梁葉子

(陸軍步兵學(xué)院演訓(xùn)中心，江西 南昌330103)

在實(shí)際的系統(tǒng)工程中，一些設(shè)備對(duì)于系統(tǒng)的可靠性要求較高，為了提高系統(tǒng)的可靠度，往往會(huì)通過(guò)對(duì)失效率較高的部件添加貯備部件的方式來(lái)提升整體系統(tǒng)的可靠度。對(duì)系統(tǒng)的可靠度進(jìn)行分析時(shí)，往往假設(shè)系統(tǒng)部件互相獨(dú)立[1-4]。在實(shí)際的系統(tǒng)工程中，系統(tǒng)是一個(gè)整體，系統(tǒng)中的每個(gè)部件之間相互影響，彼此相依，copula函數(shù)[5-10]可用于分析相依系統(tǒng)的可靠性，其中FGM copula函數(shù)具有很好的性質(zhì)，用途較廣。孫永波[11]研究了基于FGM copula不同類型的關(guān)聯(lián)系統(tǒng)的可靠性，梁葉子[12]研究了基于FGM copula函數(shù)下帶1個(gè)貯備部件的兩部件串聯(lián)系統(tǒng)如何進(jìn)行優(yōu)化。本文基于FGM copula函數(shù)對(duì)不同貯備類型下的兩部件串聯(lián)系統(tǒng)的可靠度進(jìn)行分析，提出了用可靠度/成本作為衡量系統(tǒng)優(yōu)劣指標(biāo)，系統(tǒng)分析了不同貯備類型下的兩部件串聯(lián)系統(tǒng)的優(yōu)劣。

1 FGM copula函數(shù)模型

Sklar定理[13]對(duì)于隨機(jī)變量X=(X1,X2，…，Xn)，假設(shè)F是n維聯(lián)合分布函數(shù)，對(duì)應(yīng)的邊緣累計(jì)分布函數(shù)為FX1，F(xiàn)X2，…，F(xiàn)Xn，則存在copula函數(shù)C，對(duì)?x=(x1,x2，…，xn)∈Rn，有如下等式成立：

F(x1，x2，…，xn)=C(FX1(t),FX2(t)，…，F(xiàn)Xn(t))

對(duì)于FGM copula函數(shù)，若邊緣分布函數(shù)FXi,(i=1,2，…，n)連續(xù)，則copula函數(shù)唯一。

此時(shí)每個(gè)copula是絕對(duì)連續(xù)的，c(u)為copula函數(shù)的聯(lián)合概率密度函數(shù)：

其中FGM二維copula函數(shù)族：

C(u,v)=uv+θuv(1-u)(1-v),θ∈[-1,1]

其密度函數(shù)為：

c(u,v)=1+θ(1-2u)(1-2v)

FGM三維copula函數(shù)族：

C(u,v,w)=uvw[1+θ1(1-u)(1-v)+
θ2(1-u)(1-w)+θ3(1-v)(1-w)+
θ4(1-u)(1-v)(1-w)]

2 帶1個(gè)冷貯備的兩部件串聯(lián)系統(tǒng)可靠性

系統(tǒng)由部件1，1′，2三部件組成，其中1′是1的冷貯備部件，部件1、2串聯(lián)，系統(tǒng)可靠性框圖如圖1所示。

模型假設(shè)：

3) 系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換開(kāi)關(guān)完全可靠。

4) 系統(tǒng)在t=0 時(shí)刻是完美的。則部件 FGM copula相依下帶1個(gè)冷貯備的系統(tǒng)壽命：

用RC(t)部件FGM copula相依下帶1個(gè)冷貯備的系統(tǒng)可靠度：

其中

求得部件相依系統(tǒng)可靠度：

RC(t)=1-[1+(3θ1-λ1θ1t-λ1t-1)e-λ1t-
(2θ1λ1t+3θ1)e-2λ1t]-[1-e-λ2t]+[1-e-λ2t]×
[1+(3θ1-λ1θ1t-λ1t-1)e-λ1t-(2θ1λ1t+
3θ1)e-2λ1t]+θ1[1-e-λ2t][1+(3θ1-λ1θ1t-
λ1t-1)e-λ1t-(2θ1λ1t+3θ1)e-2λ1t][(2θ1λ1t+
3θ1)e-2λ1t-(3θ1-λ1θ1t-λ1t-1)e-λ1t]e-λ2t

3 帶1個(gè)溫貯備的兩部件串聯(lián)系統(tǒng)可靠性

系統(tǒng)由部件1、2、1′三部件組成，其中部件1′是部件1的溫貯備部件，部件1、2串聯(lián)，系統(tǒng)可靠性框圖如圖2所示。

模型假設(shè)：

3) 其余假設(shè)同第2小節(jié)中的模型假設(shè)。

則部件FGM copula相依下帶1個(gè)溫貯備的系統(tǒng)壽命：

用RW(t)部件FGM copula相依下帶1個(gè)冷貯備的系統(tǒng)可靠度：令

則：

其中

求得部件FGM copula相依下帶1個(gè)溫貯備的系統(tǒng)可靠度：

4 帶1個(gè)熱貯備的兩部件串聯(lián)系統(tǒng)可靠性

系統(tǒng)由部件1，2，1′三部件組成，其中1′是1的熱貯備部件，1,2串聯(lián)，系統(tǒng)可靠性框圖如圖3所示。

模型假設(shè)：

3) 其余假設(shè)同第2小節(jié)中的模型假設(shè)。

則部件FGM copula相依下帶1個(gè)熱貯備的系統(tǒng)壽命：

用RH(t)表示帶1個(gè)熱貯備部件的系統(tǒng)可靠度。

則：

其中：

C(FX1(t),FY1(t),FX2(t))=
FX1(t)FY1(t)FX2(t)[1+θ1(1-FX1(t))(1-
FY1(t))+θ2(1-FX1(t))×
(1-FX2(t))+θ3(1-FY1(t))(1-FX2(t))+
θ4(1-FX1(t))(1-FX2(t))(1-FX2(t))]=
(1-e-λ1t)2e-λ2t[1+θ1e-2λ1t+θ2e-λ1te-λ2t+
θ3e-λ1te-λ2t+θ4e-2λ1te-λ2t]

求得系統(tǒng)可靠度：

RH(t)=1-(1-e-λ2t)-(1-e-λ1t)2(1+
θ1e-2λ1t)+(1-e-λ1t)2e-λ2t[1+θ1e-2λ1t+
θ2e-λ1te-λ2t+θ3e-λ1te-λ2t+θ4e-2λ1te-λ2t]

5 不同貯備部件下的兩部件串聯(lián)系統(tǒng)優(yōu)劣分析

可靠性固然是評(píng)判一個(gè)系統(tǒng)好壞的一個(gè)很重要的指標(biāo)，但是在實(shí)際應(yīng)用中系統(tǒng)的好壞受到很多因素的影響，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)其中可靠性和成本是我們?cè)u(píng)判一個(gè)系統(tǒng)優(yōu)劣的最重要的兩個(gè)指標(biāo)。在這里用可靠度/成本即單位成本下的可靠度，作為評(píng)判系統(tǒng)優(yōu)劣的指標(biāo)。

帶有1個(gè)冷貯備兩部件串聯(lián)系統(tǒng)的成本表示為PC，帶有1個(gè)溫貯備兩部件串聯(lián)系統(tǒng)的成本表示為PW，帶有1個(gè)熱貯備兩部件串聯(lián)系統(tǒng)的成本表示為PH,則有：

PH=P1+P1+P2

上述式子分別是帶1個(gè)冷貯備的兩部件串聯(lián)系統(tǒng)的單位成本下的可靠度、帶1個(gè)溫貯備的兩部件串聯(lián)系統(tǒng)的單位成本下的可靠度以及帶1個(gè)熱貯備的兩部件串聯(lián)系統(tǒng)的單位成本下的可靠度，在實(shí)際的系統(tǒng)運(yùn)用中，可根據(jù)實(shí)際情況帶入相應(yīng)的式子來(lái)評(píng)判系統(tǒng)的優(yōu)劣。

6 數(shù)值算例

單位成本下的可靠度隨時(shí)間變化曲線如圖4所示。

可以得出，在一組特定參數(shù)下，假設(shè)兩部件串聯(lián)系統(tǒng)的使用壽命為10 000 h，那么對(duì)這個(gè)系統(tǒng)增加溫貯備或者熱貯備比增加冷貯備的性價(jià)比更高。如果對(duì)這個(gè)系統(tǒng)的使用壽命要求不高，在7 595 h之前，那么可以選擇對(duì)該系統(tǒng)增加溫貯備。如果系統(tǒng)的使用壽命要求比較高，選擇對(duì)該系統(tǒng)增加熱貯備性價(jià)比更高。

7 結(jié)論

本文分析了3種不同貯備類型下的兩部件串聯(lián)系統(tǒng)的優(yōu)劣。推導(dǎo)出了不同貯備類型下兩部件串聯(lián)FGM相依系統(tǒng)的可靠度以及對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的性價(jià)比。結(jié)合實(shí)例，分析并求出不同壽命要求下的性價(jià)比更高的貯備系統(tǒng)。研究結(jié)果為現(xiàn)實(shí)串聯(lián)系統(tǒng)如何選擇貯備部件提供了理論參考。但是對(duì)于一些構(gòu)造復(fù)雜的串并聯(lián)系統(tǒng)如何添加貯備部件才能使得系統(tǒng)的性價(jià)比更高，有待進(jìn)一步的研究。