福建 陳凌燕 蔡海濤

每年全國各地的高三質(zhì)檢卷，總有一些賞心悅目的試題，它們是命題老師智慧的結(jié)晶，對這些試題進(jìn)行深入探究，挖掘試題背景及內(nèi)涵，既能讓教學(xué)內(nèi)容豐富多彩，又能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有利于拓展學(xué)生的思維，提升學(xué)生的素養(yǎng)，對高三的復(fù)習(xí)備考有很大的意義.下面筆者以2020年福建省高三畢業(yè)班質(zhì)量檢查測試文科第20題為例進(jìn)行說明．

一、試題呈現(xiàn)

(2020·福建省高三質(zhì)檢文·20)已知拋物線C:y2=2px(0

(1)求C的方程；

(2)是否存在垂直于x軸的直線l，使得l被圓M所截得的弦長為定值？若存在，求l的方程；若不存在，說明理由．

二、試題特點(diǎn)

本題以拋物線為載體考查圓錐曲線的方程及其簡單幾何性質(zhì)、圓的幾何性質(zhì)等知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想，考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性．題目的特點(diǎn)是：(1)本題以拋物線與圓的組合型圓錐曲線為背景，需要觀察兩條曲線的特征，利用幾何圖形的性質(zhì)解題，體現(xiàn)考查的綜合性；(2)本題求解的問題為曲線的軌跡方程及定值問題，這兩個(gè)問題均是解析幾何中重要的問題，也是近年高考中的高頻考點(diǎn)，體現(xiàn)模擬考試與高考接軌的功能；(3)本題第二問有多種解法，不同解法思路體現(xiàn)考生思維的差異性；(4)第二問是探索性問題，具有開放性和發(fā)散性，此類問題的條件和結(jié)論不完備,需要結(jié)合已知條件或假設(shè)新的條件進(jìn)行探究、觀察、分析、抽象、概括等，是素養(yǎng)導(dǎo)向下的典型題型.

三、解法探析

本題(1)問易得C:y2=4x.(解答過程略)

(2)問是探索直線存在性問題，求解這類問題常有兩個(gè)思路.

思路一:“肯定順推法”，即將不確定性問題明朗化.其步驟為：假設(shè)滿足條件的元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實(shí)數(shù)解，則元素存在；否則，元素不存在.

思路二：利用特殊與一般思想，先猜想后證明.

解法綜述：假設(shè)滿足題意的直線l:x=a存在，在A的運(yùn)動過程中取兩個(gè)特殊位置，比如當(dāng)A運(yùn)動到A(0,0)和A(4,4)時(shí)，求圓M的圓心坐標(biāo)與半徑，進(jìn)一步利用垂徑定理分別求出兩個(gè)特殊圓截l的弦長，因?yàn)橄议L為定值，建立方程求得a=3，即表明“若l存在，則只可能為x=3”，再證明圓M截l的弦長為定值，便可證明l為符合題意的直線，從而解決問題.

四、試題反思

1.引申推廣

解完此題，筆者意猶未盡，對問題加以推廣探究，得到如下兩個(gè)問題．

探究一：已知A是拋物線C:y2=2px(p>0)上一動點(diǎn)，點(diǎn)Q(q,0)．是否存在垂直于x軸的直線l，使得l被以線段QA為直徑的動圓M所截得的弦長為定值？若存在，求l的方程；若不存在，說明理由．

設(shè)l被以線段QA為直徑的動圓M所截得的弦長為t，

探究二：已知A是拋物線C:y2=2px(p>0)上一動點(diǎn)，定直線l:x=a，是否存在x軸上的定點(diǎn)Q，使得l被以線段QA為直徑的動圓M所截得的弦長為定值？若存在，求定點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

設(shè)l被以線段QA為直徑的動圓M所截得的弦長為t，

此時(shí)t2=2ap>0，即a>0，

當(dāng)a≤0時(shí)，不存在；

特別地，當(dāng)a=0時(shí)，直線l即y軸，取點(diǎn)Q為拋物線焦點(diǎn)，此時(shí)動圓與y軸相切.

2.類比探究

基于以上的引申推廣，類比橢圓與雙曲線是否也具有類似的性質(zhì).

設(shè)l被以線段QA為直徑的動圓M所截得的弦長為t，

所以不存在直線滿足題意.

雙曲線與橢圓類似，不存在符合條件的直線，結(jié)論也不成立.

我們解題時(shí)常有“似曾相識燕歸來”的感覺，這就是類比.教師要引導(dǎo)學(xué)生由一個(gè)數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)遷移到另一個(gè)數(shù)學(xué)對象上去，從而獲得另一個(gè)對象的性質(zhì)，這是解決數(shù)學(xué)問題的常用方法，當(dāng)然由此例還可看出類比僅僅是種猜測，結(jié)論未必正確，需要進(jìn)行驗(yàn)證.

3.變式拓展

(1)已知A是拋物線C:y2=4x上一動點(diǎn)，點(diǎn)Q(2,0)，垂直于x軸的直線l被以線段QA為直徑的動圓M所截得的弦長為定值，則Q到直線l的距離為________．

(i)求E的方程；

(ii)過點(diǎn)F的直線交E于A,B兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓D與平行于y軸的直線相切于點(diǎn)M，線段DM交E于點(diǎn)N，證明：△AMB的面積是△AMN面積的四倍．

解:(i)化簡得E的方程為y2=4x(x>0)．(過程略)

依題意可設(shè)直線AB的方程y=k(x-1)(k≠0)，

故S△AMB=4S△AMN．

羅增儒教授說過:數(shù)學(xué)解題的四個(gè)水平為:模仿、練習(xí)、領(lǐng)悟、理解.教師設(shè)計(jì)變式練習(xí)，是提升學(xué)生解題能力的有效途徑.

五、結(jié)語