代 振，王平波，衛(wèi)紅凱

（海軍工程大學(xué)電子工程學(xué)院，武漢 430033）

0 引言

貝葉斯準(zhǔn)則是進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)的通用準(zhǔn)則，在代價(jià)因子和先驗(yàn)概率已知的情況下，基于貝葉斯準(zhǔn)則確定檢測門限可以使判決付出的平均代價(jià)最?。?-3］。當(dāng)先驗(yàn)概率未知時(shí)，不能直接使用貝葉斯準(zhǔn)則進(jìn)行判決，此時(shí)通常采用貝葉斯準(zhǔn)則的派生準(zhǔn)則-極大極小準(zhǔn)則。極大極小準(zhǔn)則是在所有可能的先驗(yàn)概率中選擇最不利的先驗(yàn)概率來確定檢測門限，其判決代價(jià)與真實(shí)先驗(yàn)概率無關(guān)，從而避免了由于先驗(yàn)概率未知可能導(dǎo)致的極大的判決代價(jià)［4］。但是，當(dāng)真實(shí)的先驗(yàn)概率與最不利先驗(yàn)概率相差較大時(shí)，采用極大極小準(zhǔn)則的判決代價(jià)遠(yuǎn)大于貝葉斯準(zhǔn)則下的判決代價(jià)。實(shí)際情況中，即使無法確定真實(shí)的先驗(yàn)概率，但是可以根據(jù)一定條件大致估計(jì)出先驗(yàn)概率的區(qū)間范圍。例如，在雷達(dá)觀測中，敵機(jī)出現(xiàn)或不出現(xiàn)的先驗(yàn)概率是很難確定的，但是可以根據(jù)雷達(dá)的工作環(huán)境，從統(tǒng)計(jì)的方法給出敵機(jī)出現(xiàn)的先驗(yàn)概率區(qū)間［5］，稱之為附加先驗(yàn)概率條件。

本文對附加先驗(yàn)概率條件下的二元假設(shè)檢驗(yàn)問題進(jìn)行研究，提出了在不同先驗(yàn)概率條件下最佳先驗(yàn)概率的選擇方法。根據(jù)最佳先驗(yàn)概率確定檢測門限，可以有效降低判決代價(jià)。

1 貝葉斯準(zhǔn)則下的二元假設(shè)檢驗(yàn)

對二元假設(shè)Hj（j=0，1）進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，判決代價(jià)為

式中，P（Hj）表示Hj出現(xiàn)的先驗(yàn)概率，P（Hi/Hj）、Cij分別為Hj為真時(shí)判決Hi成立的概率和代價(jià)因子。

記Hi的判決域?yàn)镽i（i=0，1），則

式中，f（z/Hj）為假設(shè)Hj（j=0，1）下的條件概率密度，又稱似然函數(shù)。

當(dāng)代價(jià)因子Cij已知時(shí)，對于給定的先驗(yàn)概率P（H1）=p1，采用貝葉斯準(zhǔn)則劃分判決域，可使判決代價(jià)最小。判別表達(dá)式為

Λ（z）為似然比，η0為判決門限，當(dāng)似然比大于門限時(shí)判H1成立，否則判H0成立。

記對應(yīng)于先驗(yàn)概率p1的最小判決代價(jià)為Cmin（p1），因?yàn)镻（H0）=1-p1，又P（H1/H0）=PF，P（H0/H1）=PM，P（H0/H0）=1-PF，P（H1/H1）=1-PM，帶入式（1），可得

式中，PF和PM均是p1的函數(shù)，表達(dá)式如下

2 最佳先驗(yàn)概率選取

如果代價(jià)因子Cij已知，并假設(shè)先驗(yàn)概率，由于p1未知，不能直接利用貝葉斯準(zhǔn)則進(jìn)行判決。此時(shí)可以假定一個(gè)先驗(yàn)概率，并用其計(jì)算檢測門限，將判決代價(jià)記為 C（p1g，p1），其表達(dá)式如下

顯然 C（p1g，p1）與 p1是線性關(guān)系，且 C（p1g，p1）≥Cmin（p1），當(dāng)且僅當(dāng)p1g=p1時(shí)取等號。又Cmin（p1）是先驗(yàn)概率p1的上凸函數(shù)［6］，所以C（p1g，p1）與Cmin（p1）在點(diǎn)p1g處相切，如圖1所示。從圖1可以看出，p1g與真實(shí)的先驗(yàn)概率P1相差越大，C（p1g，p1）與Cmin（p1）相差就越大（如點(diǎn)p1b處）。因此，希望找到一個(gè)最佳先驗(yàn)概率p0∈［p1a，p1b］，使得C（p0，p1）逼近Cmin（p1）。

圖1 判決代價(jià)隨先驗(yàn)概率P1變化的曲線

2.1 極大極小準(zhǔn)則下的最佳先驗(yàn)概率

極大極小準(zhǔn)則是指在先驗(yàn)概率區(qū)間［p1a，p1b］內(nèi)，選取最佳先驗(yàn)概率p0，使得最大判決代價(jià)Cmax（p0）取得最小，其表達(dá)式如下

記Cmin（p1）取最大值Cminmax時(shí)的先驗(yàn)概率為p1*，顯然，C（p1*，p1）是一條平行于 x 軸的直線，如圖2所示。此時(shí)，C（p1*，p1）恒等于 Cminmax，與先驗(yàn)概率無關(guān)，可以保證最大判決代價(jià)最小，故p1*就是極大極小準(zhǔn)則下的最佳先驗(yàn)概率。為求出 p1*，令 C（p0，p1）的斜率為零，即

由式（8）即可解得 p1*，式（8）又稱為極大極小方程。

圖2 判決代價(jià)隨最佳先驗(yàn)概率p1變化的曲線

2.2 最小二乘意義下的最佳先驗(yàn)概率

極大極小準(zhǔn)則雖然可以使極大判決代價(jià)極小化，但是當(dāng)真實(shí)的先驗(yàn)概率p1與p1*相差較大時(shí)（如圖2點(diǎn)p1a處），Cminmax會遠(yuǎn)大于Cmin（p1）。為解決這個(gè)問題，可以采用最小二乘法。最小二乘是指在先驗(yàn)概率區(qū)間［p1a，p1b］內(nèi)，選取最佳先驗(yàn)概率 p0，使得e（p0）最小，其表達(dá)式如下

3 算例仿真

以高斯白噪聲中恒定電平檢測問題為例進(jìn)行仿真分析。設(shè)有兩種假設(shè)

式中，vi是均值為零，方差為a的高斯白噪聲序列，N表示觀察次數(shù)，A為大于零的常數(shù)。

不同假設(shè)下的似然函數(shù)分別為：

假設(shè)先驗(yàn)概率為 p1，令 C00=C11=0，C01=2，C10=1，則貝葉斯判決表達(dá)式為

化簡可得

將式（13）帶入式（4）、式（5）可得

根據(jù)極大極小方程，可得

由式（15）解得p1*后，不妨取，并記可以看作信噪比。此時(shí)，極大極小準(zhǔn)則下的最佳先驗(yàn)概率為p1*，最小二乘意義下的最佳先驗(yàn)概率為p1*/2，分別取最佳先驗(yàn)概率為p1*和p1*/2進(jìn)行仿真，結(jié)果如圖3、圖4所示。

從圖3（a）可以看出，不同信噪比下的判決代價(jià)誤差 e（p1*/2）始終小于 e（p1*），并且當(dāng)信噪比 d＜1時(shí)，e（p1*/2）遠(yuǎn)小于 e（p1*）。此外，e（p1*/2）始終接近于零，表明C（pp1*/2，p1）對Cmi（np1）的逼近程度較高。從圖3（b）可以看出，不同信噪比下的最大判決代價(jià)Cmin（p1*）始終比Cmax（p1*/2）小，符合極大極小準(zhǔn)則的判斷，但是二者差距并不突出，這說明當(dāng)時(shí)，最佳先驗(yàn)概率應(yīng)該選擇p1*/2。

圖4進(jìn)一步給出了d=0.3以及d=1時(shí)的判決代價(jià)曲線。從圖4可以直觀地看出，Cminmax與先驗(yàn)概率無關(guān)，但在較低的先驗(yàn)概率處，其值遠(yuǎn)大于Cmi（np1）。而則與Cmi（np1）較為接近，尤其是在信噪比較低時(shí)，與Cm（inp1）基本重合。

圖3 不同信噪比下的判決代價(jià)誤差與最大判決代價(jià)，p1∈［0，p1*）

圖4 不同信噪比下判決代價(jià)曲線，p1∈［0，p1*）

4 結(jié)論

對二元假設(shè)檢驗(yàn)問題進(jìn)行了研究，在附加先驗(yàn)概率條件下，提出了最小二乘意義下的最佳先驗(yàn)概率，將其與基于極大極小準(zhǔn)則確定的最佳先驗(yàn)概率進(jìn)行綜合比較，給出了任意附加先驗(yàn)概率條件下的最佳先驗(yàn)概率選擇方法。仿真結(jié)果表明，根據(jù)最佳先驗(yàn)概率確定檢測門限，在先驗(yàn)概率未知時(shí)可以有效降低判決代價(jià)。