甘肅 焦永垚 李強(qiáng)龍

本題是2020年甘肅省第二次高考診斷考試?yán)砜频?2題，此題以平面向量的數(shù)量積為背景，考查平面向量數(shù)量積在三角形中的應(yīng)用，這類(lèi)問(wèn)題是近年來(lái)的高考熱點(diǎn)問(wèn)題之一．本文以該題為例，探尋破解這類(lèi)問(wèn)題的方法，并類(lèi)比推理給出這類(lèi)題的一般結(jié)論及源頭，希望能為廣大備考師生提供幫助．

1.解法探究

很多考生拿到題目感覺(jué)無(wú)從下手，試題中與數(shù)量積有關(guān)的條件(如模、夾角)均未出現(xiàn)，致使考生覺(jué)得無(wú)法直接進(jìn)行計(jì)算，主要原因是對(duì)解決這類(lèi)向量問(wèn)題的方法掌握不夠．其實(shí)考生都知道“基底法”和“坐標(biāo)法”是解決平面向量問(wèn)題的兩種通法，考生只有熟練掌握這兩種方法所需的基本知識(shí)和技能，才能使這類(lèi)問(wèn)題迎刃而解．

思路3(坐標(biāo)法)：坐標(biāo)法是解決平面向量問(wèn)題的基本方法．根據(jù)已知條件和圖形的結(jié)構(gòu)特征建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，從而把向量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算，把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題．

思路4(斜坐標(biāo)系法)：斜坐標(biāo)系下向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算與直角坐標(biāo)運(yùn)算不同，在直角坐標(biāo)系下，若a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，則a·b=x1x2+y1y2．而在斜坐標(biāo)系下，a·b=x1x2+y1y2+(x1y2+x2y1)cosθ，其中0<θ<π，這里的θ為斜坐標(biāo)軸Ox與Oy所成的角．利用“斜坐標(biāo)系”解決平面向量問(wèn)題常常起到四兩撥千斤的作用．

思路5(特殊化法)：“特殊化法”是解決小題的一種常用方法，教師要引導(dǎo)學(xué)生在解題過(guò)程中勿“小題大做”，而是要“小題小做”．“特殊化法”常常在解決小題中起到化繁為簡(jiǎn)的作用，使本來(lái)看似無(wú)從下手的問(wèn)題撥云見(jiàn)日，迎刃而解．

2.同源變式

答案：24.

解：因?yàn)辄c(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)，所以點(diǎn)P是△ABC的重心，所以

【點(diǎn)評(píng)】三角形重心的性質(zhì)以及與向量的關(guān)系源于人教A版《必修4》113頁(yè)習(xí)題2.5A組的第2題．三角形重心的性質(zhì)在高中數(shù)學(xué)中應(yīng)用非常廣泛，考生在復(fù)習(xí)中應(yīng)予以重視．

3. 題目本質(zhì)

如圖，在△ABC中，M,N分別是邊AC和BC上的點(diǎn)，滿足AC=λAM，BC=μBN，BM與AN交于點(diǎn)P．

由此我們可以得到以下結(jié)論．

結(jié)論：在△ABC中，M,N分別是邊AC和BC上的點(diǎn)，滿足AC=λAM，BC=μBN，BM與AN交于點(diǎn)P．則：

4. 追本溯源

5. 小結(jié)反思