廣東 薛新建

著名數(shù)學家華羅庚用“由薄到厚”和“由厚到薄”兩個基本過程，形象地解釋了知識框架和解題訓練之間的辯證關(guān)系.“由薄到厚”是學習接受、加強積累、構(gòu)建知識框架、奠實“四基”的過程；“由厚到薄”則是消化提煉、探索本質(zhì)、回歸知識框架、提升“四能”的過程.波利亞在《怎樣解題》中把解題的第一步制定為“弄清問題”，即對問題產(chǎn)生的知識背景進行精準定位,用知識框架的整體視角看待問題，再對題目的條件和設問，從不同角度關(guān)聯(lián)運用相關(guān)知識，進行有目標的轉(zhuǎn)化.于濤老師認為，解題的核心就是知識的聯(lián)系與模型的識別.正確的解題訓練可以發(fā)掘知識之間隱含的關(guān)聯(lián)性，使知識框架進一步強化和完善，并提高數(shù)學模型的適用性.解題的出發(fā)點和落腳點回歸知識本身，才能引導學生把握數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)，形成和發(fā)展核心素養(yǎng)，符合《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)》(下稱“新課標”)的基本理念.

下面就以平面向量“雙參最值問題”為例，對高三解題訓練的高效模式進行探究.

一、典例引入，定位剖析

這是一道經(jīng)典的向量高考原題，2017年全國卷Ⅲ還將相同問題以圓的形態(tài)再次考查.平面向量作為高中數(shù)學重要的工具性內(nèi)容，兼具數(shù)形兩種形態(tài)，與其他章節(jié)例如三角函數(shù)、解析幾何、立體幾何、參數(shù)方程等知識都有交匯，是高考考查的熱門考點.本題以極具數(shù)學之美的幾何圖形扇形作為背景，以簡潔精煉的向量符號形式給出條件，形數(shù)兼?zhèn)?，又引出二元函?shù)最值問題，借以考查函數(shù)思想.題目涉及向量知識模塊如相等向量、向量運算、向量坐標等基礎知識，和其他知識模塊如基本不等式、線性規(guī)劃、解三角形等初等知識，并可引申出拉格朗日乘數(shù)法等高等知識，豐富的知識面跨度，給不同層次的學生提供了足夠的發(fā)揮空間.題目體現(xiàn)的消元、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程等數(shù)學思想和方法，以及考查的邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、數(shù)學抽象等諸多核心素養(yǎng)，都具有極高的推廣和研究價值.

定位1【向量運算】條件是向量表達式，問題是兩個實數(shù)和的形式，回顧向量知識框架中，哪一部分可以實現(xiàn)向量向?qū)崝?shù)的轉(zhuǎn)化？不難想到向量的運算中，求數(shù)量積或者求模(平方)，都可以將向量關(guān)系實數(shù)化，為本題提供突破思路.

定位1.1【向量求數(shù)量積】如圖，設∠AOC=α，則

至此完成向量關(guān)系實數(shù)化，由于α的引入，得到的x和y的關(guān)系屬間接關(guān)系，即參數(shù)方程關(guān)系，只需通過消元將二元函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)最值問題即可解決問題.

定位2【二元函數(shù)最值問題】從函數(shù)知識模塊中提取出如圖所示的解決二元函數(shù)最值問題的基本方法框架，由于題中x，y的等量關(guān)系消元和畫圖比較困難，本題優(yōu)先選用基本不等式進行計算.

定位2.3【拉格朗日乘數(shù)法】高等數(shù)學里的拉格朗日乘數(shù)法能夠把約束優(yōu)化問題很好地轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題，這里可以根據(jù)學生基礎加以引申，也可以點到為止為學生將來進入大學學習高數(shù)預留伏筆.

定位3【相等向量的概念】條件中的向量表達式可以看作一個向量的等量關(guān)系，“相等向量”從屬于向量的基本概念知識板塊，其具有幾何和代數(shù)(坐標法)兩種基本形態(tài)，能不能從中找到系數(shù)間的等量關(guān)系呢？利用代數(shù)(坐標法) 形態(tài)可以達到這個目的.

定位3.1【相等向量的坐標形式】如圖，以O為坐標原點，OA為x軸正半軸建立平面直角坐標系，

② 設a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則a±b=(x1±x2,y1±y2)；λa=(λx1,λy1)；a//b?x1y2-x2y1=0；

斜坐標系是對直角坐標系進一步的推廣，由于建系要求低而具有廣泛的適用性.在斜坐標系下向量表達式坐標化后實現(xiàn)實數(shù)化的目標，思路清晰、計算簡潔，再借助線性規(guī)劃的思想方法解決最優(yōu)問題，在平面向量雙參最值問題與一般的二元函數(shù)最值問題間搭起了一座新的橋梁.實際上，斜坐標系可以方便地解決兩個實系數(shù)x,y任意線性組合的最值問題，只需要根據(jù)題目調(diào)整一下基底即可.

二、形成框架，提升思維

通過前述思考我們發(fā)現(xiàn)，平面向量雙參最值問題可以定位到平面向量知識模塊中的“向量運算”、“相等向量”和“坐標定義”三個小的知識點.“向量運算”中的“數(shù)量積”以及“?！钡挠嬎?，都可以實現(xiàn)向量關(guān)系實數(shù)化，從而將平面向量雙參最值問題轉(zhuǎn)化為二元函數(shù)最值問題，二元函數(shù)最值問題從屬于函數(shù)知識模塊，具有自身的一套解決體系，因此后續(xù)思路按照二元函數(shù)最值問題的方法框架就可以推進下去；“相等向量”概念的代數(shù)形式(坐標化)則把題目條件導向二元函數(shù)最值問題的下一步，即“探尋二元等量關(guān)系”；“坐標定義”的問題定位引發(fā)我們對斜坐標系的引入，使得問題直接轉(zhuǎn)入廣義規(guī)劃解決問題，這符合二元函數(shù)求最值問題下屬的一種具體情況.通過上述思考，我們將平面向量雙參最值問題在向量和函數(shù)兩個知識模塊之間做如下架構(gòu).

三、推而廣之，反思教學

上述對數(shù)學問題的探索模式在高三復習中具有很大的推廣價值，具體說來有如下實際意義：

將問題在知識框架中定位可以促進學習者看清其數(shù)學本質(zhì).數(shù)學問題千變?nèi)f化，問題的解法多種多樣，如果教師只是就題論題或者就題論法，必然會陷入無限題海，失去方向.如果學習的過程中能夠?qū)栴}回歸知識框架，以有限的知識框架去界定無限的問題類型，就可以從不同的視角對問題進行剖析，最終看清問題的本質(zhì)，實現(xiàn)問題的“歸一”.

用知識框架統(tǒng)領(lǐng)解題訓練，學習者才會有思維的提升.知識框架具有系統(tǒng)性、遠見性和可發(fā)展性，將平時的解題訓練建立在知識框架之上，學習者才能理解巧妙思路的來源，激發(fā)尋找更多思路的靈感，實現(xiàn)思路之間的優(yōu)劣比較從而實現(xiàn)思維的提升，進而對知識框架進行完善和重構(gòu)，使知識框架得以補充和發(fā)展.而忽略知識框架，片面追求兵來將擋水來土掩式的解題訓練，則會把知識碎片化，即使短期內(nèi)頗具效果，從長遠來看，會把數(shù)學的學習變成機械教條的死記硬背，學習者缺乏思維的訓練和提升，感受不到數(shù)學的美感和成就感，漸漸也會失去學習的興趣.