魏 臻

(福建技術(shù)師范學(xué)院電子與信息工程學(xué)院，福建 福清 350300)

0 引言

偏利是指兩個(gè)種群之間的一種共存作用，這種作用使得其中一個(gè)種群從另一個(gè)種群受益而另一個(gè)種群既沒有受到前一個(gè)種群的損害也沒有受益于前一個(gè)種群。

近年來，學(xué)者們對偏利模型進(jìn)行了研究，得到了許多有趣的結(jié)論[1-10]。HAN等研究反饋控制對偏利系統(tǒng)的影響，得到了系統(tǒng)存在唯一全局穩(wěn)定的正平衡點(diǎn)[1]。WU等研究具有非線性Holling型功能性反應(yīng)的偏利系統(tǒng)，得到系統(tǒng)存在唯一正平衡點(diǎn)[2]。WU等研究帶Holling型功能反應(yīng)和第二種群具有Allee效應(yīng)的偏利系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，得到系統(tǒng)存在唯一全局穩(wěn)定的正平衡點(diǎn)[3]。LEI對第一種群具有Holling型功能反應(yīng)和Allee效應(yīng)進(jìn)行研究，得到了系統(tǒng)存在唯一全局穩(wěn)定的正平衡點(diǎn)[4]。

(1)

其中，a1,a2,b1,b2,m1,m2,c均為正常數(shù)。研究系統(tǒng)(1)可能平衡點(diǎn)的局部和全局的穩(wěn)定性。

1 主要結(jié)果

系統(tǒng) (1) 的平衡點(diǎn)由下面方程給出

(2)

(b2+m2a2)b1m1x2+(b1-a1m1)(b2+m2a2)x-ca2-a1b2-m2a1a2=0.

設(shè)f(x)=(b2+m2a2)b1m1x2+(b1-a1m1)(b2+m2a2)x-ca2-a1b2-m2a1a2=0,由

Δ=(b1-a1m1)2(b2+m2a2)2+4(b2+m2a2)b1m1(ca2-a1b2-m2a1a2)>0和f(0)<0

下面考慮平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性。

證明系統(tǒng)(1)的Jacobian矩陣為

(3)

則M(x*,y*)<0，顯然J(E3)的兩個(gè)特征根為λ1=M(x*,y*)<0,λ2=-a2<0，則E3(x*,y*)是穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)。定理1 證明完成。

上面的分析表明系統(tǒng)(1)總是存在一個(gè)正平衡點(diǎn)，這個(gè)正平衡點(diǎn)是局部穩(wěn)定的，而其他3個(gè)邊界平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的，下面討論第一象限內(nèi)是否存在極限環(huán)。

定理2E3(x*,y*)是全局漸近穩(wěn)定的。

2 數(shù)值模擬

例1 考慮系統(tǒng)

(4)

圖1 系統(tǒng)(4)的動(dòng)力學(xué)行為

圖2 系統(tǒng)(4)的數(shù)值模擬圖

3 結(jié)論

本文探討一類具有Crowlay-Martin功能性反應(yīng)的偏利系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，研究了系統(tǒng)平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性和全局穩(wěn)定性。得到了系統(tǒng)存在唯一全局漸近穩(wěn)定的正平衡點(diǎn)，并舉例說明可行性，其結(jié)論與文獻(xiàn)[1-4,6]相同，可見這幾類功能性反應(yīng)并沒有改變這類偏利系統(tǒng)唯一正平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性。是否其他類型的功能性反應(yīng)也有類似的結(jié)論，有待進(jìn)一步探討。