安徽 邵 永 王法遠(yuǎn)

物理中的綜合性試題往往包含單個(gè)或多個(gè)研究對象，各對象參與單個(gè)或多個(gè)過程且各對象、各過程間相互作用、相互牽連、相互影響，在這些過程中經(jīng)常夾雜著碰撞現(xiàn)象，碰撞過程往往起到承前啟后的作用，雖然碰撞過程極為短暫，但是碰撞前后運(yùn)動(dòng)狀態(tài)卻發(fā)生顯著變化，所以對碰撞過程的分析不容忽視。對于實(shí)際的碰撞問題舍棄次要因素，抓住主要因素，建立碰撞模型，總結(jié)物理規(guī)律，不僅可以加深對動(dòng)量知識的深刻理解，還可以提高學(xué)生對動(dòng)量問題以及包含動(dòng)量的綜合性問題的分析解決能力，做到基礎(chǔ)與能力并重、基礎(chǔ)與素養(yǎng)兼容。

一、“兩體一維”彈性正碰的碰后速度

【例1】如圖1所示，在足夠長的光滑水平面上，物體A、B、C位于同一直線上，A位于B、C之間。A的質(zhì)量為m，B、C的質(zhì)量均為M，三者均處于靜止?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)使A以某一速度向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)物體間的碰撞都是彈性的。求m和M之間應(yīng)滿足什么條件，才能使A只與B、C各發(fā)生一次碰撞。

圖1

二、“兩體一維”彈性正碰碰后速度的取值范圍

【例2】如圖2所示，ABD為豎直平面內(nèi)的軌道，其中AB段水平粗糙、BD段為半徑R=0.4 m的半圓光滑軌道，兩段軌道平滑相切于B點(diǎn)，小球甲由C點(diǎn)以速度v0沿水平軌道向右運(yùn)動(dòng)，與靜止在B點(diǎn)的小球乙發(fā)生彈性碰撞。已知甲、乙兩球的質(zhì)量均為m，小球甲與AB段的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，C、B距離L=1.6 m，重力加速度g取10 m/s2。(水平軌道足夠長，甲、乙兩球均可視為質(zhì)點(diǎn))

圖2

(1)甲、乙兩球碰撞后，乙球恰能通過軌道的最高點(diǎn)D，求乙球在軌道上的首次落點(diǎn)到B點(diǎn)的距離；

(2)在滿足(1)的條件下，求甲球的速度v0；

(3)若甲球仍以速度v0向右運(yùn)動(dòng)，增大甲球的質(zhì)量，保持乙球的質(zhì)量不變，求乙球在軌道上的首次落點(diǎn)到B點(diǎn)的距離范圍。

【點(diǎn)撥】本題碰撞過程夾在中間起到連接前后運(yùn)動(dòng)的橋梁作用，雖然本題還考查了功能問題、平拋運(yùn)動(dòng)問題，但動(dòng)量問題對整道試題特別是第(3)問的求解起到至關(guān)重要的作用，既是本題的重點(diǎn)，也是本題的難點(diǎn)。在上述的解析中聯(lián)立⑩可得如果M?m，可得vm→2vB、vM→vB；如果M?m，可得vm→0、vM→-vB。綜合上述可得，當(dāng)兩物體質(zhì)量任意時(shí)，兩個(gè)物體的碰后速度都會改變，但是在某一個(gè)確定的范圍內(nèi)，其中主碰物體速度介于-vB～vB之間，被碰物體的速度介于0～2vB之間。由于題中主碰物體的質(zhì)量大于被碰物體質(zhì)量，所以vB

三、質(zhì)量相等的“兩體一維”彈性正碰，碰前、碰后速度間的關(guān)系

【例3】如圖3所示，光滑水平面上有一被壓縮的輕質(zhì)彈簧，左端固定，質(zhì)量為mA=1 kg的滑塊A緊靠彈簧右端(不拴接)，彈簧的彈性勢能為Ep=32 J。質(zhì)量為mB=1 kg的槽B靜止放在水平面上，內(nèi)壁間距為L=0.6 m，槽內(nèi)放有質(zhì)量為mC=2 kg的滑塊C(可視為質(zhì)點(diǎn))，滑塊C到左側(cè)壁的距離為d=0.1 m，槽與滑塊C之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.1?，F(xiàn)釋放彈簧，滑塊A離開彈簧后與槽B發(fā)生正碰并粘連在一起。已知槽與滑塊C發(fā)生的碰撞為彈性碰撞。求：

圖3

(1)滑塊A與槽碰撞前、后瞬間的速度大?。?/p>

(2)槽與滑塊C最終的速度大小及滑塊C與槽的左側(cè)壁碰撞的次數(shù)；

(3)從槽開始運(yùn)動(dòng)到槽和滑塊C相對靜止時(shí)各自的位移大小。

圖4

【點(diǎn)撥】本題的第(3)問中雖然兩次碰撞之間兩者的相對位移大小總等于槽的長度，但是由于兩者速度逐漸接近，所以連續(xù)兩次碰撞之間的運(yùn)動(dòng)時(shí)間越來越長，相鄰兩次碰撞之后的運(yùn)動(dòng)位移逐漸變化，所以，整個(gè)過程中兩物體的位移不好求解，上述解法之所以非常順利，是因?yàn)檫@是一類特殊的碰撞，有著特殊的結(jié)論，由于A、B的質(zhì)量和等于C的質(zhì)量。代入碰后的速度公式很容易發(fā)現(xiàn)碰撞前后兩者交換速度，同樣是由于A、B的質(zhì)量和等于C的質(zhì)量，所以，碰后兩物體運(yùn)動(dòng)的加速度大小相等，所以，碰后兩物體分別延續(xù)著對方的碰前的勻變速運(yùn)動(dòng)，所以，整個(gè)過程可等效看成一個(gè)勻減速運(yùn)動(dòng)和一個(gè)勻加速運(yùn)動(dòng)至速度相等，結(jié)合速度時(shí)間圖像面積和面積差的含義，如上述解析中所示順利求出時(shí)間和兩物體的位移。也可以做如下處理：從圖像上求二者的位移和時(shí)間，圖像重合部分是下面的三角形，把這個(gè)三角形割補(bǔ)到上面正好構(gòu)成一個(gè)長方形，所以，整個(gè)過程中二者的位移和sA+sB=2×4 m=8 m，又由d=0.1 m和s=4 m得滑塊C與槽相對靜止時(shí)滑塊C處于槽的中點(diǎn)，故sC-sB=0.2 m，聯(lián)立求解得sC=3.9 m，sB=4.1 m。

四、“兩體一維”彈性正碰，碰前、碰后相對速度間的關(guān)系

【例4】如圖5所示，質(zhì)量為mA=2 kg、長度為L=3 m的長木板A靜止在光滑的水平地面上，長木板A的兩端有彈性擋板M、N，一質(zhì)量為mB=4 kg的物塊B靜止在長木板的中點(diǎn)，讓物塊B以v0=6 m/s的速度水平向左運(yùn)動(dòng)。已知物塊B與長木板A之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.1，物塊B與擋板的碰撞時(shí)間很短且沒有能量損失，重力加速度g=10 m/s2。

圖5

(1)求物塊B最終停在長木板A上何處？

(3)求物塊B在長木板A上滑動(dòng)的時(shí)間。

五、定質(zhì)量的“兩體一維”正碰碰后速度的取值范圍

【例5】如圖6所示，質(zhì)量m1=0.5 kg的小物塊P置于水平臺面上的A點(diǎn)并與彈簧的右端接觸(不拴接)，輕彈簧左端固定且處于原長狀態(tài)。質(zhì)量M=1 kg的長木板靜置于水平面上，其上表面與水平臺面相平，且緊靠臺面右端。木板左端放有一質(zhì)量m2=1 kg的小滑塊Q?，F(xiàn)用水平向左的推力將P緩慢推至B點(diǎn)(彈簧仍在彈性限度內(nèi))，撤去推力，此后P沿臺面滑到邊緣C時(shí)速度v0=10 m/s，與小車左端的滑塊Q相碰，最后物塊P停在AC的正中點(diǎn)，Q停在木板上。已知臺面AB部分光滑，P與臺面AC間動(dòng)摩擦因數(shù)μ1=0.1，AC間距離L=4 m。Q與木板上表面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ2=0.4，木板下表面與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ3=0.1(g取10 m/s2)，求：

圖6

(1)撤去推力時(shí)彈簧的彈性勢能；

(2)長木板運(yùn)動(dòng)中的最大速度；

(3)長木板的最小長度。