湖北 周 威

數(shù)學(xué)是一門思維嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科.然而，在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)或模擬考試中，由于缺乏思維嚴(yán)謹(jǐn)性導(dǎo)致一些錯(cuò)題或錯(cuò)解出現(xiàn)，對(duì)解題教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)造成了一定的負(fù)面影響.本文所說的錯(cuò)題是指有邏輯錯(cuò)誤的題,錯(cuò)解也是指在解題過程中由于邏輯不嚴(yán)謹(jǐn)、不合情理導(dǎo)致的錯(cuò)誤解答.正所謂“失敗乃成功之母”，錯(cuò)題與錯(cuò)解也有其教育價(jià)值及教育功能.對(duì)錯(cuò)題與錯(cuò)解的歸類例析，是提升學(xué)生邏輯推理核心素養(yǎng)的有效途徑，也是深度學(xué)習(xí)的表現(xiàn).黎加厚教授曾經(jīng)指出，深度學(xué)習(xí)意味著理解和批判，意味著聯(lián)系和構(gòu)建，意味著遷移與應(yīng)用.本文基于深度學(xué)習(xí)的特點(diǎn)歸類例析筆者最近教學(xué)研究中遇到的一部分典型錯(cuò)題與錯(cuò)解，與讀者交流.

1. 充分、必要、充要條件混淆導(dǎo)致錯(cuò)題與錯(cuò)解

【例1】已知f(x)為R上的偶函數(shù)，滿足f(x+1)=-f(x),且當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)=3x-1，則函數(shù)g(x)=f(x)-log2|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是( )

A.2 B.4 C.6 D.8

似乎正確的解析：由題意知f(x+2)=-f(x+1)=f(x),所以f(x)的周期為2，又由于x∈[0,1]時(shí)，f(x)=3x-1，且f(x)為R上的偶函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合可畫出y=f(x)與y=log2|x|的函數(shù)圖象，觀察可得其交點(diǎn)個(gè)數(shù)為6個(gè)，故選C.

點(diǎn)評(píng)：整個(gè)解題過程條件應(yīng)用到位，運(yùn)用了化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合思想，似乎十分合理，但是，仔細(xì)斟酌就會(huì)發(fā)現(xiàn)，若取x=0,根據(jù)題設(shè)條件f(x+1)=-f(x)得f(1)=-f(0)，代入條件“當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)=3x-1”，于是會(huì)得到“0=2”的矛盾結(jié)果！因此，這是一道錯(cuò)題！因?yàn)榻忸}過程中起作用的是“函數(shù)f(x)的周期為2”，但條件“f(x+1)=-f(x)”是“f(x+2)=f(x)”的充分不必要條件，也就是說這兩個(gè)條件并不等價(jià)！

【例2】已知函數(shù)f(x)=lnx+ax的圖象存在與直線2x-y=0平行的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.

2. 恒成立與最值問題混淆導(dǎo)致錯(cuò)題

3.不等式放縮不嚴(yán)謹(jǐn)導(dǎo)致錯(cuò)題

A.(1,+∞) B. (e,+∞)

4.沒有把握數(shù)學(xué)本質(zhì)的答案巧合導(dǎo)致錯(cuò)解

【例6】某學(xué)校為鼓勵(lì)家校互動(dòng),與某手機(jī)通訊商合作,為教師辦理流量套餐,為了解該校教師手機(jī)流量使用情況,通過抽樣,得到100位教師近2年每人手機(jī)月平均使用流量L(單位：M)的數(shù)據(jù)，其頻率分布直方圖如下.若將每位教師的手機(jī)月平均使用流量分布視為其手機(jī)月使用流量，并將頻率視為概率，回答以下問題.

(1)從該校教師中隨機(jī)抽取3人，求這3人中至多有1人月平均使用流量不超過300M的概率；

(2)現(xiàn)該通訊商推出三款流量套餐，詳情如下：

套餐名稱月套餐費(fèi)(單位:元)月套餐流量(單位:M)A20300B30500C38700

這三款套餐都有如下附加條款：套餐費(fèi)月初一次性收取，手機(jī)使用一旦超出套餐流量，系統(tǒng)就自動(dòng)幫用戶充值200M流量，資費(fèi)20元；如果又超出充值流量，系統(tǒng)就再次自動(dòng)幫用戶充值200M流量，資費(fèi)20元/次，依此類推，如果當(dāng)月流量有剩余，系統(tǒng)將自動(dòng)清零，無法轉(zhuǎn)入次月使用.

學(xué)校欲訂購其中一款流量套餐，為教師支付月套餐費(fèi)，并承擔(dān)系統(tǒng)自動(dòng)充值的流量資費(fèi)的75%，其余部分由教師個(gè)人承擔(dān)，問學(xué)校訂購哪一款套餐最經(jīng)濟(jì)實(shí)惠?說明理由.

錯(cuò)解：(2)由頻率分布直方圖可知每位教師手機(jī)月平均使用流量為x=150×0.08+250×0.22+350×0.25+450×0.35+550×0.08+650×0.02=369(M).

也就是說,該校每位教師手機(jī)月平均使用流量為369M,以下分三種情況：

①當(dāng)學(xué)校訂購A套餐時(shí),該校為每位教師承擔(dān)的月費(fèi)用為20+20×75%=35元；

②當(dāng)學(xué)校訂購B套餐時(shí)，該校為每位教師承擔(dān)的月費(fèi)用為30元；

③當(dāng)學(xué)校訂購C套餐時(shí),該校為每位教師承擔(dān)的月費(fèi)用為38元.

因?yàn)?0<35<38,所以學(xué)校訂購B套餐最經(jīng)濟(jì)實(shí)惠.

點(diǎn)評(píng):此題正確答案是訂購B套餐最經(jīng)濟(jì)實(shí)惠.之所以錯(cuò)解就是沒有抓住問題的本質(zhì)“數(shù)學(xué)期望”.事實(shí)上，上述“錯(cuò)解”其實(shí)已經(jīng)沒有在概率統(tǒng)計(jì)范疇中考慮問題了，因?yàn)閷W(xué)校為每位教師選擇套餐類型，這是個(gè)隨機(jī)事件，而上述錯(cuò)解的解答過程，卻把選擇每一類套餐的事件當(dāng)成必然事件.所以正確解法應(yīng)當(dāng)計(jì)算出“每類套餐支付費(fèi)用”的分布列，求出數(shù)學(xué)期望，根據(jù)數(shù)學(xué)期望值來選擇方案.另外當(dāng)修改相關(guān)數(shù)據(jù)且套餐只有兩類時(shí)，按上述“錯(cuò)解”的思路也無法算出哪種方案最經(jīng)濟(jì)實(shí)惠.

5. 結(jié)語