李海潮，馬 博，張 升,2，盛岱超

(1. 中南大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南，長(zhǎng)沙 410075；2. 高速鐵路建造技術(shù)國(guó)家工程實(shí)驗(yàn)室，湖南，長(zhǎng)沙 410075；3. 悉尼科技大學(xué)土木與環(huán)境工程學(xué)院，澳大利亞，悉尼 NSW 2007)

不同于正常固結(jié)重塑土，超固結(jié)重塑土應(yīng)力-應(yīng)變曲線具有應(yīng)變硬化和軟化特征，并且伴隨著剪縮和剪脹現(xiàn)象的發(fā)生。修正劍橋(modified Camclay, MCC)模型[1]在描述其力學(xué)特性時(shí)存在明顯不足，具體表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

首先，MCC 模型的剪脹方程假定土體的剪脹因子僅與當(dāng)前剪切應(yīng)力比有關(guān)，無(wú)法考慮溫度和超固結(jié)比等外部加載因素對(duì)土體剪脹特性的影響[2 ? 5]。Gao 等[6]在其所建立邊界面模型中深入的探究了黏土的應(yīng)力歷史對(duì)其剪脹特性和應(yīng)力-應(yīng)變特性的影響。值得注意的是，即使對(duì)于正常固結(jié)重塑土，MCC 模型的剪脹方程在描述其剪脹特性時(shí)依然存在不足。Wang 和Yin[7]針對(duì)自然軟土的試驗(yàn)結(jié)果表明，在材料發(fā)生剪縮破壞的過程中，MCC 模型預(yù)測(cè)的剪縮量要明顯小于試驗(yàn)值。杜修力等[8]基于統(tǒng)一非線性強(qiáng)度理論建立了適用于正常固結(jié)重塑土的剪脹方程。殷杰[9]通過引入結(jié)構(gòu)屈服應(yīng)力參數(shù)建立了適用于結(jié)構(gòu)性軟黏土的修正劍橋模型。

其次，MCC 模型采用相關(guān)聯(lián)的流動(dòng)法則，并且基于非線性能量耗散方程假定土體具有橢圓形屈服面。然而試驗(yàn)結(jié)果表明，巖土材料的屈服面具有更為復(fù)雜的幾何形狀[2, 10]。Lagioia 等[11]討論了屈服面幾何形狀對(duì)模型計(jì)算結(jié)果的影響；Collins和Kelly[12]則基于現(xiàn)代熱力學(xué)理論給出了適用于巖土材料的雙參數(shù)屈服函數(shù)。此外，剪切過程中巖土材料塑性流動(dòng)方向并不始終垂直于其物理屈服面[13 ? 14]。Sun 等[15 ? 18]指出可以對(duì)屈服函數(shù)進(jìn)行分?jǐn)?shù)階微分得到分?jǐn)?shù)階塑性流動(dòng)法則，進(jìn)而在不引入塑性勢(shì)函數(shù)的情況下統(tǒng)一的描述相關(guān)聯(lián)和非相關(guān)聯(lián)的塑性流動(dòng)法則。在此基礎(chǔ)上，孫逸飛和沈楊[19]建立了適用于粗粒料的靜動(dòng)力邊界面模型，成功地模擬了粗粒料在靜動(dòng)力加載條件下的應(yīng)力-應(yīng)變行為和循環(huán)荷載下的長(zhǎng)期變形。Lu 等[20]則基于該方法在 β應(yīng)力空間建立了適用于正常固結(jié)重塑土的分?jǐn)?shù)階修正劍橋模型。

MCC 模型在描述黏土在超固結(jié)狀態(tài)時(shí)的應(yīng)力-應(yīng)變響應(yīng)時(shí)同樣存在明顯不足，模型計(jì)算得到的剪切強(qiáng)度明顯偏大，且應(yīng)力-應(yīng)變曲線為一條不光滑的曲線[21]。為了克服該不足，Dafalias 等[22 ? 23]和Hashiguchi 等[24 ? 26]分別提出了邊界面和下加載面的力學(xué)概念。其中，下加載面模型假定在任意加載時(shí)刻，材料當(dāng)前的應(yīng)力點(diǎn)始終位于下加載面上并發(fā)生彈塑性體積變形[27?31]；邊界面模型則假定當(dāng)前應(yīng)力點(diǎn)位于邊界面內(nèi)，并且采用某種映射準(zhǔn)則計(jì)算得到其塑性流動(dòng)方向和塑性模量[32 ? 36]。

本文首先將Caputo 微分方法應(yīng)用于MCC 模型的屈服函數(shù)，從而得到一個(gè)新的分?jǐn)?shù)階剪脹方程用于考慮超固結(jié)比對(duì)黏土剪脹特性的影響。在此基礎(chǔ)上可以建立適用于黏土的分?jǐn)?shù)階下加載面模型，該模型所采用的分?jǐn)?shù)階塑性流動(dòng)法則能夠統(tǒng)一的描述相關(guān)聯(lián)和非相關(guān)聯(lián)的流動(dòng)法則。相比較MCC 模型，本文模型僅額外地引入了一個(gè)與土體剪脹特性相關(guān)的模型參數(shù)，同時(shí)能夠?qū)Τ探Y(jié)黏土的應(yīng)變軟化和剪脹特性進(jìn)行合理的描述。

1 應(yīng)力誘導(dǎo)分?jǐn)?shù)階剪脹方程

1.1 分?jǐn)?shù)階微分定義

孫逸飛和沈楊[19]指出分?jǐn)?shù)階微分具有長(zhǎng)程記憶性，適用于描述路徑和記憶依賴性行為。后文將根據(jù)分?jǐn)?shù)階微分推導(dǎo)出一個(gè)新的應(yīng)力誘導(dǎo)剪脹方程，并由此建立一個(gè)適用于超固結(jié)重塑土的分?jǐn)?shù)階下加載面模型。

1.2 分?jǐn)?shù)階塑性流動(dòng)法則

圖1 分?jǐn)?shù)階流動(dòng)法則示意圖Fig. 1 Schematic plot of fractional flow rule

1.3 正常固結(jié)屈服面和相似因子

為了表述超固結(jié)重塑土的應(yīng)變軟化和剪脹特性，本文引入了下加載面的力學(xué)概念。如圖2 所示，表征超固結(jié)狀態(tài)的當(dāng)前應(yīng)力點(diǎn)A(p,q)位于下加載面上，而參考應(yīng)力點(diǎn)B(pˉ,qˉ)則位于正常固結(jié)屈服面上。為了動(dòng)態(tài)地描述在p?q平面中下加載面和正常固結(jié)屈服面兩者之間相對(duì)位置的演變關(guān)系，基于徑向映射法則定義了相似因子R：

圖2 下加載面示意圖Fig. 2 Schematic plot of sub-loading surface

R與超固結(jié)比OCR具有相似的物理意義，在單調(diào)加載過程中，隨著土體超固結(jié)特性的減弱，R的值逐漸增大，當(dāng)R=1 時(shí)，下加載面與正常固結(jié)屈服面最終重合，此時(shí)土體處于正常固結(jié)狀態(tài)。

1.4 分?jǐn)?shù)階剪脹方程

MCC 剪脹方程無(wú)法反映溫度和超固結(jié)性等外部加載因素對(duì)土體剪脹特性的影響，同時(shí)對(duì)于超固結(jié)重塑土，該剪脹方程預(yù)測(cè)的剪脹量要明顯大于實(shí)測(cè)值。為此，聯(lián)合式(5)、式(9)，本文基于Caputo 分?jǐn)?shù)階微分給出了一個(gè)新的剪脹方程：

圖3 給出了剪脹因子d隨剪應(yīng)力比 η和相似因子R的變化規(guī)律?？梢钥闯觯谙嗤膽?yīng)力水平下，d隨著R的增大而逐漸增大，即黏土的剪脹量會(huì)隨著超固結(jié)性的破壞而逐漸增大，與試驗(yàn)結(jié)果保持一致。

圖3 剪脹因子d 隨剪應(yīng)力比 η和相似因子R 變化規(guī)律Fig. 3 Evolution of dilatancy ratio d with shear stress ratio η and similarity ratio R

2 分?jǐn)?shù)階下加載面模型

基于本文提出的應(yīng)力誘導(dǎo)分?jǐn)?shù)階剪脹方程，通過給定一個(gè)合理的下加載面硬化法則，可以直接建立適用于黏土的分?jǐn)?shù)階下加載面模型。

2.1 下加載面和硬化法則

根據(jù)Hashiguchi 等[24 ? 26]的研究成果，本文假定下加載面與正常固結(jié)屈服面具有相似的幾何形狀，則下加載面屈服函數(shù)f可以表示為：

2.2 模型實(shí)現(xiàn)

2.3 參數(shù)試驗(yàn)

這里主要探究參數(shù)m的取值對(duì)模型計(jì)算結(jié)果的影響。首先將數(shù)值試樣各向同性固結(jié)至800 kPa，然后卸載至100 kPa，從而形成OCR=8 的超固結(jié)試樣。在此基礎(chǔ)上分別選取不同的m的取值開展三軸壓縮排水和不排水?dāng)?shù)值試驗(yàn)，模型參數(shù)如表1 所示。

表1 模型參數(shù)敏感性試驗(yàn)材料參數(shù)Table 1 Parameters used in model sensitive analysis

模型參數(shù)m對(duì)超固結(jié)重塑土的三軸壓縮排水試驗(yàn)?zāi)Ｐ陀?jì)算結(jié)果的影響如圖4 所示。根據(jù)圖4(a)，該試樣的峰值強(qiáng)度隨著m值的增大而減小，體應(yīng)變的剪脹量則逐漸增大。圖4(b)給出了不同m值對(duì)材料剪脹曲線的影響，可以看出，隨著m值的增大，該試樣的剪脹應(yīng)力比Md逐漸減小，而m不會(huì)對(duì)材料的臨界狀態(tài)剪應(yīng)力比產(chǎn)生影響。

模型參數(shù)m對(duì)超固結(jié)重塑土的三軸壓縮不排水試驗(yàn)?zāi)Ｐ陀?jì)算結(jié)果的影響如圖5 所示。根據(jù)圖5(a)，該試樣的不排水抗剪強(qiáng)度隨著m值的增大而減小，隨著m值的進(jìn)一步增大，材料的不排水抗剪強(qiáng)度甚至?xí)∮谄渑R界強(qiáng)度，該現(xiàn)象與密實(shí)砂土的應(yīng)力-應(yīng)變曲線變化特點(diǎn)具有某種相似性[22]。圖5(b)給出了m對(duì)該試樣的應(yīng)力路徑的影響。

3 模型驗(yàn)證

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文所建立的分?jǐn)?shù)階下加載面模型的適用性，采用該模型分別對(duì)Black Kaolin黏土[39]和Fujinomori 黏土[29]的三軸壓縮試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行模擬，重點(diǎn)探究土體超固結(jié)性對(duì)其剪脹特性的影響，模型參數(shù)如表2 所示。

圖4 參數(shù)m 三軸壓縮排水試驗(yàn)?zāi)Ｐ陀?jì)算結(jié)果的影響Fig. 4 Effect of parameter m on drained triaxial test model predictions

圖5 參數(shù)m 三軸壓縮不排水試驗(yàn)?zāi)Ｐ陀?jì)算結(jié)果的影響Fig. 5 Effect of parameter m on undrained triaxial test model predictions

圖6 給出了Black Kaolin 黏土的三軸壓縮排水試驗(yàn)結(jié)果和模型計(jì)算結(jié)果，其中，Black Kaolin 黏土的加載圍壓分別為100 kPa、200 kPa、400 kPa和800 kPa，且OCR分別為8、4、2 和1。在不同的圍壓下，Black Kaolin 黏土的初始孔隙比e0分別為1.09、1.06、0.94 和0.91。根據(jù)圖6(a)和圖6(b)，模型計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果具有良好的相關(guān)性。當(dāng)OCR=8 時(shí)，由于應(yīng)力歷史的影響，Black Kaolin黏土的應(yīng)力-應(yīng)變曲線表現(xiàn)出明顯的應(yīng)變軟化特點(diǎn)；在加載的初始階段，土體的孔隙比e逐漸減小，產(chǎn)生剪縮變形，隨著剪切破壞的進(jìn)一步發(fā)生，e開始反向增加并伴隨著剪脹現(xiàn)象的發(fā)生。Black Kaolin 黏土在不同圍壓下的剪脹曲線如圖6(c)所示，可以看出土體的剪脹應(yīng)力比Md隨著OCR的增大而增大，同時(shí)在OCR=4，8 的情況下，土體會(huì)發(fā)生明顯的剪脹變形。進(jìn)一步，圖7 給出了本文模型對(duì)Fujinomori 黏土的平均主應(yīng)力一定的三軸壓縮試驗(yàn)結(jié)果的模擬結(jié)果，其中，F(xiàn)ujinomori 黏土的平均主應(yīng)力分別為98 kPa、196 kPa、196 kPa 和196 kPa，且OCR分別為8、4、2 和1。在不同的圍壓下，F(xiàn)ujinomori 黏土的初始孔隙比e0分別為0.727、0.713、0.76 和0.81。根據(jù)圖7(a)和圖7(b)，可以看出本文模型能夠較好的描述Fujinomori 黏土的應(yīng)力-應(yīng)變和體積變形特點(diǎn)。當(dāng)OCR=8 時(shí)，本文模型計(jì)算得到的峰值強(qiáng)度所對(duì)應(yīng)的軸向應(yīng)變明顯偏大，存在20%左右的誤差，此時(shí)計(jì)算得到的體應(yīng)變剪脹量也相應(yīng)偏大。值得注意的是，相比常規(guī)的三軸壓縮不排水試驗(yàn)，在平均主應(yīng)力一定的情況下，模型計(jì)算得到剪脹曲線呈現(xiàn)出完全不同的變化特點(diǎn)。如圖7(c)所示，在加載的初始階段，剪脹因子d會(huì)逐漸增大，在達(dá)到峰值后反向減小，當(dāng)OCR大于1 時(shí)，d會(huì)減小至負(fù)值，此時(shí)土體發(fā)生剪脹破壞，隨著OCR的增大，該趨勢(shì)將更加明顯。

表2 模型參數(shù)敏感性試驗(yàn)材料參數(shù)Table 2 Parameters used in model sensitive analysis

圖6 Black Kaolin 黏土試驗(yàn)結(jié)果與模型計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig. 6 Comparison between experimental data and model predictions of Black Kaolin clay

圖7 Fujinomori 黏土試驗(yàn)結(jié)果與模型計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig. 7 Comparison between experimental data and model predictions of Fujinomori clay

從上述分析可以看出，本文建立的模型能夠合理地反映超固結(jié)重塑土的應(yīng)變軟化和剪脹特性，進(jìn)而對(duì)土體應(yīng)力-應(yīng)變和體積變形特點(diǎn)進(jìn)行準(zhǔn)確的描述。此外，本文模型的計(jì)算結(jié)果表明，超固結(jié)性會(huì)對(duì)土體的剪脹特性產(chǎn)生影響。

4 結(jié)論

本文基于Caputo 微分方法提出了分?jǐn)?shù)階應(yīng)力誘導(dǎo)剪脹方程以考慮超固結(jié)性對(duì)土體剪脹特性的影響，在此基礎(chǔ)上引入了下加載面的力學(xué)概念，從而建立了適用于超固結(jié)重塑土的分?jǐn)?shù)階下加載面模型。通過將模型計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，初步驗(yàn)證了該模型的合理性，主要結(jié)論有：

(1)基于 Caputo 分?jǐn)?shù)階微分方法，可以在不引入塑性勢(shì)函數(shù)的情況下得到一個(gè)新的分?jǐn)?shù)階塑性流動(dòng)法則，該流動(dòng)法則能夠合理地描述塑性流動(dòng)方向與土體屈服面之間的非正交性，進(jìn)而統(tǒng)一地描述相關(guān)聯(lián)和非相關(guān)聯(lián)的塑性流動(dòng)法則。

(2)基于分?jǐn)?shù)階塑性流動(dòng)法則，可以給出適用于黏土的分?jǐn)?shù)階應(yīng)力誘導(dǎo)剪脹方程。由于分?jǐn)?shù)階數(shù)是關(guān)于表征超固結(jié)程度的相似因子的函數(shù)，因此本文提出的剪脹方程能夠考慮超固結(jié)性對(duì)黏土剪脹特性的影響。

(3)通過引入下加載面的力學(xué)概念并且給出相應(yīng)的硬化法則，本文所建立的分?jǐn)?shù)階下加載面模型能夠準(zhǔn)確地描述超固結(jié)黏土的應(yīng)變軟化和剪脹特性。相比較 MCC 模型，本文模型僅額外地引入了一個(gè)與土體剪脹特性有關(guān)的材料參數(shù)。