福建 湯小梅 鄭金木

數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的交匯與融合是近幾年高考中經(jīng)常出現(xiàn)的現(xiàn)象，此類試題常常以“新交匯”為載體，體現(xiàn)了“返璞歸真，支持課改，突破定勢(shì)，考查真功”的命題理念，意在考查數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析、直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，值得重點(diǎn)關(guān)注．現(xiàn)以2020年各省市模擬題為例，對(duì)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的交匯型考題進(jìn)行歸納，感悟數(shù)學(xué)知識(shí)與其他學(xué)科之間的關(guān)聯(lián)，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)交匯性的理解，旨在揭示命題動(dòng)向與解題策略，以期能為讀者提供幫助．

一、音樂(lè)中的數(shù)學(xué)

音樂(lè)的要素——音高、音色、節(jié)拍、樂(lè)音、樂(lè)曲、樂(lè)器等都與數(shù)學(xué)相關(guān)，特別是音的律制與數(shù)學(xué)的關(guān)系十分密切．以音樂(lè)為背景的考題，可以讓學(xué)生更加理性地理解音樂(lè)、鑒賞音樂(lè)的美，增強(qiáng)理性思維能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．常見(jiàn)考法有：聲波與正弦函數(shù)結(jié)合，律制、音階與數(shù)列結(jié)合，樂(lè)曲的節(jié)拍與分?jǐn)?shù)結(jié)合，樂(lè)器中的數(shù)學(xué)，樂(lè)曲中的數(shù)學(xué)等．

【典例1】(2020·廣東省深圳市羅湖區(qū)高三質(zhì)量檢查)中國(guó)古代的五音，一般指五聲音階，依次為：宮、商、角、徵、羽；如果把這五個(gè)音階全用上，排成一個(gè)五個(gè)音階的音序，且要求宮、羽兩音階在角音階的同側(cè)，可排成多少種這樣的不同音序( )

A．120 B．90 C．80 D．60

【方法點(diǎn)津】本題以音樂(lè)學(xué)科中的“音階”為載體考查排列組合應(yīng)用問(wèn)題，破解此類題的關(guān)鍵：一是有限制條件的元素需優(yōu)先考慮，如本題，需對(duì)限制條件“宮、羽兩音階在角音階的同側(cè)”優(yōu)先考慮，分類的“度”就很明確，只需對(duì)“角音階”的位置進(jìn)行分類；二是會(huì)利用排列組合的應(yīng)用情況進(jìn)行求解，有序用排列，無(wú)序用組合．

【方法點(diǎn)津】本題以音樂(lè)學(xué)科的“音的律制”為載體考查等比數(shù)列與類比推理等基礎(chǔ)知識(shí).破解此類題的關(guān)鍵：一是讀懂題目的文化背景，如本題，需讀懂“等程律”；二是利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行等價(jià)變形求解．若會(huì)利用特取法，如解法二，即可把一般性的繁雜的推導(dǎo)，轉(zhuǎn)化為數(shù)列前4項(xiàng)之間的關(guān)系式的推導(dǎo)，從而達(dá)到窺斑知豹之功效．

二、美術(shù)中的數(shù)學(xué)

美術(shù)主要包括繪畫(huà)、雕塑、工藝美術(shù)、建筑藝術(shù)，以及書(shū)法、篆刻等，美術(shù)中的平移、對(duì)稱、黃金分割、幾何透視等都與數(shù)學(xué)相關(guān)．以美術(shù)為背景的考題，可以讓學(xué)生了解在美術(shù)家的創(chuàng)作過(guò)程中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，體會(huì)數(shù)學(xué)在美術(shù)中的作用，更加理性地鑒賞美術(shù)作品，提升直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．常見(jiàn)考法有：名畫(huà)中的數(shù)學(xué)元素、繪畫(huà)中的平移與對(duì)稱、雕塑、書(shū)法、建筑、繪畫(huà)中的黃金分割、工藝品中的對(duì)稱等．

【典例3】(2020·遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中)素描是學(xué)習(xí)繪畫(huà)的必要一步，它包括了明暗素描和結(jié)構(gòu)素描，而學(xué)習(xí)幾何體結(jié)構(gòu)素描是學(xué)習(xí)素描最重要的一步．某高中2018級(jí)同學(xué)在畫(huà)“切面圓柱體”(用與圓柱底面不平行的平面去截圓柱，底面與截面之間的部分叫做切面圓柱體)的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)“切面”是一個(gè)橢圓，若“切面”所在平面與底面成60°角，則該橢圓的離心率為( )

【方法點(diǎn)津】本題以美術(shù)學(xué)科的“素描”為載體考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)、線面角與橢圓的幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí).有關(guān)此類多交匯點(diǎn)試題，求解的關(guān)鍵：一是明晰空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征；二是活用定義，即會(huì)利用空間線面所成角的定義，得到橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)的關(guān)系式；三是應(yīng)用公式，即會(huì)利用橢圓的離心率公式，得出結(jié)果．

三、體育中的數(shù)學(xué)

在體育運(yùn)動(dòng)中，無(wú)論是運(yùn)動(dòng)本身還是與運(yùn)動(dòng)有關(guān)的事都蘊(yùn)含著許多數(shù)學(xué)原理．以體育為背景的考題，可以讓學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)探索提高運(yùn)動(dòng)效率的途徑，能運(yùn)用數(shù)學(xué)方法合理安排賽事，增強(qiáng)理性思維能力，提升直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．常見(jiàn)考法有：運(yùn)動(dòng)場(chǎng)上的數(shù)學(xué)原理考查向量知識(shí)；運(yùn)動(dòng)成績(jī)的數(shù)據(jù)分析考查概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)；借助圖象、運(yùn)籌等數(shù)學(xué)知識(shí)分析體育賽事的規(guī)律，改善運(yùn)動(dòng)員賽場(chǎng)上的應(yīng)對(duì)策略；體育用具及設(shè)施中也蘊(yùn)含數(shù)學(xué)知識(shí)，如足球、乒乓球的制作，網(wǎng)球拍的構(gòu)造，考查的是空間幾何體問(wèn)題，等等．

【典例4】(2020·安徽省蚌埠市高三第三次教學(xué)質(zhì)量檢查)足球起源于中國(guó)東周時(shí)期的齊國(guó)，當(dāng)時(shí)把踢足球稱為“蹴鞠”.漢代蹴鞠是訓(xùn)練士兵的手段，制定了較為完備的體制，如專門(mén)設(shè)置了球場(chǎng)，規(guī)定為東西方向的長(zhǎng)方形，兩端各設(shè)六個(gè)對(duì)稱的“鞠域”，也稱“鞠室”，各由一人把守.比賽分為兩隊(duì)，互有攻守，以踢進(jìn)對(duì)方鞠室的次數(shù)多少?zèng)Q定勝負(fù).1970年以前的世界杯用球多數(shù)由舉辦國(guó)自己設(shè)計(jì)，所以每一次球的外觀都不同，拼塊的數(shù)目如同擲骰子一樣沒(méi)準(zhǔn).自1970年起，世界杯官方用球選擇了三十二面體形狀的足球，沿用至今.如圖Ⅰ，32面體足球的面由邊長(zhǎng)相等的12塊正五邊形和20塊正六邊形拼接而成，形成一個(gè)近似的球體.現(xiàn)用邊長(zhǎng)為4.5cm的上述正五邊形和正六邊形所圍成的三十二面體的外接球作為足球，其大圓圓周展開(kāi)圖可近似看成是由4個(gè)正六邊形與4個(gè)正五邊形以及2條正六邊形的邊所構(gòu)成的圖形的對(duì)稱軸截圖形所得的線段AA′，如圖Ⅱ，則該足球的表面積約為( )

A．366.64cm2B．488.85cm2

C．1 464.82cm2D．5 282.40cm2

【方法點(diǎn)津】本題以體育學(xué)科的體育用具“足球”為載體考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)、表面積和余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí).此類題求解的突破口：一是細(xì)審題和細(xì)觀圖，認(rèn)真讀懂題意，并能觀察出幾何體的結(jié)構(gòu)特征，畫(huà)出草圖；二是活用定理，即會(huì)利用余弦定理求出線段的長(zhǎng)；三是應(yīng)用公式，會(huì)利用圓的周長(zhǎng)公式和球的表面積公式求出相應(yīng)的量．

四、化學(xué)中的數(shù)學(xué)

化學(xué)是數(shù)學(xué)天生的載體，以化學(xué)為背景的考題，可以拓展視野，提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)．常見(jiàn)考法有：以溶液濃度為背景創(chuàng)設(shè)的數(shù)列、函數(shù)等問(wèn)題，以化學(xué)中的分子等為背景創(chuàng)設(shè)的空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、表面積或體積的問(wèn)題，以化合物的結(jié)構(gòu)式及分子式創(chuàng)設(shè)的歸納推理問(wèn)題，等等．

【典例5】(2020·河南省期中測(cè)試)甲、乙兩容器中分別盛有兩種濃度的某溶液300ml，從甲容器中取出100ml溶液，將其倒入乙容器中攪勻，再?gòu)囊胰萜髦腥〕?00ml溶液，將其倒入甲容器中攪勻，這稱為一次調(diào)和，已知第一次調(diào)和后，甲、乙兩種溶液的濃度分別記為a1=20%,b1=2%,第n次調(diào)和后的甲、乙兩種溶液的濃度分別記為an,bn.

(1)請(qǐng)用an,bn分別表示an+1和bn+1；

(2)問(wèn)經(jīng)過(guò)多少次調(diào)和后，甲、乙兩容器中溶液的濃度之差小于0.1%.

【解析】(1)由題意可知甲、乙兩種溶液第一次調(diào)和后的濃度分別為a1=20%,b1=2%，

(2)由于題目中的問(wèn)題是針對(duì)濃度之差，所以我們不妨直接考慮數(shù)列{an-bn}．

【方法點(diǎn)津】解決此類以化學(xué)的溶液濃度為背景的數(shù)列模型題的關(guān)鍵：一是認(rèn)真審題，構(gòu)建數(shù)列模型，如本題，構(gòu)建兩個(gè)數(shù)列模型；二是解模，即根據(jù)題意，把所求的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知兩個(gè)數(shù)列的遞推公式，求解不等式問(wèn)題，通過(guò)等比數(shù)列定義的應(yīng)用，以及解指數(shù)不等式，即可求得結(jié)果．

【典例6】(2020·重慶巴蜀中學(xué)高三月考)已知C60分子是一種由60個(gè)碳原子構(gòu)成的分子，它形似足球，因此又名足球烯，C60是單純由碳原子結(jié)合形成的穩(wěn)定分子，它有60個(gè)頂點(diǎn)和若干個(gè)面.各個(gè)面的形狀為正五邊形或正六邊形，結(jié)構(gòu)如圖.已知其中正六邊形的面為20個(gè)，則正五邊形的面的個(gè)數(shù)為( )

A．10 B．12 C．16 D．20

【方法點(diǎn)津】解決此類以化學(xué)C60分子為背景的立體幾何模型題的關(guān)鍵：一是認(rèn)真讀題，構(gòu)建立體幾何模型，如本題，構(gòu)建空間多面體模型；二是解模，即根據(jù)題意，把所求的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求幾何體的正五邊形的面數(shù)問(wèn)題．

【典例7】(2020·安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)高二期中)按照下列三種化合物的結(jié)構(gòu)式及分子式的規(guī)律，寫(xiě)出后一種化合物的分子式( )

A．C4H9B．C4H10

C．C4H11D．C6H12

【解析】依題意可知，后一個(gè)分子式總比前一個(gè)分子式多1個(gè)C和2個(gè)H，所以第四種化合物的分子式為C4H10，故選B.

【方法點(diǎn)津】本題以化學(xué)學(xué)科的“化合物的結(jié)構(gòu)式”為載體，考查歸納推理等基礎(chǔ)知識(shí).像這樣由一系列有限的特殊結(jié)論來(lái)歸納得出一般結(jié)論的推理就是歸納推理.一般地說(shuō)，“求同存異”“逐步細(xì)化”“先粗后精”是求解由特殊結(jié)論推廣到一般結(jié)論型創(chuàng)新題的基本技巧．

五、物理中的數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)與物理不分家，以物理為背景的考題，可以提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)．常見(jiàn)考法有：以天體運(yùn)動(dòng)為背景(如衛(wèi)星的運(yùn)行軌跡等)考查橢圓的幾何性質(zhì)，以物理中的“質(zhì)量等于體積與密度之積”的計(jì)算考查幾何體的體積，以分子間作用力創(chuàng)設(shè)函數(shù)與方程問(wèn)題，等等．

【典例8】(2020·新疆烏魯木齊地區(qū)高三年級(jí)第一次質(zhì)量監(jiān)測(cè))天文學(xué)中為了衡量星星的明暗程度，古希臘天文學(xué)家喜帕恰斯(Hipparchus，又名依巴谷)在公元前二世紀(jì)首先提出了星等這個(gè)概念.星等的數(shù)值越小，星星就越亮；星等的數(shù)值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度計(jì)在天體光度測(cè)量中的應(yīng)用，英國(guó)天文學(xué)家普森(M.R.Pogson)又提出了衡量天體明暗程度的亮度的概念.天體的明暗程度可以用星等或亮度來(lái)描述.兩顆星的星等與亮度滿足m1-m2=2.5(lgE2-lgE1).其中星等為mi的星星的亮度為Ei(i=1,2).已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四” 的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，則與r最接近的是( )(當(dāng)|x|較小時(shí)，10x≈1+2.3x+2.7x2)

A．1.24 B．1.25 C．1.26 D．1.27

六、地理中的數(shù)學(xué)

地理學(xué)科中的常識(shí)問(wèn)題，常常作為數(shù)學(xué)創(chuàng)新問(wèn)題的載體，可以提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)．常見(jiàn)考法有：以地理位置背景考查空間幾何體的空間角問(wèn)題或解三角形問(wèn)題．

【典例9】(2020·河南省名校(南陽(yáng)一中、信陽(yáng)、漯河、平頂山一中四校)高三3月線上聯(lián)考)小王想在某市一住宅小區(qū)買(mǎi)套新房，據(jù)了解，該小區(qū)有若干棟互相平行的平頂樓房，每棟樓房有15層，每層樓高為3米，頂樓有1米高的隔熱層，兩樓之間相距60米.小王不想買(mǎi)最前面和最后面的樓房，但希望所買(mǎi)樓層全年每天正午都能曬到太陽(yáng).為此，小王查找了有關(guān)地理資料，獲得如下一些信息：①該市的緯度(地面一點(diǎn)所在球半徑與赤道平面所成的角)為北緯36°34′；②正午的太陽(yáng)直射北回歸線(太陽(yáng)光線與赤道平面所成的角為23°26′)時(shí)，物體的影子最短，直射南回歸線(太陽(yáng)光線與赤道平面所成的角為-23°26′)時(shí)，物體的影子最長(zhǎng)，那么小王買(mǎi)房的最低樓層應(yīng)為( )

A．3 B．4 C．5 D．6

【方法點(diǎn)津】本題以地理學(xué)科為載體考查解三角形等基礎(chǔ)知識(shí)，破解此類題的關(guān)鍵：一是準(zhǔn)確理解題意，獲取有效信息；二是根據(jù)題意畫(huà)出其示意圖，示意圖起著關(guān)鍵的作用；三是解三角形，掌握直角三角形的特征，通過(guò)合理運(yùn)算，即可得出結(jié)果．

七、醫(yī)學(xué)中的數(shù)學(xué)

以醫(yī)學(xué)為背景的數(shù)學(xué)考題，展示了跨界的精彩，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，可以提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)分析等核心素養(yǎng)．常見(jiàn)考法有：以醫(yī)學(xué)中的藥物等為背景創(chuàng)設(shè)函數(shù)圖象、函數(shù)模型、統(tǒng)計(jì)分析等數(shù)學(xué)問(wèn)題．

【典例10】(2020·襄陽(yáng)市襄州區(qū)第一高級(jí)中學(xué)期中)2019年諾貝爾生理學(xué)或醫(yī)學(xué)獎(jiǎng)獲得者威廉·凱林(William G.Kaelin Jr)在研究腎癌的VEGF抑制劑過(guò)程中使用的輸液瓶可以視為兩個(gè)圓柱的組合體.開(kāi)始輸液時(shí)，滴管內(nèi)勻速滴下液體(滴管內(nèi)液體忽略不計(jì))，設(shè)輸液開(kāi)始后x分鐘，瓶?jī)?nèi)液面與進(jìn)氣管的距離為h厘米，已知當(dāng)x=0時(shí)，h=13.若瓶?jī)?nèi)的藥液恰好156分鐘滴完.則函數(shù)h=f(x)的圖象為( )

【方法點(diǎn)津】解決此類以醫(yī)學(xué)為背景的函數(shù)圖象判斷題的關(guān)鍵：認(rèn)真讀懂題意，明晰幾何體的特征，根據(jù)題意，求出函數(shù)的解析式，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而判斷函數(shù)的圖象特征，即可得出正確的選項(xiàng)．

A．22藥物單位 B．20藥物單位

C．12藥物單位 D．10藥物單位

【方法點(diǎn)津】解決此類以藥物功效為背景的用樣本估計(jì)總體題型的關(guān)鍵：一是讀懂題意，明晰已知的量與需求解的量；二是活用公式，即會(huì)利用平均數(shù)、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的公式，即可得結(jié)果．