國家的實際概率，使得最弱的殖民地國家轉移到占有殖民地國家實際概率最大的帝國中，而未必轉移到勢力最大的帝國中[24]。具體過程如下：

(31)

(32)

接下來，由均勻分布U(0,1)生成每個帝國占有殖民地國家的偏離概率rn：

rn～U(0,1)n∈{1,…,Nimp}

(33)

(34)

此時，將最弱的帝國中最弱的殖民地并入到實際概率最大的帝國中。篩查所有帝國，將沒有殖民地的帝國移除，使其變?yōu)橹趁竦?。將迭代?shù)累加一次。

步驟7判斷是否達到迭代上限：若未達到，則轉到步驟4；若達到，則迭代結束，得到近似最優(yōu)解，算法終止。

5 數(shù)值分析

為了驗證模型和算法的有效性，本文首先從文獻[3]的研究報告中選取9組產品(注：該報告中每組產品的種類數(shù)量均為2)，結合該研究報告中各組產品缺貨下顧客選擇延遲購買、放棄購買和購買替代產品等美國和世界平均水平的CRS數(shù)據(jù)，得到可以兩兩相互替代18種產品的CRS數(shù)據(jù)emi和Smi。其次參照文獻[20]，給定各產品的所占庫容數(shù)據(jù)Wmi。然后，在假定利用以往的銷售數(shù)據(jù)分析預測得到各產品需求數(shù)據(jù)Dmi的基礎上，依據(jù)兩階段JIT聯(lián)合訂貨策略實際，設定各產品訂貨量的上下限、在第1階段的集中系數(shù)、產品進價和售價等數(shù)據(jù)，如表1所示：

表1 模型參數(shù)數(shù)據(jù)

為了驗證模型在不同分組規(guī)模下的適用性，本文將實驗按產品數(shù)量分成3個規(guī)模，分別為：規(guī)模1含有前6種產品，規(guī)模2含前有12種產品，規(guī)模3含有全部18種產品。不同規(guī)模聯(lián)合訂貨的資源限制和成本情況如表2所示：

表2 不同規(guī)模問題的庫容和成本數(shù)據(jù)

顧客服務水平a取值為0.7，ICA主要參數(shù)取值如下：Npop=200，Nimp=30，β=2，γ=π/4，(β和γ的最佳擬合值分別為2和π/4)最大迭代次數(shù)為400，革命的概率為0.6。所有的測試問題都在具有3.10 GHz CPU和4 Gig RAM的Intel G3240處理器的個人計算機上解決。此外，所有算法都使用MATLAB R2016b軟件進行編碼。在給定的每個規(guī)模問題中，通過ICA來確定滿足收益最大化的所有產品兩階段聯(lián)合訂貨量。對于每個規(guī)模問題，運行15次，選取最優(yōu)的運行結果作為近似最優(yōu)解。

此外，為了驗證本文設計的改進ICA算法的有效性，這里將其同遺傳算法(GA)作對比，GA關鍵參數(shù)設置參照ICA相關參數(shù)設置，種群數(shù)量為200，迭代次數(shù)為400，交叉率為0.6，變異率為0.05，復制率為0.15。得到近似最優(yōu)解的質量與CPU運行時間如表3所示：

表3 改進ICA與GA的CPU時間與最優(yōu)解的質量對比

由表3可以看出，在3種規(guī)模算例數(shù)據(jù)下，本文設計的改進ICA方法的CPU運行時間都較短，可以滿足實際需要。而且其CPU運行時間和求解質量均優(yōu)于GA方法，且隨著問題規(guī)模的增加，采用改進的ICA算法，求得解的質量優(yōu)勢愈加顯著。

在規(guī)模1下，最優(yōu)訂貨決策結果如表4所示；在規(guī)模2下，最優(yōu)訂貨決策結果如表5所示；在規(guī)模3下，最優(yōu)訂貨決策結果如表6所示：

表4 規(guī)模1下的最優(yōu)訂貨決策

表5 規(guī)模2下的最優(yōu)訂貨決策

表6 規(guī)模3下的最優(yōu)訂貨決策結果

從表4-表6中可以看出，在3種規(guī)模下，產品1和產品3在兩階段存在缺貨，且存在顧客延遲到購買和由替代品替代的情況，其中產品3的替代率兩階段都達到了最大；在后2種規(guī)模下，產品7和8在兩階段都存在缺貨，且存在顧客延遲購買的情況，但都沒有替代情況出現(xiàn)；產品9只在規(guī)模2下的第1階段存在缺貨，且存在顧客延遲購買和以最大替代率被替代品替代的情況；在規(guī)模3下，產品13、14、15在兩階段都存在缺貨，產品13和產品15存在顧客延遲購買的情況，且只有產品15存在由替代品替代的情況；其中產品3的替代率在每次缺貨時都達到了最大替代；產品7和8在兩階段都存在缺貨。這表明，雖然在不同規(guī)模下，零售商聯(lián)合庫存的訂貨量決策結果略有差別，但顧客對缺貨產品的延遲購買和替代規(guī)律基本一致。此外，由上述δmi計算結果可知，存在缺貨替代情況的都是由單位資源機會收益高的產品替代收益低的產品，如產品2替代產品1，產品4替代產品3等。這是由于，在零售商聯(lián)合訂貨決策中，為了實現(xiàn)收益最大化的目標，即使可能導致低收益產品失去部分銷售機會，而同組產品間只能出現(xiàn)由高收益產品單向替代低收益產品的決策結果。

若零售商不考慮CRS進行多產品兩階段JIT聯(lián)合訂貨，即假定顧客在遇到缺貨時放棄購買，則該問題可轉換為一個背包問題進行求解。在3種規(guī)模下，考慮與不考慮CRS時的聯(lián)合訂貨決策收益結果對比如表7所示：

表7 考慮與不考慮CRS的收益

由表7的收益對比結果中可以看出，零售商考慮CRS時的收益均高于同樣規(guī)模下的不考慮CRS時的收益。這是由于考慮CRS后，不僅可以滿足部分顧客延遲購買和部分顧客購買替代品的需求，從而提高了顧客的服務水平，而且也增加了銷售機會和銷售量，提高了零售商的總收益。

在3種規(guī)模下，兩個階段產品的缺貨水平如圖3-圖5所示：

由圖3-圖5可以看出，在不同規(guī)模下，零售商在兩個階段缺貨的規(guī)律基本一致。且多數(shù)產品若在第1階段缺貨，在第2階段也易缺貨。

圖3 規(guī)模1下兩階段產品缺貨水平

圖4 規(guī)模2下兩階段產品缺貨水平

圖5 規(guī)模3下兩階段產品缺貨水平

在3種規(guī)模下，兩個階段的顧客服務水平如圖6所示：其中替代品滿足的替代需求部分計入原產品的服務水平。

由圖6對比3種規(guī)模下的顧客服務水平可以發(fā)現(xiàn)，在不同規(guī)模下，聯(lián)合訂貨的顧客服務水平變化趨勢大體一致。在規(guī)模1下，產品1的實際服務水平最低，其次是產品3；擴展至規(guī)模2時，產品7的實際服務水平最低，其次是產品1，然后是產品3；擴展至規(guī)模3時，產品13的實際服務水平最低，其次是產品7，接著是產品1、產品3、產品15、產品14。

圖6 不同訂貨規(guī)模下各種產品整個階段的實際服務水平

對上述3個規(guī)模的多產品聯(lián)合訂貨決策結果進行進一步的分析，可以發(fā)現(xiàn)：

(1)如果同組的產品及其替代品的單位資源機會收益相近，顧客從原產品轉換到替代品并不會增加太多收益，且產品失去銷售的機會成本可能會淹沒收益增加部分，所以替代情況不會發(fā)生。

(2)如果同組的產品及其替代品的單位資源機會收益相近，且其單位資源機會收益高于其他產品組的單位資源機會收益時，則該組產品都不會缺貨；而低于其他產品組的單位資源機會收益時，則該組產品可能會缺貨。

(3)如果同組的產品及其替代品單位資源機會收益差距較大,且其單位資源機會收益高于其他產品組的單位資源機會收益時，這個產品組便會出現(xiàn)缺貨和替代情況。單位資源機會收益小的產品會發(fā)生缺貨，單位資源機會收益大的產品會部分替代缺貨的產品。受產品替代比例上限的約束，單位資源機會收益小的產品仍會剩余部分資源。定義其單位剩余資源機會收益為：

(35)

6 結語

本文針對考慮CRS的零售商多種產品聯(lián)合訂貨決策問題，基于庫存資源限制因素和JIT庫存策略，構建了以零售商收益最大化為目標的多產品兩階段JIT聯(lián)合訂貨決策模型，并設計了帝國主義競爭求解算法，從Gruen等的研究報告中選取了18種產品，3個不同規(guī)模算例測試的結果驗證了模型和算法的有效性。本文的創(chuàng)新性工作主要包括：(1)提出并驗證了考慮CRS下，零售商多產品兩階段JIT聯(lián)合訂貨決策不僅能提高顧客服務水平，而且還能有效估計缺貨情況下的顧客需求，提高零售商的總收益。(2)在零售商庫存資源有限的前提下，提出了兩階段JIT聯(lián)合訂貨策略，分析了兩階段同組產品間的最大替代率以及單位資源機會收益的差距情況，當單位資源機會收益相近時，同組產品間不會發(fā)生替代情況，當高于其他產品組的單位資源機會收益時，則該組產品都不會缺貨，而當同組產品間的單位庫存資源機會收益差距較大,且高于其他產品組的單位庫存資源機會收益時，則該產品組便會出現(xiàn)缺貨和替代情況。(3)研究了由一組擴展至多組產品的聯(lián)合訂貨決策問題，既分析組內產品間的相互替代關系，又分析了產品組間的資源分配關系，其中產品組間的單位資源機會收益及單位剩余資源機會收益，是決定資源如何有效分配的主要因素，當同組產品間的單位庫存資源機會收益差距較大,該產品組出現(xiàn)缺貨和替代情況時，若該組缺貨產品的剩余資源單位機會收益小于其他組產品的單位資源機會收益，則該產品的剩余資源便會轉移給其他缺貨產品，出現(xiàn)缺貨引流現(xiàn)象。

基于本文，未來可從以下兩個方面進行更深入的研究：一是研究存在部分單向替代的聯(lián)合訂貨問題。二是研究考慮CRS的多階段聯(lián)合訂貨問題。