安徽 李昭平

數(shù)列與不等式的交匯，是高考中一種常見(jiàn)的題型，放縮、裂項(xiàng)、累加常常是處理此類(lèi)問(wèn)題的有效途徑. 本文是筆者對(duì)2020年一道最新數(shù)列不等式?？碱}進(jìn)行的思考與探究，旨在揭示解題思想，錘煉數(shù)學(xué)思維.

1. 題目

(Ⅰ) 確定數(shù)列{an}的單調(diào)性，并求出{an}中項(xiàng)的最小值；

2. 分析

3. 解答

因此{(lán)an}中項(xiàng)的最小值是a1.

4. 結(jié)論

由上述解答，得到以下結(jié)論：對(duì)于形如an+1=an+f(an,n)的遞推式，可以通過(guò)變形為an+1-an=f(an,n)來(lái)研究數(shù)列{an}的單調(diào)性和項(xiàng)的最值.在無(wú)法求通項(xiàng)公式an時(shí)，往往可以通過(guò)適當(dāng)?shù)姆趴s、裂項(xiàng)、累加等變形和運(yùn)算，確定其通項(xiàng)滿(mǎn)足的不等式，實(shí)現(xiàn)解題的目的.an+1=an+f(n)是an+1=an+f(an,n)的特殊情形，此時(shí)往往能求出通項(xiàng)公式an.

5.聯(lián)想

5.1引申聯(lián)想

適當(dāng)改變?？碱}的結(jié)構(gòu)式，作引申聯(lián)想，得到以下內(nèi)容.

5.2逆向聯(lián)想

對(duì)?？碱}作逆向思考，適當(dāng)互換題設(shè)條件與結(jié)論得到如下內(nèi)容.

5.3 類(lèi)比聯(lián)想

將?？碱}結(jié)構(gòu)式中的“加號(hào)”向“乘號(hào)”類(lèi)比，得到如下內(nèi)容.

兩邊取常用對(duì)數(shù)得lgan+1≤3lgan-2lg2，即lgan+1-lg2≤3(lgan-lg2).

當(dāng)n=1時(shí),an=2·103n.故an≤2·103n(n∈N*).