浙江 成金德

帶電粒子在磁場(chǎng)或者電磁場(chǎng)(復(fù)合場(chǎng))中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題是高中物理中最為典型的一類綜合問(wèn)題，它具有綜合性強(qiáng)、能力要求高、難度較大的特點(diǎn)，不少學(xué)生解答這類問(wèn)題時(shí)，不是望而生畏就是無(wú)功而返。這類問(wèn)題在高考中往往作為壓軸題出現(xiàn)，對(duì)高考選拔人才有一定的影響。經(jīng)過(guò)多年的教學(xué)實(shí)踐，筆者認(rèn)為破解這類問(wèn)題，關(guān)鍵要在以下五個(gè)方面予以努力。

一、破解多解問(wèn)題——重視條件分析

因?yàn)樵O(shè)置的條件具有不確定性，或者帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)存在多樣性等因素，造成多解問(wèn)題。有效解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵在于認(rèn)真審題，弄清形成多解的原因，從形成多解的不確定條件出發(fā)，討論形成多解的各種可能結(jié)果，以便準(zhǔn)確得出符合題意的相應(yīng)答案。

【例1】如圖1所示，直線MN下方無(wú)磁場(chǎng)，上方空間存在兩個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其分界線是半徑為R的半圓，兩側(cè)的磁場(chǎng)方向相反且垂直于紙面，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B?，F(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶負(fù)電微粒從P點(diǎn)沿半徑方向水平向左側(cè)射出，最終打到Q點(diǎn)，不計(jì)微粒的重力。求：

圖1

(1)微粒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期；

(2)從P點(diǎn)到Q點(diǎn)，微粒運(yùn)動(dòng)的速度大小及時(shí)間。

【解析】(1)不計(jì)微粒的重力，微粒在磁場(chǎng)中僅受洛倫茲力的作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，設(shè)圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r

(2)微粒從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)，由于條件的不確定性(v、R、B、q、m等大小都未知)，造成微粒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的情境有多種，如圖2所示的4種情景是微?？赡苓\(yùn)動(dòng)情境中的4種。

設(shè)微粒的運(yùn)動(dòng)軌跡將磁場(chǎng)的邊界分隔成n等分，即n可取n=2，3，4，…。設(shè)每等份圓弧所對(duì)應(yīng)圓心角為2θ，由幾何關(guān)系可知可能出現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)情形為：

甲 n=2情形

乙 n=3情形

丙 n=4情形

丁 n=5情形

由對(duì)稱性可知，軌跡中的一段大圓弧所對(duì)應(yīng)的圓心角為2π-2θ，一段小圓弧所對(duì)應(yīng)的圓心角為2θ，即微粒經(jīng)過(guò)一段大圓弧和一段小圓弧的時(shí)間為一個(gè)周期。

二、破解軌跡問(wèn)題——尋找銜接關(guān)系

求解帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題時(shí)，準(zhǔn)確作出帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡無(wú)疑是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。要準(zhǔn)確地作出軌跡圖，不僅要仔細(xì)分析帶電粒子的運(yùn)動(dòng)情況，而且要充分利用相關(guān)的幾何條件，確定各段不同軌跡間的銜接關(guān)系，以便為準(zhǔn)確作出軌跡提供有效保障。

圖3

(1)兩平行金屬極板間電場(chǎng)強(qiáng)度的大??；

(2)若帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與小圓相切，求Ⅰ區(qū)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大??；

帶電粒子運(yùn)動(dòng)的圓軌跡與小圓相切存在兩種情況：

圖4

圖5

作出帶電粒子兩次與大圓相切時(shí)，時(shí)間間隔的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖6所示，由對(duì)稱性可知，Ⅰ區(qū)兩段圓弧所對(duì)應(yīng)的圓心角相同，設(shè)為θ1。Ⅱ區(qū)內(nèi)圓弧所對(duì)應(yīng)的圓心角設(shè)為θ2，在Ⅰ區(qū)兩段圓弧和大圓的兩個(gè)切點(diǎn)與圓心O連線間的夾角設(shè)為α，根據(jù)幾何關(guān)系可得θ1=120°，θ2=180°，α=60°

圖6

因此，帶電粒子在Ⅱ區(qū)內(nèi)做半個(gè)小圓弧運(yùn)動(dòng)后與在Ⅰ區(qū)內(nèi)的大圓弧銜接，而后帶電粒子重復(fù)上述交替運(yùn)動(dòng)回到H點(diǎn)時(shí)，在Ⅱ區(qū)內(nèi)經(jīng)過(guò)6段半圓形運(yùn)動(dòng)，這樣，就可作出帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖7所示。

圖7

則帶電粒子運(yùn)動(dòng)的路程為s=v(t1+t2)

解以上各式得s=5.5πd

【破解關(guān)鍵】本題中作帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)難點(diǎn)，要準(zhǔn)確作圖有兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：其一，從Ⅰ區(qū)大圓弧到Ⅱ區(qū)小圓弧銜接的幾何關(guān)系；其二，帶電粒子再?gòu)蘑騾^(qū)小圓弧到Ⅰ區(qū)大圓弧銜接的幾何關(guān)系。確定兩個(gè)特定區(qū)域的幾何關(guān)系時(shí)，必須能熟練應(yīng)用相關(guān)的幾何知識(shí)，以及有關(guān)軌跡對(duì)稱性和周期性的特征。本題中，確定磁場(chǎng)邊界圓和大圓的兩個(gè)切點(diǎn)與圓心O連線間的夾角α是解題的核心，這里既要依據(jù)帶電粒子的運(yùn)動(dòng)情況，又要結(jié)合相關(guān)的幾何條件，這樣問(wèn)題才會(huì)迎刃而解。不少同學(xué)在解決此類問(wèn)題時(shí)，往往草率分析，潦草作圖，因而找不到解題的鑰匙。

三、破解過(guò)程問(wèn)題——弄清細(xì)節(jié)特點(diǎn)

帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的形式多種多樣，有時(shí)會(huì)涉及一些多過(guò)程問(wèn)題，求解此類問(wèn)題時(shí)，必須弄清帶電粒子在各個(gè)過(guò)程的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況等細(xì)節(jié)，并注意各個(gè)過(guò)程間的聯(lián)系，最好能畫(huà)出帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，再結(jié)合相關(guān)的物理規(guī)律和數(shù)學(xué)知識(shí)求解。

【例3】如圖8所示，在紙面內(nèi)有磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B，方向相反的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，虛線等邊三角形ABC為兩磁場(chǎng)的理想邊界。已知三角形ABC邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，虛線三角形內(nèi)為方向垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，三角形外部的足夠大空間為方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一電荷量為q、質(zhì)量為m的帶正電粒子從AB邊中點(diǎn)P垂直AB邊射入三角形外部磁場(chǎng)，不計(jì)粒子的重力和一切阻力，試求：

圖8

(1)要使粒子從P點(diǎn)射出后在最短時(shí)間內(nèi)通過(guò)B點(diǎn)，則從P點(diǎn)射出時(shí)的速度v0為多大？

(2)滿足(1)問(wèn)的粒子通過(guò)B后第三次通過(guò)磁場(chǎng)邊界時(shí)到B的距離是多少？

(3)滿足(1)問(wèn)的粒子從P點(diǎn)射入外部磁場(chǎng)到再次返回到P點(diǎn)的最短時(shí)間為多少？

【解析】(1)當(dāng)粒子做半個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)直接到達(dá)B點(diǎn)所用時(shí)間最短。

圖9

(3)粒子從P點(diǎn)射入外部磁場(chǎng)到再次返回到P點(diǎn)的過(guò)程中，粒子一共經(jīng)過(guò)13個(gè)小過(guò)程，即：

①由軌跡1轉(zhuǎn)向軌跡2，由幾何關(guān)系可知，軌跡1中粒子偏轉(zhuǎn)180°，軌跡2中粒子偏轉(zhuǎn)60°后進(jìn)入內(nèi)部磁場(chǎng)。

②由軌跡2轉(zhuǎn)向軌跡3(由3-4，由4-5等)具有對(duì)稱性，各個(gè)軌跡對(duì)應(yīng)偏轉(zhuǎn)角都為60°。

③由軌跡5轉(zhuǎn)向軌跡6，由幾何關(guān)系可知，軌跡5中粒子偏轉(zhuǎn)60°，軌跡6中粒子偏轉(zhuǎn)300°后進(jìn)入內(nèi)部磁場(chǎng)。

④由軌跡6轉(zhuǎn)向軌跡7，由幾何關(guān)系可知，軌跡7中粒子偏轉(zhuǎn)60°后進(jìn)入外部磁場(chǎng)。

⑤由軌跡7轉(zhuǎn)向軌跡8，由幾何關(guān)系可知，軌跡8中粒子偏轉(zhuǎn)300°后進(jìn)入內(nèi)部磁場(chǎng)。

⑥由軌跡8轉(zhuǎn)向軌跡9，由幾何關(guān)系可知，軌跡9中粒子偏轉(zhuǎn)60°后進(jìn)入外部磁場(chǎng)。

⑦由軌跡9轉(zhuǎn)向軌跡10(由10-11，由11-12等)具有對(duì)稱性，各個(gè)軌跡對(duì)應(yīng)偏轉(zhuǎn)角都為60°。

⑧由軌跡12轉(zhuǎn)向軌跡13，由幾何關(guān)系可知，軌跡13中粒子偏轉(zhuǎn)180°后回到P點(diǎn)。

由此可作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖10所示。從圖中可知粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

圖10

【破解關(guān)鍵】求解本題的第(3)問(wèn)時(shí)，關(guān)鍵在于弄清粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程的細(xì)節(jié)，即粒子經(jīng)歷13個(gè)小過(guò)程中粒子的偏轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)向，其中有八個(gè)細(xì)節(jié)非常重要，如果出現(xiàn)一點(diǎn)差錯(cuò)，就不可能求得正確結(jié)果。

四、破解范圍問(wèn)題——熟用臨界條件

關(guān)于帶電粒子落在某個(gè)區(qū)間，或者加速電壓(或磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度)在什么范圍內(nèi)能使帶電粒子運(yùn)動(dòng)到某個(gè)區(qū)域等問(wèn)題屬于范圍問(wèn)題，求解這類問(wèn)題關(guān)鍵在于熟練應(yīng)用相關(guān)的臨界條件，再結(jié)合相關(guān)的物理規(guī)律和數(shù)學(xué)知識(shí)。

【例4】如圖11所示，矩形abcd區(qū)域內(nèi)有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，ab邊長(zhǎng)為3L，bc邊足夠長(zhǎng)。厚度不計(jì)的擋板MN長(zhǎng)為5L，平行bc邊放置在磁場(chǎng)中，與bc邊相距L，左端與ab邊也相距L。質(zhì)量為m、電荷量為e的電子，由靜止開(kāi)始經(jīng)電場(chǎng)加速后沿ab邊進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域。電子與擋板碰撞后完全被吸收并導(dǎo)走。

圖11

(1)如果加速電壓控制在一定范圍內(nèi)，能保證在這個(gè)電壓范圍內(nèi)加速的電子進(jìn)入磁場(chǎng)后在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間都相同。求這個(gè)加速電壓U的范圍。

(2)調(diào)節(jié)加速電壓，使電子能落在擋板上表面，求電子落在擋板上表面的最大寬度ΔL。

當(dāng)電子的軌道半徑逐漸增大，與擋板下表面相切時(shí)，其圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r1=2L，圓心為O1，如圖12所示，要使電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等，必須滿足r≤r1<2L

圖12

當(dāng)電子恰好繞過(guò)擋板從ad邊離開(kāi)磁場(chǎng)，設(shè)其做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r2，如圖13所示。

圖13

(2)電子能打到擋板上表面必須滿足以下臨界條件：

圖14

解得r3=2.5L

(ⅱ)電子打在P點(diǎn)后，隨著軌道半徑逐漸增大，要使電子打在擋板的上表面，則不能從bc邊射出，設(shè)電子軌跡與bc邊相切時(shí)的半徑為r4，圓心為O4，電子打在上板的Q點(diǎn)，如圖15所示。則有r4=3L

圖15

所以，電子落在擋板上表面的最大寬度ΔL

【破解關(guān)鍵】求解本題的關(guān)鍵在于把握四個(gè)臨界條件：①電子恰好過(guò)M點(diǎn)；②電子恰好過(guò)N點(diǎn)；③電子運(yùn)動(dòng)軌跡與磁場(chǎng)上邊界bc相切；④電子運(yùn)動(dòng)軌跡與擋板下表面相切。只有熟練利用這四個(gè)臨界條件，再結(jié)合相關(guān)的幾何關(guān)系，就可以作出正確的分析和求得正確的結(jié)果。

五、破解臨界問(wèn)題——抓住邊界條件

求解帶電粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題，既要作出問(wèn)題存在的可能情況的一般分析，又要結(jié)合邊界條件作出臨界分析，從而找到解決問(wèn)題的方法。

圖16

(1)若正離子的比荷為k，求該離子到達(dá)CD極時(shí)的速度大?。?/p>

(2)該裝置可以測(cè)出離子從AB極出發(fā)，經(jīng)過(guò)Ⅰ區(qū)、Ⅱ區(qū)和Ⅲ區(qū)，最后返回EF端的總時(shí)間為t，由此可以確定離子的比荷為k，試寫(xiě)出k與t的函數(shù)關(guān)系式；

圖17

(2)正離子在Ⅰ區(qū)受到電場(chǎng)力的作用，正離子做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)所用時(shí)間為t1，由平均速度定義式得

正離子運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為t=t1+t2+t3

(3)設(shè)質(zhì)量分別為M和m的正離子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R1和R2，洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律可知

作出兩種離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡，如圖18所示。要符合題目提出的使兩種離子在收集板上完全分離、收集更多離子和狹縫盡可能大的條件，通過(guò)作圖可知，選取R1=2R2及如圖19所示的邊界條件(即質(zhì)量為M的正離子在收集板上的最低點(diǎn)與質(zhì)量為m的正離子在收集板上的最高點(diǎn)重合)能符合題目要求。

圖18

圖19

此時(shí)狹縫的最大值x應(yīng)滿足x=2R1-2R2，d=2R1+x

【破解關(guān)鍵】本題中的第(3)問(wèn)，要求將兩種離子在收集板上完全分離，同時(shí)要收集到更多的離子，則狹縫的寬度應(yīng)盡可能大。求解時(shí)，必須對(duì)離子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行一般分析，如圖18所示，通過(guò)作圖和分析可以看到兩個(gè)離子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑差別越大，收集到的離子數(shù)就越大；結(jié)合離子打在收集板上的分界位置(如圖19中的c點(diǎn))，再注意三個(gè)邊界條件(如圖19中的a、b和d點(diǎn))，這樣就可以得到滿足題目要求的條件為x=2R1-2R2和d=2R1+x，因此，即可順利解決問(wèn)題。