王慧敏

摘要：本文使用格子Boltzmann方法對(duì)（3+1）維修正KdV-Zakharov-Kuznetsov方程的孤波進(jìn)行數(shù)值模擬研究。構(gòu)建了（3+1）維修正KdV-Zakharov-Kuznetsov方程的格子Boltzmann模型，并進(jìn)行了數(shù)值實(shí)驗(yàn)。數(shù)值結(jié)果表明，格子Boltzmann方法是求解（3+1）維修正KdV-Zakharov-Kuznetsov方程的有效工具。

關(guān)鍵詞：（3+1）維修正KdV-Zakharov-Kuznetsov方程;格子Boltzmann方法;數(shù)值模擬

1 引言

修正KdV-Zakharov-Kuznetsov方程出現(xiàn)于修正KdV方程，是等離子體物理、非線性光學(xué)、流體力學(xué)等物理分支分析物理現(xiàn)象非線性傳播的重要模型[1]。近年來(lái)，學(xué)者們關(guān)于非線性偏微分方程孤波解的構(gòu)造進(jìn)行了許多研究，也使用改進(jìn)的擴(kuò)展直接代數(shù)法對(duì)修正KdV-Zakharov-Kuznetsov方程的孤波進(jìn)行了精確求解。然而精確解的求解往往很困難，因此方程的數(shù)值研究就十分必要了。本文擬對(duì)（3+1）維修正KdV-Zakharov-Kuznetsov方程的孤波解進(jìn)行數(shù)值模擬，使用的方法是近三十年發(fā)展起來(lái)的一種全新的數(shù)值方法——格子Boltzmann方法.本文考慮的（3+1）維修正KdV-Zakharov-Kuznetsov方程形式如下：

（1）

2 基于格子Boltzmann模型恢復(fù)宏觀方程

設(shè)為時(shí)刻t時(shí)位置X處粒子的分布函數(shù)，為相應(yīng)的平衡態(tài)分布函數(shù).在粒子“質(zhì)量”局部守恒的假設(shè)下，分布函數(shù) 滿足格子Boltzmann方程

（2）

結(jié)合Taylor展開(kāi)，Chapman-Enskog展開(kāi)以及多尺度展開(kāi)等技術(shù)，可以得到不同時(shí)間尺度的系列偏微分方程[2].

為了恢復(fù)出宏觀方程，需要選擇合適的平衡態(tài)分布函數(shù)的矩形式。首先定義宏觀量如下：

;（3）

根據(jù)平衡態(tài)分布函數(shù)的守恒條件，可知

;（4）

設(shè)平衡態(tài)分布函數(shù)的矩：

（5）

（6）

選擇3維6bit格子，由（4）-（6）計(jì)算可得平衡態(tài)分布函數(shù)的表達(dá)式.再由系列方程可以得出方程（1）的近似方程，其中E2是二階誤差。

（7）

通過(guò)誤差分析，可得

（8）

3 數(shù)值算例

下面利用構(gòu)建的格子Boltzmann模型對(duì)（3+1）維修正KdV-Zakharov-Kuznetsov方程的孤波進(jìn)行模擬。

初始條件為：

（9）

其中，.

邊界條件為：

（10）

其中，，，是邊界點(diǎn)。

本例中計(jì)算區(qū)域?yàn)?，各參?shù)取值為格子數(shù).數(shù)值結(jié)果如圖所示。圖1給出了t=0.5時(shí)的（3+1）維孤波解的情形，圖2呈現(xiàn)了t=0.5時(shí)用平面x=0去切（3+1）維孤波解得到的二維孤波。圖3給出了LBM解和精確解[1]在t=0.5時(shí)的對(duì)比圖，y=0，z=0，圖4給出了此時(shí)的誤差曲線圖。可以發(fā)現(xiàn)，LBM解與精確解基本取得了一致，數(shù)值結(jié)果可以接受。

4 結(jié)論

本文考慮了（3+1）維修正KdV-Zakharov-Kuznetsov方程的格子Boltzmann模擬問(wèn)題，構(gòu)建了一個(gè)格子Boltzmann模型。通過(guò)為平衡態(tài)分布函數(shù)選擇合適的矩形式，宏觀方程得到恢復(fù)。對(duì)模型進(jìn)行誤差分析，結(jié)合算例對(duì)該方程描述的3維孤波進(jìn)行了數(shù)值模擬。結(jié)果表明，LBM可以用來(lái)計(jì)算（3+1）維修正KdV-Zakharov-Kuznetsov方程，這對(duì)進(jìn)一步探討類似的偏微分方程及更復(fù)雜的孤波現(xiàn)象具有潛在意義。在未來(lái)工作中，我們可以考慮提高模型精度。

參考文獻(xiàn)

[1]Lu DC， Seadawy AR， Arshad M， Wang J. New solitary wave and their solutions of （3+1）- dimensional nonlinear extended Zakharov-Kuznetsov and modified KdV-Zakharov-Kuznetsov equations and their applications applications[J]， Results in Physics，2017， 7：899-909.

[2] Wang HM. Numerical simulation for the solitary wave of Zakharov–Kuznetsov equation based on lattice Boltzmann method[J]， Applied Mathematical Modelling， 2017，45：1–13.

基金項(xiàng)目

吉林省教育廳項(xiàng)目（批準(zhǔn)號(hào)：JJKH20190723KJ）;吉林省科技廳項(xiàng)目（批準(zhǔn)號(hào)：20180101344JC）。