云南 段朝龍

在我們的實際教學(xué)中，教材上概念、公式、例題及習(xí)題的教學(xué)是我們整個數(shù)學(xué)教學(xué)活動的核心，教材也是學(xué)生思維拓展和能力培養(yǎng)的主要載體.因此，應(yīng)充分理解和把握教材，充分挖掘教材所蘊藏的思維方法，同時認(rèn)真研究課本相關(guān)知識的來龍去脈，對例題、習(xí)題進(jìn)行深度剖析，對典型的問題，需要從多個角度挖掘其蘊含的思維價值，并結(jié)合學(xué)生的實際加以適當(dāng)?shù)臉?gòu)造和拓展，努力引導(dǎo)學(xué)生學(xué)以致用，這樣才能更好地提升教育教學(xué)質(zhì)量，才能更好地培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維．

美國教育家蘇娜丹戴克說過:“告訴我,我會忘記,做給我看,我會記住,讓我參加,我就會完全理解.”因此在實際教學(xué)中，我們一線教師更重要的應(yīng)該是培養(yǎng)學(xué)生獨立思考和鉆研的習(xí)慣和能力，激發(fā)學(xué)生的發(fā)散性思維和創(chuàng)造性思維.

著名的教育家葉圣陶曾說過：“教材只能作為授課的依據(jù)，要教得好，使學(xué)生受到實益，還得靠教師的善于應(yīng)用.”“問題是數(shù)學(xué)的心臟.”學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是在學(xué)生與情境、問題的有效互動中提升的.在實際教學(xué)過程中，我們不難發(fā)現(xiàn)很多知識可以在問題中直接使用，但也有很多知識、思想、方法隱藏在教材例題、習(xí)題的背后.而且歷來高考命題都非常重視回歸教材，回歸課本，正所謂追本溯源，故而我們一線教師在實踐過程中，更應(yīng)該真正尊重教材，研究教材、拓展教材和活用教材，深度體會和掌握知識形成的思維過程.進(jìn)一步探求例題、習(xí)題背后蘊藏著的教學(xué)價值，對相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)、再造和升華，真正使例題、習(xí)題成為我們獲取知識、拓展思維、提升能力的又一個重要載體．而且課本中很多例題、習(xí)題都非常具有典型性和可研性，是我們教育教學(xué)中真正的精華.我們應(yīng)對這些問題進(jìn)行充分的探究和拓展，激活教材，融會貫通，提高師生的鉆研意識和研究能力，更好的發(fā)展學(xué)生思維和提升教學(xué)質(zhì)量．

本文的核心即就數(shù)列教學(xué)中如何借用教材對學(xué)生進(jìn)行思維拓展，如何挖掘教材例題、習(xí)題的應(yīng)用價值和思維價值，談一點自己的實踐感受和思考．

一、借用教材的相關(guān)推導(dǎo)和演示.理解知識的生成過程，進(jìn)而引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行歸納和探究，激發(fā)學(xué)生的內(nèi)部動機和興趣，培養(yǎng)學(xué)生的研究欲望.

【例1】等差數(shù)列前n項和公式是什么？怎樣推導(dǎo)的？高斯算法的妙處在哪里？再想一想還有其他推導(dǎo)方法嗎？(人教A版,數(shù)學(xué)必修5第二章數(shù)列第42頁探究)

證明：∵Sn=a1+a2+a3+…+an.① ∴Sn=an+an-1+an-2+…+a1.②

①+②得2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1).

讓學(xué)生充分體會高斯算法的巧妙之處，進(jìn)而采用倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和公式.通過合作探究，激發(fā)學(xué)生的內(nèi)部學(xué)習(xí)動機，努力解放思維禁錮，引發(fā)學(xué)生思考，激發(fā)學(xué)生發(fā)散性思維，并引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)尋找等差數(shù)列前n項和公式的其他推導(dǎo)方式.

思維拓展1：深刻理解前n項和的含義和等差數(shù)列的通項公式，活用等差數(shù)列的通項公式構(gòu)造新的推導(dǎo)方式，從而增強學(xué)生對相關(guān)知識的理解和應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生積極思考的習(xí)慣，讓學(xué)生體會到研究的樂趣.

證明：∵Sn=a1+a2+…+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[a1+(n-1)d].

【例2】等比數(shù)列前n項和公式是什么？怎樣推導(dǎo)的？再想一想還有其他推導(dǎo)方法嗎？(人教A版，數(shù)學(xué)必修5第二章數(shù)列第55頁)

證明：∵當(dāng)q≠1時，Sn=a1+a2+…+an=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1.

∴qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn.

當(dāng)q=1時，Sn=na1，故而得證.

∴Sn=a1+a2+…+an

思維拓展1：充分理解等比數(shù)列的通項公式和前n項和的定義，直接改寫相關(guān)各項，并進(jìn)行適當(dāng)化簡、變形與再造，從而歸納出下列方式進(jìn)行推導(dǎo).

證明：∵當(dāng)q≠1時，

Sn=a1+a2+…+an

=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1

=a1+q(a1+a1q+…+a1qn-2)

=a1+q(a1+a2+…+an-1)

=a1+qSn-1=a1+q(Sn-an).

當(dāng)q=1時，Sn=na1，故而得證.

思維拓展2:由于注意到思維拓展1中Sn=a1+qSn-1，聯(lián)想到遞推公式的特定式，從而構(gòu)造新的等比數(shù)列，從而又可挖掘出新的證明方法——待定系數(shù)法.

當(dāng)q=1時，Sn=na1.故而得證.

思維拓展3：充分理解和應(yīng)用等比數(shù)列的定義，引導(dǎo)學(xué)生思考與聯(lián)想，并對方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼怼w納和改寫，從而借用“等比性質(zhì)”來證明.這樣既能較好地帶動學(xué)生進(jìn)行思維活動，又能較好地培養(yǎng)學(xué)生的化簡和變形能力.

當(dāng)q=1時，Sn=na1.故而得證.

在我們平時的教學(xué)實踐中，對一些概念和公式進(jìn)行必要的探索和挖掘，從不同角度分析其特性，引導(dǎo)學(xué)生對相應(yīng)的式子進(jìn)行必要的化簡變形、整理歸納和比較發(fā)現(xiàn)，并積極聯(lián)想和遷移，從而把一些孤立呆板的知識轉(zhuǎn)化為有助于學(xué)生認(rèn)知和把握的理性知識，這樣會讓學(xué)生更加深刻地體會到對知識的理解、應(yīng)用和研究的樂趣，也讓學(xué)生學(xué)會抓住問題的本質(zhì)，提高他們舉一反三的思維能力，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生對未知的探索能力．

二、再度借用教材例題、習(xí)題及變式題進(jìn)行探究發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的多元思維.讓學(xué)生真切感受這種自我探索、自我發(fā)現(xiàn)的學(xué)習(xí)方式，并在例題習(xí)題中體會和品嘗新知的研究過程，從而形成對數(shù)學(xué)知識不斷求索的自我需求.

思維拓展1：緊扣a,b,c成等差數(shù)列這一條件，借用等差中項法進(jìn)行直接推導(dǎo).讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)問題解決的精髓——“看見已知想性質(zhì)，看見結(jié)論想判定”.

證明：設(shè)a=b-d，c=b+d.

思維拓展2:充分理解數(shù)列是函數(shù)特例這一性質(zhì)，從而應(yīng)用數(shù)列的函數(shù)特征進(jìn)行推導(dǎo)，這其實是最能揭示其本質(zhì)的一個證明，同時也能使學(xué)生對知識有一次升華的體驗.

【例4】(教材習(xí)題變式訓(xùn)練)已知{an}是等差數(shù)列，Sn是其數(shù)列{an}的前n項和，S5=28,S10=36,求S15.

思維拓展1：結(jié)合等差數(shù)列前n項和公式的函數(shù)特征，采用待定系數(shù)法進(jìn)行求解.這樣能使學(xué)生在認(rèn)識上實現(xiàn)跨越，并能培養(yǎng)學(xué)生函數(shù)、方程數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用意識，使相關(guān)知識得以提升.

思維拓展2：引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察與分析，發(fā)現(xiàn)可用等差數(shù)列的性質(zhì):“等差數(shù)列中，Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…，成等差”，從而采用“等項片段和”直接計算出S15.

解：∵S5,S10-S5,S15-S10成等差數(shù)列.∴S5=28,S10-S5=8,S15-S10=-12.

∴S15=24.

思維拓展4：受思維拓展3的啟發(fā)，可采用數(shù)列的函數(shù)特性，應(yīng)用函數(shù)“圖象法”來解決，真正理解和應(yīng)用數(shù)列的函數(shù)特征.從而使知識再次升華.

∴從而S15=24.

這樣，表面上看起來十分簡單的一道題，經(jīng)過不斷探索發(fā)現(xiàn)，將數(shù)列與函數(shù)等知識充分融合，產(chǎn)生了多種有價值的解法.在這樣一個探索過程中，學(xué)生的思維會得到充分地釋放，在交流與展示過程中，也更能促使學(xué)生對相關(guān)知識有本質(zhì)理解和綜合應(yīng)用,從而有效的提升學(xué)生的認(rèn)知和鉆研精神.

三、借用教材例題和習(xí)題的解法，尋求知識間“共性和個性”的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的思維遷移，使學(xué)生學(xué)會“反思性學(xué)習(xí)”和“創(chuàng)造性學(xué)習(xí)”，促使學(xué)生學(xué)會獨立思考、遷移發(fā)散和綜合應(yīng)用.

解法反思：我們可以帶領(lǐng)學(xué)生積極總結(jié)和歸納,找出裂項過程的共性和個性，發(fā)現(xiàn)裂項相消在不同形式下的相消規(guī)律，理解裂項相消與相關(guān)參數(shù)的關(guān)系，體會相鄰項的裂項相消和隔項的裂項相消在解決問題中的技巧.

四、結(jié)束語

教材中像這樣可以進(jìn)行深入探索和拓展的題目還有很多，只要學(xué)生形成良好的研究習(xí)慣，善于鉆研與反思，學(xué)會從不同角度不斷發(fā)散和引申，可以總結(jié)出很多很好的方法和技巧，有助于學(xué)生進(jìn)行更高效率的學(xué)習(xí)，真正提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，更好的培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．