北京 韓靜波

函數(shù)的零點(diǎn)是高中數(shù)學(xué)中重要的概念，將函數(shù)與方程聯(lián)系在一起，使方程根的問題和函數(shù)零點(diǎn)的問題可以相互轉(zhuǎn)化.函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題也是高考命題的熱點(diǎn)之一，此類問題具有綜合性，且解題方法靈活多變，本文結(jié)合實(shí)例探究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題的一般邏輯思考過程.

一、原理分析

在解決函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題時(shí)，可按照下圖進(jìn)行邏輯思考.

1.方程角度

函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)=0的實(shí)根，若方程f(x)=0是可解、易解的方程(例如一元一次方程，一元二次方程，簡(jiǎn)單的分式、指數(shù)、對(duì)數(shù)或三角方程等)，則可從方程角度研究方程實(shí)根的個(gè)數(shù).

2.函數(shù)角度

從函數(shù)的角度研究函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，首先從形的角度，利用函數(shù)圖象直觀觀察函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，然后從數(shù)的角度，利用函數(shù)性質(zhì)和零點(diǎn)存在定理嚴(yán)格證明.

(1)從形的角度

函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)就是該函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因此若函數(shù)的圖象易畫出，則圖象與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).更進(jìn)一步，若函數(shù)f(x)可以表示為兩個(gè)函數(shù)的和、差、積、商，例如f(x)=g(x)-h(x)，則f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)?g(x)=h(x)方程實(shí)根的個(gè)數(shù)?函數(shù)g(x)與函數(shù)h(x)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

(2)從數(shù)的角度

原理：已知函數(shù)y=f(x)在(a,b)上單調(diào)且圖象連續(xù)不斷.若存在x1,x2∈(a,b)，滿足f(x1)f(x2)<0，則函數(shù)y=f(x)在(a,b)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，否則(即f(x)>0或f(x)<0在(a,b)上恒成立)函數(shù)y=f(x)在(a,b)上無零點(diǎn).

因此，研究函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可先研究該函數(shù)在D上的單調(diào)性，根據(jù)上述原理，在每個(gè)單調(diào)區(qū)間上研究函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

二、函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題的解題策略總結(jié)

函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題比較綜合，解決方法靈活，問題的解決不能照搬套用，而應(yīng)該依據(jù)問題的具體情境，通過嚴(yán)格的推理，靈活選擇解決問題的方法.具體解題策略如下：

首先考慮方程f(x)=0是否可解或易解，如果是，則可用方程方法研究，如果不是，需要利用函數(shù)方法進(jìn)行研究；然后繼續(xù)思考函數(shù)f(x)是否為常規(guī)函數(shù)，如果是，畫出函數(shù)圖象，則可直觀觀察得出結(jié)論，如果不是常規(guī)函數(shù)，則繼續(xù)考慮能否轉(zhuǎn)化為常規(guī)函數(shù)；如果可以，即可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)常規(guī)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，畫出函數(shù)圖象，則可直觀觀察得出結(jié)論，如果不可轉(zhuǎn)化(此類函數(shù)稱為復(fù)雜函數(shù))，則利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值(也需考慮奇偶性(對(duì)稱性)、周期性、及函數(shù)的一些特殊點(diǎn))，然后根據(jù)性質(zhì)畫出圖象，則可直觀觀察得出結(jié)論.需注意，若利用函數(shù)方法研究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，嚴(yán)格論證需要利用上述一2(2)的方法.

三、應(yīng)用策略解決具體問題

根據(jù)上述解題策略，在研究函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題時(shí)，通?？梢园凑杖缦聠栴}逐層深入思考.

問題1：方程f(x)=0是否可解、易解？

研究函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題時(shí)，通常可以先思考方程f(x)=0是否可解、易解？如果是，可以根據(jù)方程知識(shí)直接求解(如下題)；如果不是，可以繼續(xù)思考問題2.

所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2.

由此題可知，一般地，如果方程f(x)=0可解、易解，就可以用方程知識(shí)(例如本題解法1)研究函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.對(duì)于本題，方程方法更簡(jiǎn)便.

問題2：函數(shù)y=f(x)是否為常規(guī)的函數(shù)？

在問題1的基礎(chǔ)上，如果方程f(x)=0不可解或不易解，通常利用函數(shù)方法研究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.一般地，首先思考函數(shù)y=f(x)是否為常規(guī)函數(shù)(圖象和性質(zhì)都已知的函數(shù))？如果是，可直接畫出函數(shù)圖象，直觀觀察函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)；如果不是，繼續(xù)思考問題3.

解析：函數(shù)g(x)=f(x)-k的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即為方程f(x)=k的實(shí)根個(gè)數(shù)，即函數(shù)f(x)的圖象與直線y=k交點(diǎn)的個(gè)數(shù).

函數(shù)f(x)圖象如下：

由此題可知，若函數(shù)y=f(x)為常規(guī)函數(shù)，即其圖象和性質(zhì)已知，則可以畫出函數(shù)f(x)的圖象，直觀觀察其零點(diǎn)個(gè)數(shù)，但需注意數(shù)形的互補(bǔ)，即一方面借助圖的直觀性，另一方面要注意數(shù)的精確性(例如此題中的最大值與漸近線).另外，這種方法主要依靠直觀觀察，可以分析出結(jié)論，但不能算作嚴(yán)格證明，嚴(yán)格論證需要利用上述一2(2)的方法.

問題3：能否轉(zhuǎn)化為常規(guī)函數(shù)？

在問題2的基礎(chǔ)上，如果函數(shù)y=f(x)不是常規(guī)函數(shù)，一般地，思考能否將不常規(guī)函數(shù)轉(zhuǎn)化為常規(guī)函數(shù)，如果能，畫出常規(guī)函數(shù)圖象，直觀觀察零點(diǎn)的個(gè)數(shù)(如下題)；如果不能，繼續(xù)思考問題4.

由圖可知，函數(shù)g(x)與函數(shù)h(x)在區(qū)間(0,4)內(nèi)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3，

由此題可知，“將不常規(guī)函數(shù)轉(zhuǎn)化為常規(guī)函數(shù)”，即通過對(duì)方程f(x)=0進(jìn)行變形，從而將非常規(guī)函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)常規(guī)函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題，然后畫出兩個(gè)常規(guī)函數(shù)的圖象，直觀觀察出交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即f(x)零點(diǎn)個(gè)數(shù).同問題2，畫圖需注意數(shù)形的互補(bǔ) (例如(1)中的漸近線與一些特殊點(diǎn)).另外，這種方法主要依靠直觀觀察，可以分析出結(jié)論，但不能算作嚴(yán)格證明，嚴(yán)格論證需要利用上述一2(2)的方法.

問題4：如何研究函數(shù)性，并根據(jù)性質(zhì)畫出函數(shù)圖象

在問題3的基礎(chǔ)上，如果函數(shù)y=f(x)不是常規(guī)的函數(shù)并且不可轉(zhuǎn)化為常規(guī)函數(shù)，一般地，需要研究函數(shù)的性質(zhì)，即單調(diào)性、奇偶性(對(duì)稱性)、周期性、極值、最值以及特殊點(diǎn)的函數(shù)值，然后根據(jù)性質(zhì)畫出函數(shù)圖象,直觀觀察出函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù).需注意函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的嚴(yán)格論證需要利用上述一2(2)的方法.如下題：

【例4】設(shè)函數(shù)f(x)=mex-x2+3，其中m∈R．若函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,4]上有兩個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍．

由g′(x)=0，解得x1=-1，x2=3.

當(dāng)x變化時(shí)，g′(x)與g(x)的變化情況如下表所示：

x(-2,-1)-1(-1,3)3(3,4)g'(x)-0+0-g(x)↘極小值↗極大值↘

所以g(x)在(-2,-1)，(3,4)上單調(diào)遞減，在(-1,3)上單調(diào)遞增.

由此題可知，研究非常規(guī)函數(shù)的性質(zhì)關(guān)鍵在于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，然后根據(jù)性質(zhì)，畫出函數(shù)圖象，可直觀觀察出結(jié)論，在此基礎(chǔ)上，如果需進(jìn)一步嚴(yán)格證明，則需要在每一個(gè)單調(diào)區(qū)間上用零點(diǎn)存在定理證明.另外，雖然此類非常規(guī)函數(shù)不可轉(zhuǎn)化為常規(guī)函數(shù)，但仍可通過對(duì)方程f(x)=0進(jìn)行變形，轉(zhuǎn)化為更簡(jiǎn)單函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題(例如此題中，研究g(x)比研究f(x)更容易).